5.3三角函数的基本关系式及诱导公式 同步学案

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三角函数的公式体系同步学案
一．学习目标
三角函数的公式体系是三角函数的重要内容，通过三角函数的公式解决基本问题，理解同角三角函数
的基本关系式：，；会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角
函数式或证明三角恒等式。
二．基础知识
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：.
(2)商数关系：
2.三角函数的诱导公式
①三角函数诱导公式一：
②三角函数诱导公式二：
③三角函数诱导公式三：
④三角函数诱导公式四：
⑤三角函数诱导公式五：
⑥三角函数诱导公式六：
总结成口诀为：奇变偶不变，符号看象限。
三．思维辨析
1.概念辨析
(1)对任意，有(　　)
(2)若，则恒成立(　　)
(3)(　　)
(4)成立的条件是为锐角(　　)
2.小题热身
①若，，则________.
②化简：________.
③________；________.
④已知，，则________.
四．典例分析与性质总结
题型1：同角三角函数关系式的应用
例1：角度1　化简与求值
①已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则(　　)
A.
B．
C.
D．
角度2　、、三者之间的关系
②已知为第二象限角，且，则(　　)
A.
B．
C．
D.
角度3　“齐次式”问题
③已知，则的值是(　　)
A.
B．
C．
D．3
总结：
1.应用同角三角函数关系式化简、求值的方法
(1)利用可实现的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦
切互化；
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，一般是先选用平方关系，
再用商数关系；在求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论。
2.、、之间的关系问题
(1)方法：利用可以知一求二。
(2)关注点：根据角终边的位置确定、的符号；
3.、的齐次式的解法
(1)常见的结构
①、的二次齐次式(如)的问题常采用“切”代换法求解；
②、的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
(2)巧用“1”的变换：。
题型2：诱导公式的应用
例2：①化简的结果为(　　)
A.1
B．
C．0
D．2
②若，那么的值为(　　)
A.
B．
C.
D．
总结：
1.诱导公式的两个应用方向与原则
①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
2.应用诱导公式的基本流程
任意角的三角函数值求解，先利用终边相同角的概念将其转化为范围内的角，然后选择合适的诱导公式将其划归为锐角三角函数，进而得到最终的结论。
3.巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限；
4.注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为的整数倍，可考虑诱导公式，如
题型3：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3：①已知，，则(　　)
A.
B．
C．
D.
②在中，，且，则等于(　　)
A.
B.
C.
D.
总结：同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法
(1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数式．如举例说明3.
(2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解中注意公式的准确性。
五．变式演练与提高
1.若是第二象限角，则化简的结果是(　　)
A.
B．1
C．
D．
2.若，则的值等于(　　)
A.
B．
C.或
D.
3.若，则的值为________．
4.在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点，则(　　)
A.
B．
C.
D.
5.已知
(1)化简；
(2)若，且，求的取值范围。
6.已知，则(　　)
A．
B．
C.
D．
7.已知，则的值等于(　　)
A.
B．
C.
D．
8.若是方程的两根，则的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
六．反思总结
1.同角三角函数基本关系式可用于统一函数名；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明。
2.三角函数求值与化简必会的三种方法：
(1)弦切互化法：主要利用公式；形如、
等类型可进行弦化切。
(2)“1”的灵活代换法：等.
(3)和积转换法:利用、的关系进行变形、转化.
3.利用诱导公式化简求值的步骤:
(1)负化正；(2)大化小；(3)小化锐；(4)锐求值。
七．课后作业
1.已知，，则________.
2.已知，化简：________.
3.已知，，则等于(　　)
A．
B．
C.
D.
4.若，则使成立的的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.已知角终边上一点P的坐标是，则等于(　　)
A．
B．
C．
D．
6.已知，则的值是(　　)
A.
B．2
C．
D．
7.化简：________.
8.化简：________.
9.已知，则的值是________．
10.已知，，则的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
11.若，则＝(　　)
A．
B．3
C．
D.
12.已知，且，则等于(　　)
A.
B.
C．
D．
13.________.
14.已知，且满足，则________.
15.已知，求的值．
八．参考答案
（三．思维辨析）
1.解析
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.解析　
①因为，，
所以，所以
②
③；
④因为，，所以，所以
（四．典例分析与性质总结）
例1：解析：
①由任意角三角函数的定义得，即，
所以；
整理解得或(舍去)。
②因为，所以，即，所以；所以；
又因为为第二象限角．所以，；所以
③因为，
所以，解得；
所以
例2：解析：
①原式＝
②
例3：解析：
①因为,，所以
②因为，所以，所以；
又，所以；
因为，即，所以，
，所以，所以；故选C.
（五．变式演练与提高）
1.解析：
因为是第二象限角，所以、，
所以
2.解析：
由，可得，则
所以
3.解析：
因为
,
所以
4.解析：
因为角的终边经过点，所以
所以
5.解析：
(1)
(2)由已知得，
∴
∴
∵，∴.
故的取值范围为.
6.解析：
因为，所以，所以，
所以
7.解析：
由已知得，所以，又因为，注意到，可解得
8.解析：
由已知得，所以或；又因为，，
，所以，解得或(舍去)。
（七．课后作业）
1.解析：
因为，
所以
又因为，所以，所以
2.解析：
当为偶数时，原式＝
当为奇数时，原式＝
综上知，原式。
3.解析：
因为，所以，所以；又因为，所以
4.解析：
显然，因为，所以或，所以
5.解析：
因为，由任意角的三角函数的定义，得。
6.解析：
因为，所以
7.解析：
8.解析：
9.解析：
因为，
所以，
所以
10.解析：
因为，所以，，可得；
因为，所以；
，；
所以的值为.
11.解析：
因为，所以；
又因为，所以，所以，
所以；所以
12.解析：
因为，所以；
因为，所以；
又，所以，
所以
13.解析：
因为，∴当时，，
设，
则，
两个式子相加得，.
14.解析：
因为，所以
则；而.
15.解析：
∵，∴为第一或第二象限角．
当为第一象限角时，；则原式
当为第二象限角时，；则原式
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精品试卷·第
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