5.4三角函数的性质及其应用 同步学案

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三角函数的图像与性质同步学案
一．学习目标
三角函数的图像与性质是三角函数章节中的重要内容，也是高考的重要考点；通过三角函数的图像，理解三角函数的基本性质：单调区间、奇偶性、周期性以及对称轴等等，并为后续学习三角函数的恒等变换以及解三角形问题打下坚实的基础。
二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质如下表所示。
函数
图象
定义域
值域
最值
当时，；当时，
当时，；当时，
无最大值，也无最小值
周期
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上递增；在上递减
在上递增；在上递减
在上递增
对称性
对称中心
对称轴
直线
直线
无对称轴
三．思维辨析
1．概念辨析
(1)在整个定义域上是增函数．(　　)
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．(　　)
(3)函数的最小正周期为.(　　)
(4).(　　)
(5)三角函数中奇函数一般可化为或的形式，偶函数一般可化为的形式．(　　)
2．小题热身
(1)函数的定义域是(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是(　　)
A．
B．
C．
D．
(3)函数的单调递减区间是________．
(4)函数的最大值为________，此时________.
四．典例分析与性质总结
题型1：三角函数的定义域和值域
例1：①函数的定义域为________．
②函数的最大值是________．
③函数的值域为________．
总结：
1.三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解；
2.三角函数最值或值域的三种求法
直接法
直接利用和的值域求解
化一法
把所给三角函数化为(或)的形式，由正弦(或余弦)函数的单调性写出函数的值域
换元法
把，，或换成，转化为二次函数的值域问题求解
题型2：三角函数的单调性
例2：①下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A.
B．
C.
D．
②若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是________．
总结：求三角函数单调区间的两种方法
(1)复合函数法
将解析式化简为或的形式，令，将原函数化为或的状态；
当时，将代入或的相应单调区间，建立不等式求解；
当时，先用诱导公式化成当，再求解；
(2)图象法
画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间。
题型3：三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例3：角度1　三角函数的周期性
函数的最小正周期为(　　)
A.
B.
C．
D．
角度2　三角函数的奇偶性
若函数是奇函数，则________.
角度3　三角函数图象的对称性
已知函数在处取得最大值，则函数的图象(　　)
A.关于点对称
B．关于点对称
C.关于直线对称
D．关于直线对称
总结：
1.周期的计算方法
利用函数，的周期为，函数的周期为求解；
2.函数具有奇偶性的充要条件
函数是奇函数?()；
函数是偶函数?()；
函数是奇函数?()；
函数是偶函数?()．
3.与三角函数有关的图象的对称性问题
对于函数，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线或点是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行判断。
五．变式演练与提高
1.函数的定义域为________．
2.已知为函数的零点，则函数的单调递增区间是(　　)
A.()
B.()
C.()
D.()
条件探究　将本例中的函数的定义域改为，则其单调递增区间为________．
3.若在上是减函数，则的最大值是________．
4.下列函数中，对任意的，同时满足条件和的函数是(　)
A.
B．
C
D．
5.已知函数，则的大小关系是(　　)
A.
B.
C.
D.
6.关于函数，下列说法正确的是(　　)
A.是奇函数
B.在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为
六．反思总结
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成的形式；
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令，将其转化为研究的性质。
3.正弦函数、正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；正弦函数图像的对称轴是
，对称中心为；余弦函数图像的对称轴是，对称中心为；即正弦函数、余弦函数图像的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心是图像与x轴的交点；正切函数图像没有对称轴，其对称中心为.
七．课后作业
1.函数在内的值域为，则的取值范围是________.
2.函数的单调递增区间为(　　)
A.，
B.，
C.，
D.，
3.函数是(　　)
A.周期为的奇函数
B．周期为的偶函数
C.周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
4.若函数对任意都有，则(　　)
A.2或0
B．0
C.或0
D．或2
5.已知函数，是奇函数，则(　　)
A.在上单调递减
B.在上单调递减
C.在上单调递增
D.在上单调递增
6.函数在区间内的所有零点之和为(　　)
A.
B.
C.
D.
7.若函数的最小正周期为，则________.
8.函数的值域是________．
9.已知函数，那么下列命题中的假命题是(　　)
A.既不是奇函数也不是偶函数
B.在上恰有一个零点
C.是周期函数
D.在上是增函数
10.已知函数，且，，若的最小值为，则________，函数的单调递增区间为________．
11.已知函数的最小正周期为.
(1)求函数图象的对称轴方程；
(2)讨论函数在上的单调性．
12.已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若的图象关于点对称，且，求的值；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
八．参考答案
（三．思维辨析）
1.解析
答案
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2.解析　
①由，得
所以的定义域是。
②对于A，，最小正周期为且图象关于原点对称；
对于B，的图象不关于原点对称；
对于C，的周期是；
对于D，的图象不关于原点对称。
③单调递减区间是单调递增区间，即()．
④函数的最大值为5，此时()，即()．
（四．典例分析与性质总结）
例1：解析：
①由，解得
所以或；所以函数的定义域为。
②
∵，∴，
∴当时，取得最大值，最大值为1。
③令，则；)，
所以，的值域即为所求．
因为
当时，；当时，，所以原函数的值域为.
例2：解析：
①作出函数的图象，如图：
由图象可知的周期为，在区间上单调递增；
同理可得的周期为，在区间上单调递减；
的周期为；不是周期函数，排除B，C，D.故选A.
②函数的单调递增区间为，.
则，解得，，
又由，，且，得，所以.
例3：解析：
①由已知得，所以的最小正周期.故选C.
②因为为奇函数，所以()，，；
又因为，故。
③因为函数在处取得最大值，所以；即，所以函数的图象关于点对称.
（五．变式演练与提高）
1.解析：
由，得；
所以的定义域为.
2.解析：
由于为函数的零点，则，所以，
解得，故，
令()；解得()，
故函数的单调递增区间为()．
条件探究　
解析　记,
观察数轴可知，
所以函数，的单调递增区间为和
3.解析：
.
由，得
取，得的一个减区间为
由在上是减函数，得
∴，故的最大值为.
4.解析：
由可知函数是偶函数，且，则函数的周期为
A项中的函数是奇函数，故错误；
B项中，为奇函数，故错误；
C项中的函数为偶函数，但是该函数的周期为，故错误；
D项中，该函数是周期为的偶函数，故选D.
5.解析：
因为函数是偶函数，且在上是增函数，所以)，故选B.
6.解析：
是非奇非偶函数，A错误；
在区间上单调递增，B错误；
由得，得函数的对称中心为，
故C正确；
函数的最小正周期为，D错误。
（七．课后作业）
1.解析：
当时，，又因为函数的值域为，所以可得，解得
2.解析：
由，得；所以函数的单调递增区间为，.
3.解析：
因为，故选A.
4.解析：
因为对任意x∈R都成立，所以函数的图象的一个对称轴是直线，所以.
5.解析：
因为，所以，又因为是奇函数，所以，即，又，所以，；
当时，，单调递减；
当时，，先减后增，故选B.
6.解析：
设，则由，得；由得；
结合函数的图象可知此方程有两个实根和，且；
函数在内有两个零点和，且，所以.
7.解析：
由题设及周期公式得，所以，即，所以
8.解析：
因为，所以
所以
所以函数的值域为.
9.解析：
因为，所以，故既不是奇函数也不是偶函数；所以A是真命题；
令，得，解得，此时有两个值；
所以在内恰有两个零点，所以B是假命题；
因为，显然是周期函数，所以C是
真命题；
对于，令在上单调递减，则在上
单调递减，所以D是真命题。
10.解析：
函数，
由，，且的最小值为，得，即，所以.
所以
则；
由，得
即函数的单调递增区间为.
11.解析：
(1)∵的最小正周期为，∴，.
令，得，
即函数图象的对称轴方程为．
(2)令，得函数的单调递增区间为；
注意到，所以令，得函数在上的单调递增区间为；
令，得函数的单调递减区间为，令，得在上的单调递减区间为.
12.解析：
(1)因为，故的
最小正周期为。
(2)由(1)知
令，得
又，故或
(3)当时，，所以；
又，即，所以，即；故实数的取值范围是。
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精品试卷·第
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