初中数学青岛版九年级上册3.7正多边形与圆练习题(Word版 含解析）

初中数学青岛版九年级上册第三章3.7正多边形与圆练习题
一、选择题
边长为2的正六边形的边心距为
A.
1
B.
2
C.
D.
一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则的度数是
A.
B.
C.
D.
下列说法正确的是
A.
若点C是线段AB的黄金分割点，，则
B.
平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
C.
两个正六边形一定位似
D.
菱形的两条对角线互相垂直且相等
正六边形的周长为6，则它的外接圆半径为
A.
1
B.
2
C.
3
D.
6
下列图形为正多边形的是
A.
B.
C.
D.
正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是
A.
互余
B.
互补
C.
互余或互补
D.
不能确定
半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是
A.
B.
C.
D.
如图，正五边形ABCDE中，直线l过点B，且，现有以下说法：
是线段AC的垂直平分线；
；
正五边形ABCDE有五条对称轴．
正确的有?
?
A.
B.
C.
D.
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是
A.
正三角形
B.
正方形
C.
正五边形
D.
正六边形
若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是
A.
B.
C.
D.
二、填空题
正八边形的中心角为______度．
如图，五边形ABCDE为的内接正五边形，则______．
的内接正方形的边长为a和外切正三角形的边长为b，则______．
如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长______cm．
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是______．
三、解答题
在下列正多边形中，O是正多边形的中心，定义：为相应正多边形的基本三角形，如图1，是正三角形ABC的基本三角形；如图2，是正方形ABCD的基本三角形；如图3，是正n边形的基本三角形，将基本三角形OBC绕点O逆时针旋转得到．
若线段BC与线段相交于点，则图1中的取值范围是______，图3中的取值范围是______
在图1中，若BC与相交于点求证：．
在图2中，正方形的边长为4，将基本三角形OBC绕点O逆时针旋转得到，边BC上的一点P旋转后的对应点为，若有最小值，求出该最小值及此时BP的长度．
如图3，当时，直接写出的值．
如图1，为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，图4为正多边形．
如图1当时，请求出的度数，并说明理由
如图2，在正方形中，当时______；如图3，在正五边形中，当时，______；
如图4，在正n边形中，当时，是否有什么规律？如果有请用含有n的式子直接表示；如果没有规律，请说明理由．
如图，外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且，，求正方形ABCD的边长和PB的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：如图，在中，，，
?．
故选：C．
已知正六边形的边长为2，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形得出．
此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意：，，，，
，
，
故选：B．
利用正多边形的性质求出，，即可解决问题；
本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.【答案】B
【解析】解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，，
当时，，当时，，本选项说法错误；
B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；
C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；
D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；
故选：B．
根据黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质判断即可．
本题考查的是黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质，掌握相关的概念和性质定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：正六边形的周长是6，
其边长．
正六边形的边长与其外接圆半径恰好组成等边三角形，
它的外接圆半径是1．
故选：A．
根据正六边形的周长是6求出其边长，再根据等边三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，
故选：D．
根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
6.【答案】B
【解析】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为，正多边形的一个外角等于，
所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，
而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，
所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
故选B．
根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成是大于2的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．掌握正多边形的有关概念．
7.【答案】D
【解析】解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为
四边形的边心距为，
正六边形的边心距为
，
，
故选：D．
根据三角函数即可求解．
此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质、正多边形的性质、全等三角形等知识解答即可
本题考查了轴对称的性质、正多边形的性质、全等三角形；会利用以上知识综合解题是关键．
【解答】
解：
五边形ABCDE为正五边形．
，，
为等腰三角形．
故正确．
．
．
．
又．
．
和为直角三角形．
在和中
．
．
是线段AC的垂直平分线故正确．
正五边形ABCDE有五条对称轴，正确；
综上所述都正确．
故选D．
9.【答案】A
【解析】解：正三角形一条边所对的圆心角是，
正方形一条边所对的圆心角是，
正五边形一条边所对的圆心角是，
正六边形一条边所对的圆心角是，
一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定与性质；解题的关键是作辅助线，灵活运用等边三角形的判定与性质来分析、解答．如图，作辅助线，由题意可得，从而得出是等边三角形，进而求出的度数，问题即可解决．
【解答】
解：如图，连接OA、OB；AB为的内接正多边形的一边，
正多边形的边长与半径相等，
，
是等边三角形，
，
即这个正多边形的中心角为．
故选B．
11.【答案】45
【解析】解：正八边形的中心角等于；
故答案为45．
根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．
12.【答案】
【解析】解：五边形ABCDE是的内接正五边形，
，，
，
同理，
，
故答案为：．
根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接GE、OA；则GE必过点O；
为的外切正三角形，
，；
四边形EFGH为的内接正方形，
，，
由勾股定理得：，
，；
在直角中，
，
；同理可求，
，
即该圆外切正三角形边长为，
，
故答案为：．
如图，作辅助线；根据勾股定理首先求出EG的长度，进而得到EO的长度；根据直角三角形的边角关系求出AE的长度，即可解决问题．
该题主要考查了正多边形与圆，正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接AC，过点B作于D，
由正六边形，得
，，
．
由，得．
，即，
解得，
故答案为：．
根据正六边形的性质，可得，，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数，
15.【答案】2
【解析】解：设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为，
正多边形外角和为，根据题意得：
，
，
．
故正多边形为6边形．
边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
所以正多边形的半径等于2，
故答案为：2．
先判断出多边形的边数，再求多边形的半径．
本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算．
16.【答案】?
【解析】解：由题意图1中，是等边三角形，O是中心，
的取值范围是：，
图3中，是正n边形，O是中心，
，
的取值范围是：，
故答案为：，．
如图1中，作于E，于F，连接．
，，
≌，
，
，
≌，
，
．
如图2中，总点O光源BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小，即有最小值．
，，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
在中，．
，
有最小值，最小值为，C此时．
如图3中，
，，
，
，
．
根据正多边形的中心角的定义即可解决问题；
如图1中，作于E，于F，连接利用全等三角形的性质分别证明：，即可解决问题；
如图2中，总点O光源BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小，即有最小值．
利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；
本题属于四边形综合题，考查了正多边形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
17.【答案】?
【解析】解：．
在和中，．
≌．
．
；
理由同：正方形，正五边形，
正n边形．
故答案为：，．
根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论；
方法同；
由的结论即可得到结果．
本题综合考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质、等边三角形和正多边形的有关知识．注意对三角形全等性质的运用及学会对问题的拓展．
18.【答案】解：连接AC，作于E，如图所示：
四边形ABCD是正方形，
，，，
是的直径，是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
连接AC，作于E，由正方形的性质得出，，，由圆周角定理得出AC是的直径，是等腰直角三角形，得出，，由勾股定理得出，得出，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，再由勾股定理得出，即可得出PB的长．
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