初中数学华东师大版九年级上册24.3锐角三角函数练习题(Word版 含解析）

初中数学华东师大版九年级上册第二十四章24.3锐角三角函数练习题
一、选择题
已知与互余，若，则的值为
A.
B.
C.
D.
在0，，，这四个数中，无理数是
A.
0
B.
C.
D.
如图，直角坐标平面内有一点，那么OP与x轴正半轴的夹角的余切值为
A.
2
B.
C.
D.
如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则
A.
B.
C.
D.
下列计算结果错误的是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，E为AB上一点且AE：：1，于F，连接FB，则的值等于
A.
B.
C.
D.
已知，求若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键
A.
AC
B.
2ndF
C.
MODE
D.
DMS
如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是
A.
B.
C.
D.
据说西周时期，周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据A市的地理位置设计的圭表．已知，冬至时A市的正午日光入射角约为，测得立柱AC根部与圭表的冬至线的距离即BC的长为2米，，用科学计算器计算立柱AC的高，下列按键顺序正确的是
A.
B.
C.
D.
某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间
A.
B.
C.
D.
二、填空题
的值为______．
中，、均为锐角，且，则的形状是______．
已知：是锐角，且，则______．
在中，，，，则sinA等于______________．
等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则三角形底角的度数约为_______用科学计算器计算，结果精确到
三、解答题
如图，在中，，，点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作?设?PQMN与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．
的长为______；
的长用含t的代数式表示为______．
当?PQMN为矩形时，求t的值；
当?PQMN与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；
当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，直接写出t的值．
如图1，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y轴交于点，，且，等边的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边从图1的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，如图2所示，设平移的时间为．
等边的边长为________；
在运动过程中，当t为多少时，MN垂直平分AB；
若在开始平移的同时．点P从的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．当点P运动到C时即停止运动．也随之停止平移．当点P在线段BA上运动时，若与相似．求t的值；
如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的的两边EF，EG分别过点B，C，．
求证：；
如图2，将绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD共线时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N．
求证：≌；
若，求当面积最大时k的值；
当旋转停止时，点B恰好在FG上如图，请作出斜边上的高EH，并求出EH与EB之比．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了互余两角三角函数的关系：在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：或．
把、可看作的两锐角，利用正切的定义得到，设，，则，然后根据余弦的定义求解．
【解答】
解：与互余，
、可看作的两锐角，
，
设，，
，
．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查无理数的定义及特殊角的三角函数值．无理数即无限不循环小数，其三种存在形式为：开方开不尽的数、含的数、有规律但不循环的无限小数．要理解透彻．
先将题干中的数化简，根据无理数的定义判断即可得出．
【解答】
解：；；
可得出无理数为．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了点在平面直角坐标系里的意义以及锐角三角函数的定义．解决本题的关键是构造直角三角形．过点P作轴于点由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．
【解答】
解：过点P作轴于点A．
由于点，
，
．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】解：中，，、、所对的边分别为a、b、c，
，即，故A选项不成立，B选项成立；
，即，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】
解：A、，故此选项错误，符合题意；
B、，正确，不合题意；
C、，正确，不合题意；
D、，正确，不合题意；
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意：在中，，，
，
，
：：1，
，
，
设，则，
在中有，．
则．
故选：C．
的值就是直角中，BC与CF的比值，设，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．
本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．
根据计算器上三角函数的计算方法可得．
【解答】
解：若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按DMS，
故选：D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
?本题考查了锐角三角函数的定义．也考查了等腰三角形的性质．
过B点作于D，根据等腰三角形的性质得到米，在中，利用的余弦进行计算即可得到AB，再得到正确的按键顺序．
【解答】
解：过B点作于D，
，，米，
米，
在中，，
，
即按键顺序正确的是．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查锐角三角函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
根据题意和图形，可得，从而可以解答本题．
【解答】
解：由题意可得，
在中，，
则，
则用科学计算器计算立柱AC的高，按键顺序为：．
故选：D．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提．
用计算器计算得得出答案．
【解答】
解：使用计算器计算得，
，
故选：B．
11.【答案】2
【解析】解：原式
．
故答案为：2．
直接利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】等边三角形
【解析】解：，
，．
，；，．
的形状是等边三角形．
先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出，的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角关系判断出其形状．
本题考查了：特殊角的三角函数值；非负数的性质；三角形的内角和定理．
13.【答案】
【解析】解：
，
当时，
原式，
则，
是锐角，，都为正数，
．
故答案为：．
直接利用完全平方公式将原式变形，进而把已知代入得出答案．
此题主要考查了同角三角函数的关系，正确将原式变形是解题关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理有关知识．
根据勾股定理求出BC，然后再利用锐角三角函数的定义计算即可．
【解答】
解：如图：
，，，
，
设，，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了计算器求三角函数值，正确应用计算器是解题关键．
首先画出图形，再利用cosB结合计算器求出答案．、
【解答】
解：如图所示，过点A作ADBC于点D．
腰和底的长分别是10和13，
，
，
．
故答案为．
16.【答案】25
?
3t
【解析】解：在中，，，．
．
，
由题可知，
．
故答案为：；．
当?PQMN为矩形时，，
，
，
，
由题意可知，，
，
解得，
即当?PQMN为矩形时．
当?重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ如解图所示．?PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，
由题可知：，，，，．
，，，
?PQMN在三角形内部时．有，
，
．
．
当时，?PQMN与重叠部分图形为?PQMN，S与t之间的函数关系式为．
Ⅱ如解图所示．当，?PQMN与重叠部分图形为梯形PQMG时，
即：，解得：，
?PQMN与重叠部分图形为梯形PQMG的面积．
综上所述：当时，当，．
当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，有两种情况，
Ⅰ如解题图，，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作，
，
，
，，
，，
．
，
，
，
解得：，
Ⅱ如解题图，，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作，
，四边形PCQH为矩形，
，
，解得．
综上所述：当或时，点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，
根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．
当?PQMN为矩形时，由可知，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值．
当?PQMN与重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ?PQMN在三角形内部时，Ⅱ?PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．
当过点P且平行于BC的直线经过?PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ过MN的中点，Ⅱ过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t值．
此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．
17.【答案】解：；
易知当点C与M重合时，直线MN垂直平分线段AB，此时，所以；
如图1中，由题意，，
，，
，，
，
，
当点P在EF下方时，，
由，解得，
与相似，
或，
或，
解得或．
当点P在点E上方时，同法可得：或，
解得或3，
，且，即，
，
综上所述，或或．
【解析】
【分析】
本题考查相似形综合题，等边三角形的性质、解直角三角形、相似三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
根据锐角三角函数的定义，得，根据为等边三角形，求证为直角三角形，然后即可得出答案；
易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时，由此即可解决问题；
如图1中，由题意，，由与相似，分两种情形分别求解即可．
【解答】
解：直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，，，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，即为直角三角形，
．
故答案为3；
易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时，所以；
故答案为3．
见答案．
18.【答案】证明：如图1中，
四边形ABCD是矩形，
，，
是AD中点，
，
≌，
．
解：如图2中，
由可知，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
≌；
为等腰直角三角形
??
作于点H
易证：≌????????
当S?最小时S?最大
当ME最小时
即，即；
解：如图3中，作于设，则，，
，
，
，
则．
【解析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
只要证明≌即可；
利用可知是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；
根据等腰直角三角形得出面积与边的关系，然后证明全等，根据面积间的关系可得结果；
如图3中，作于设，则，，利用面积法求出EH，即可解决问题．
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