2020-2021学年人教新版八年级数学上册《13.1 轴对称》高频易错题汇编（附解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教新版八年级数学上册《13.1 轴对称》高频易错题汇编（附解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 544.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-31 23:02:59 | ||
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文档简介
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13.1
轴对称
高频易错题汇编
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（ ）
A．7
B．8
C．12
D．13
2．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（ ）
A．24cm
B．25cm
C．30cm
D．36cm
3．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数（ ）
A．40°
B．70°
C．30°
D．50°
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，PQ垂直平分BC，与AC交于点P，下列结论正确的是（ ）
A．PC＜2PA
B．PC＞2PA
C．AB＜2PA
D．AB＞2PA
5．已知锐角三角形ABC中，∠A＝65°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
6．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）号．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
9．如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（ ）
A．∠ANM＝∠BNM
B．∠MAP＝∠MBP
C．AM＝BM
D．AP＝BN
10．下列图形，轴对称图形有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝
．
12．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于
．
13．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝8，AD＝3，则BD＝
．
14．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有
个
15．如图，在正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN，点E、F、P、Q分别在边AB、BC、CD、AD上，点M、N在边HG上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD的面积为
．
三．解答题（共5小题）
16．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．
18．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连结PB交线段AF相交于点M．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
20．（1）请找出下图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表．
正多边形的边数
3
4
5
6
8
…
对称轴条数
3
4
5
…
（2）请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n（n≥3）变化的关系式
．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（ ）
A．7
B．8
C．12
D．13
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，即可得出DA＝DB＝5，依据CD的长即可得到BC＝CD+BD＝8．
【解答】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB＝5，
又∵CD＝3，
∴BC＝CD+BD＝3+5＝8，
故选：B．
2．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（ ）
A．24cm
B．25cm
C．30cm
D．36cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝36（cm）．
故选：D．
3．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数（ ）
A．40°
B．70°
C．30°
D．50°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DBA＝∠A＝40°，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，PQ垂直平分BC，与AC交于点P，下列结论正确的是（ ）
A．PC＜2PA
B．PC＞2PA
C．AB＜2PA
D．AB＞2PA
【考点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质．
【分析】连接BP，根据三角形内角和定理求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，得到∠PBC＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质、三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：连接BP，
∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵PQ垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠C＝30°，
∴∠ABP＝30°，
∴AP＝BP＝PC，
∴PC＝2PA，故A、B选项错误；
∵∠A＝90°，
∴AB＜PB＜2PA，
∴C正确，D错误；
故选：C．
5．已知锐角三角形ABC中，∠A＝65°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝115°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵∠BAC＝65°，
∴∠ABC+∠ACB＝115°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝65°，
∴∠OBC+∠OCB＝115°﹣65°＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝25°，
故选：A．
6．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】生活中的轴对称现象．
【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于直线l成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着某条直线翻折互相重合．
故选：C．
7．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）号．
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】生活中的轴对称现象．
【分析】根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
∴该球最后将落入的球袋是4号．
故选：D．
8．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
【考点】轴对称的性质．
【分析】依据对称轴的不同位置，即可得到位置不同的三角形．
【解答】解：如图所示：
与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有8个，
故选：D．
9．如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（ ）
A．∠ANM＝∠BNM
B．∠MAP＝∠MBP
C．AM＝BM
D．AP＝BN
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵点P是直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，B，C正确，而D错误，
故选：D．
10．下列图形，轴对称图形有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：由图可得，第一个图是轴对称图形；
第二个图是轴对称图形；
第三个图是轴对称图形；
第四个图不是轴对称图形；
所以轴对称图形有3个，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝ 10° ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线得出AD＝BD，AE＝CE，推出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
12．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于 75°或105° ．
【考点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质．
【分析】分两种情况讨论：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角．先根据线段垂直平分线的性质，得出DA＝DB，EC＝EA，得到∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再根据关系式∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC或∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAE，即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：①如图，当∠BAC为锐角时，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，EC＝EA，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC，且∠DAE＝30°，
∴30°＝∠B+∠C﹣∠BAC，
即30°＝（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC，
解得∠BAC＝75°．
②当∠BAC为钝角时，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
同理∠C＝∠EAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAB+∠EAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣75°＝105°，
故答案为：75°或105°．
13．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝8，AD＝3，则BD＝ 5 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据垂直平分线的性质可得D＝CD，进而求出BD的长度．
【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵BC＝8，AD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
14．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有 3 个
【考点】轴对称的性质．
【分析】依据大正方形的对称轴，即可画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形．
【解答】解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：
故答案为：3．
15．如图，在正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN，点E、F、P、Q分别在边AB、BC、CD、AD上，点M、N在边HG上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD的面积为 + ．
【考点】轴对称图形．
【分析】连接BD，交PQ于R，交HG于S，交EF于K，依据轴对称图形的性质，即可得到BD的长，进而得到正方形ABCD的面积．
【解答】解：如图，连接BD，交PQ于R，交HG于S，交EF于K，
∵正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN，
∴EH＝EF＝2，MQ＝QP＝，
又∵组成的图形为轴对称图形，
∴BD为对称轴，
∴△BEF、△DPQ为等腰直角三角形，四边形EKSH、四边形MSRQ为矩形，
∴EK＝BK＝EF＝1，DR＝QR＝PQ＝，KN＝EH＝2，RS＝MQ＝，
∴BD＝1+2++＝3+，
∴正方形ABCD的面积＝BD2＝×（3+）2＝+，
故答案为：+．
三．解答题（共5小题）
16．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】依据线段垂直平分线的性质，可得∠A＝∠ABD＝2∠CBD，设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α，依据三角形内角和定理，即可得到∠A的度数．
【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴∠A＝∠ABD，
又∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠A＝∠ABD＝2∠CBD，
设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α，
又∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
即α+α+α＝90°，
解得α＝36°，
∴∠A＝36°．
18．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连结PB交线段AF相交于点M．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【考点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）依据垂直平分线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠CDA＝∠BAD，即可得到AB∥CD；
（2）判定△ACE≌△ABE，可得AC＝AB．再判定△ACM≌△ABM，可得∠AMC＝∠AMB，再根据三角形内角和定理，即可得到∠F＝∠MCD．
【解答】解：（1）∵BC垂直平分AD，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠CDA，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDA＝∠BAD，
∴AB∥CD；
（2）结论：∠F＝∠MCD，
理由：∵∠DAC＝∠CDA，∠DAC＝∠MPC，
∴∠CDA＝∠MPC，
又∵∠CDA+∠CDM＝180°，∠MPC+∠MPF＝180°，
∴∠CDM＝∠MPF；
又∵AF平分∠BAC，AE⊥BC，AE＝AE．
∴△ACE≌△ABE（ASA），
∴AC＝AB．
又∵AF平分∠BAC，AM＝AM，
∴△ACM≌△ABM（SAS），
∴∠AMC＝∠AMB，
又∵∠AMB＝∠PMF．
∴∠AMC＝∠PMF．
又∵∠AMC+∠MCD+∠CDM＝180°，∠PMF+∠MPF+∠F＝180°，
∴∠F＝∠MCD．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
【考点】平行线的判定与性质；轴对称的性质．
【分析】（1）根据点C关于直线PA的对称点为D，即可得到△ADP≌△ACP，进而得出∠APC＝∠APD＝60°，即可得到∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）先取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，进而得到∠DBP＝90°，即BD⊥BC．再根据△APC的PC边上的高为AH，可得AH⊥BC，进而得出BD∥AH；
（3）过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．根据∠GBA＝∠CBA＝45°，可得点A在∠GBC的平分线上，进而得到点A在∠GDP的平分线上．再根据∠GDP＝150°，即可得到∠C＝∠ADP＝75°，进而得到Rt△ACH中，∠CAH＝15°，即可得出∠BAP＝∠CAH．
【解答】解：（1）∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠APC＝15°+45°＝60°，
∵点C关于直线PA的对称点为D，
∴PD＝PC，AD＝AC，
∴△ADP≌△ACP，
∴∠APC＝∠APD＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）直线BD，AH平行．理由：
∵BC＝3BP，
∴BP＝PC＝PD，
如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，
∴∠BEP＝60°，
∴∠BDE＝∠BEP＝30°，
∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC．
又∵△APC的PC边上的高为AH，
∴AH⊥BC，
∴BD∥AH；
（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．
∵∠APC＝∠APD，即点A在∠DPC的平分线上，
∴AH＝AF．
∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠GBA＝∠CBA＝45°，
即点A在∠GBC的平分线上，
∴AG＝AH，
∴AG＝AF，
∴点A在∠GDP的平分线上．
又∵∠BDP＝30°，
∴∠GDP＝150°，
∴∠ADP＝×150°＝75°，
∴∠C＝∠ADP＝75°，
∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°，
∴∠BAP＝∠CAH．
20．（1）请找出下图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表．
正多边形的边数
3
4
5
6
8
…
对称轴的条数
3
4
5
…
（2）请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n（n≥3）变化的关系式 y＝n ．
【考点】轴对称图形．
【分析】（1）观察出正三角形的对称轴有3条，正方形有4条对称轴，正5边形有5条对称轴，再分别画出正6、8边形的对称轴即可推出答案；
（2）根据正三角形的对称轴有3条，正方形有4条对称轴，正5边形有5条对称轴等等，即可找出规律﹣﹣正多边形得边数和对称轴的条数相等，即可写出答案．
【解答】答（1）
正多边形的边数
3
4
5
6
8
…
对称轴的条数
3
4
5
6
8
…
故答案为：6，8．
解：（2）y＝n（n≥3）
故答案为：y＝n．
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精品试卷·第
2
页
（共
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13.1
轴对称
高频易错题汇编
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（ ）
A．7
B．8
C．12
D．13
2．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（ ）
A．24cm
B．25cm
C．30cm
D．36cm
3．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数（ ）
A．40°
B．70°
C．30°
D．50°
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，PQ垂直平分BC，与AC交于点P，下列结论正确的是（ ）
A．PC＜2PA
B．PC＞2PA
C．AB＜2PA
D．AB＞2PA
5．已知锐角三角形ABC中，∠A＝65°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
6．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）号．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
9．如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（ ）
A．∠ANM＝∠BNM
B．∠MAP＝∠MBP
C．AM＝BM
D．AP＝BN
10．下列图形，轴对称图形有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝
．
12．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于
．
13．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝8，AD＝3，则BD＝
．
14．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有
个
15．如图，在正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN，点E、F、P、Q分别在边AB、BC、CD、AD上，点M、N在边HG上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD的面积为
．
三．解答题（共5小题）
16．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．
18．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连结PB交线段AF相交于点M．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
20．（1）请找出下图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表．
正多边形的边数
3
4
5
6
8
…
对称轴条数
3
4
5
…
（2）请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n（n≥3）变化的关系式
．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（ ）
A．7
B．8
C．12
D．13
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，即可得出DA＝DB＝5，依据CD的长即可得到BC＝CD+BD＝8．
【解答】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB＝5，
又∵CD＝3，
∴BC＝CD+BD＝3+5＝8，
故选：B．
2．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（ ）
A．24cm
B．25cm
C．30cm
D．36cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝36（cm）．
故选：D．
3．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数（ ）
A．40°
B．70°
C．30°
D．50°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DBA＝∠A＝40°，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，PQ垂直平分BC，与AC交于点P，下列结论正确的是（ ）
A．PC＜2PA
B．PC＞2PA
C．AB＜2PA
D．AB＞2PA
【考点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质．
【分析】连接BP，根据三角形内角和定理求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，得到∠PBC＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质、三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：连接BP，
∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵PQ垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠C＝30°，
∴∠ABP＝30°，
∴AP＝BP＝PC，
∴PC＝2PA，故A、B选项错误；
∵∠A＝90°，
∴AB＜PB＜2PA，
∴C正确，D错误；
故选：C．
5．已知锐角三角形ABC中，∠A＝65°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝115°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵∠BAC＝65°，
∴∠ABC+∠ACB＝115°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝65°，
∴∠OBC+∠OCB＝115°﹣65°＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝25°，
故选：A．
6．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】生活中的轴对称现象．
【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于直线l成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着某条直线翻折互相重合．
故选：C．
7．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）号．
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】生活中的轴对称现象．
【分析】根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
∴该球最后将落入的球袋是4号．
故选：D．
8．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
【考点】轴对称的性质．
【分析】依据对称轴的不同位置，即可得到位置不同的三角形．
【解答】解：如图所示：
与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有8个，
故选：D．
9．如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（ ）
A．∠ANM＝∠BNM
B．∠MAP＝∠MBP
C．AM＝BM
D．AP＝BN
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵点P是直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，B，C正确，而D错误，
故选：D．
10．下列图形，轴对称图形有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：由图可得，第一个图是轴对称图形；
第二个图是轴对称图形；
第三个图是轴对称图形；
第四个图不是轴对称图形；
所以轴对称图形有3个，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝ 10° ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线得出AD＝BD，AE＝CE，推出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
12．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于 75°或105° ．
【考点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质．
【分析】分两种情况讨论：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角．先根据线段垂直平分线的性质，得出DA＝DB，EC＝EA，得到∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再根据关系式∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC或∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAE，即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：①如图，当∠BAC为锐角时，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，EC＝EA，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC，且∠DAE＝30°，
∴30°＝∠B+∠C﹣∠BAC，
即30°＝（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC，
解得∠BAC＝75°．
②当∠BAC为钝角时，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
同理∠C＝∠EAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAB+∠EAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣75°＝105°，
故答案为：75°或105°．
13．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝8，AD＝3，则BD＝ 5 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据垂直平分线的性质可得D＝CD，进而求出BD的长度．
【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵BC＝8，AD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
14．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有 3 个
【考点】轴对称的性质．
【分析】依据大正方形的对称轴，即可画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形．
【解答】解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：
故答案为：3．
15．如图，在正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN，点E、F、P、Q分别在边AB、BC、CD、AD上，点M、N在边HG上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD的面积为 + ．
【考点】轴对称图形．
【分析】连接BD，交PQ于R，交HG于S，交EF于K，依据轴对称图形的性质，即可得到BD的长，进而得到正方形ABCD的面积．
【解答】解：如图，连接BD，交PQ于R，交HG于S，交EF于K，
∵正方形ABCD中，有面积为4的正方形EFGH和面积为2的正方形PQMN，
∴EH＝EF＝2，MQ＝QP＝，
又∵组成的图形为轴对称图形，
∴BD为对称轴，
∴△BEF、△DPQ为等腰直角三角形，四边形EKSH、四边形MSRQ为矩形，
∴EK＝BK＝EF＝1，DR＝QR＝PQ＝，KN＝EH＝2，RS＝MQ＝，
∴BD＝1+2++＝3+，
∴正方形ABCD的面积＝BD2＝×（3+）2＝+，
故答案为：+．
三．解答题（共5小题）
16．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】依据线段垂直平分线的性质，可得∠A＝∠ABD＝2∠CBD，设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α，依据三角形内角和定理，即可得到∠A的度数．
【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴∠A＝∠ABD，
又∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠A＝∠ABD＝2∠CBD，
设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α，
又∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
即α+α+α＝90°，
解得α＝36°，
∴∠A＝36°．
18．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连结PB交线段AF相交于点M．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【考点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）依据垂直平分线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠CDA＝∠BAD，即可得到AB∥CD；
（2）判定△ACE≌△ABE，可得AC＝AB．再判定△ACM≌△ABM，可得∠AMC＝∠AMB，再根据三角形内角和定理，即可得到∠F＝∠MCD．
【解答】解：（1）∵BC垂直平分AD，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠CDA，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDA＝∠BAD，
∴AB∥CD；
（2）结论：∠F＝∠MCD，
理由：∵∠DAC＝∠CDA，∠DAC＝∠MPC，
∴∠CDA＝∠MPC，
又∵∠CDA+∠CDM＝180°，∠MPC+∠MPF＝180°，
∴∠CDM＝∠MPF；
又∵AF平分∠BAC，AE⊥BC，AE＝AE．
∴△ACE≌△ABE（ASA），
∴AC＝AB．
又∵AF平分∠BAC，AM＝AM，
∴△ACM≌△ABM（SAS），
∴∠AMC＝∠AMB，
又∵∠AMB＝∠PMF．
∴∠AMC＝∠PMF．
又∵∠AMC+∠MCD+∠CDM＝180°，∠PMF+∠MPF+∠F＝180°，
∴∠F＝∠MCD．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
【考点】平行线的判定与性质；轴对称的性质．
【分析】（1）根据点C关于直线PA的对称点为D，即可得到△ADP≌△ACP，进而得出∠APC＝∠APD＝60°，即可得到∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）先取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，进而得到∠DBP＝90°，即BD⊥BC．再根据△APC的PC边上的高为AH，可得AH⊥BC，进而得出BD∥AH；
（3）过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．根据∠GBA＝∠CBA＝45°，可得点A在∠GBC的平分线上，进而得到点A在∠GDP的平分线上．再根据∠GDP＝150°，即可得到∠C＝∠ADP＝75°，进而得到Rt△ACH中，∠CAH＝15°，即可得出∠BAP＝∠CAH．
【解答】解：（1）∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠APC＝15°+45°＝60°，
∵点C关于直线PA的对称点为D，
∴PD＝PC，AD＝AC，
∴△ADP≌△ACP，
∴∠APC＝∠APD＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）直线BD，AH平行．理由：
∵BC＝3BP，
∴BP＝PC＝PD，
如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，
∴∠BEP＝60°，
∴∠BDE＝∠BEP＝30°，
∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC．
又∵△APC的PC边上的高为AH，
∴AH⊥BC，
∴BD∥AH；
（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．
∵∠APC＝∠APD，即点A在∠DPC的平分线上，
∴AH＝AF．
∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠GBA＝∠CBA＝45°，
即点A在∠GBC的平分线上，
∴AG＝AH，
∴AG＝AF，
∴点A在∠GDP的平分线上．
又∵∠BDP＝30°，
∴∠GDP＝150°，
∴∠ADP＝×150°＝75°，
∴∠C＝∠ADP＝75°，
∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°，
∴∠BAP＝∠CAH．
20．（1）请找出下图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表．
正多边形的边数
3
4
5
6
8
…
对称轴的条数
3
4
5
…
（2）请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n（n≥3）变化的关系式 y＝n ．
【考点】轴对称图形．
【分析】（1）观察出正三角形的对称轴有3条，正方形有4条对称轴，正5边形有5条对称轴，再分别画出正6、8边形的对称轴即可推出答案；
（2）根据正三角形的对称轴有3条，正方形有4条对称轴，正5边形有5条对称轴等等，即可找出规律﹣﹣正多边形得边数和对称轴的条数相等，即可写出答案．
【解答】答（1）
正多边形的边数
3
4
5
6
8
…
对称轴的条数
3
4
5
6
8
…
故答案为：6，8．
解：（2）y＝n（n≥3）
故答案为：y＝n．
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精品试卷·第
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