2020-2021学年人教新版八年级数学上册《13.4 课题学习 最短路径问题》高频易错题汇编（附解析）

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13.4
课题学习
最短路径问题
高频易错题汇编
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，AB＝BC，点D在AC上，BD＝6cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6cm，则∠ABC＝（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140°
B．100°
C．50°
D．40°
3．如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（　　）
A．（0，）
B．（0，）
C．（0，）
D．（0，）
4．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（　　）
A．16
B．15
C．14
D．13
5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（　　）
A．
B．13
C．
D．18
6．如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（　　）
A．8
B．7
C．6
D．4
8．如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（　　）
A．PA＝PC
B．PA＝PE
C．∠APE＝90°
D．∠APC＝∠DPE
9．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为（　　）
A．5cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
10．在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，D为AB上的中点，P为AC上的动点，则PB+PD的最小值为（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
二．填空题（共5小题）
11．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠DCF的度数为　
　．
12．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　
　．
13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为　
　．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为　
　．
15．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为　
　cm时，线段CQ+PQ的和为最小．
三．解答题（共5小题）
16．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；
方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．
17．已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）．
（1）求点A的坐标；
（2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值．
18．如图，A、B两工厂在河边CD的同侧，A、B两工厂到河边的距离分别为AC＝3.5km，BD＝12.5km，CD＝12km，现要在河边CD上建一水厂P向A、B两工厂输送自来水，铺设水管时工程费为每千米2000元．请你设计一种方案：要求水厂P建在线段CD上且能使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的最省费用．
19．已知点A（1，3）、B（5，﹣2），在x轴上找一点P，使（1）AP+BP最小；（2）|AP﹣BP|最小；（3）|AP﹣BP|最大．
20．已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，∠B＝30°，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，AB＝BC，点D在AC上，BD＝6cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6cm，则∠ABC＝（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【考点】等腰三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】将△ABD和△DBC沿着AB和BC向外翻折，得△ABG和△BCH，连接GH交AB和BC于点E和F，此时△DEF的周长最小即为GH的长，进而证明△BGH是等边三角形，即可得∠ABC的度数．
【解答】解：如图，
将△ABD和△DBC沿着AB和BC向外翻折，
得△ABG和△BCH，
连接GH交AB和BC于点E和F，
此时△DEF的周长最小即为GH的长，
∴GH＝6，
∵BD＝6，
∴BG＝BH＝BD＝6＝GH，
∴△BGH是等边三角形，
∴∠GBH＝60°，
∴2∠ABD+2∠DBC＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝30°，
∴∠ABC＝30°．
故选：C．
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140°
B．100°
C．50°
D．40°
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，
故选：B．
3．如图，已知P（3，2），B（﹣2，0），点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标为（　　）
A．（0，）
B．（0，）
C．（0，）
D．（0，）
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形变化﹣平移．
【分析】将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，可得四边形ABNM是平行四边形，根据当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，可得PM、MN、NB长度之和最小，再根据待定系数法求得AP的解析式，即可得到点M的坐标．
【解答】解：如图，将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，则BN＝AM，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴MN＝AB＝1，
∴当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，
此时PM、MN、NB长度之和最小，
∵P（3，2），B（﹣2，0），AB＝1，
∴A（﹣1，0），
设AP的解析式为y＝kx+b，则
，解得，
∴y＝x+，
令x＝0，则y＝，即M（0，），
故选：A．
4．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（　　）
A．16
B．15
C．14
D．13
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义，求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．
【解答】解：∵P点关于OB、OA的对称点为P1，P2，
∴P1M＝PM，P2N＝PN，
∴△PMN的周长＝MN+PM+PN＝MN+P1M+P2N＝P1P2，
∵P1P2＝15，
∴△PMN的周长为15．
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（　　）
A．
B．13
C．
D．18
【考点】坐标与图形性质；线段垂直平分线的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】过A作AH⊥OB于H，连接AD，根据MN垂直平分AB，即可得到AD＝BD，当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，根据勾股定理求得AC的长，即可得到△BCD周长的最小值为13+5＝18．
【解答】解：如图，过A作AH⊥OB于H，连接AD，
∵点A坐标为（10，12），AO＝AB，
∴OH＝BH＝10，AH＝12，
又∵OC＝3BC，
∴BC＝5，CO＝15，
∴CH＝15﹣10＝5，
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AD+CD，
∴当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，
此时，Rt△ACH中，AC＝＝＝13，
∴△BCD周长的最小值＝13+5＝18，
故选：D．
6．如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】垂线段最短；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】依据轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离即可．
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（　　）
A．8
B．7
C．6
D．4
【考点】线段垂直平分线的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到△ABP周长的最小值．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝3+4＝7．
故选：B．
8．如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（　　）
A．PA＝PC
B．PA＝PE
C．∠APE＝90°
D．∠APC＝∠DPE
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小，依据轴对称的性质即可得到∠APC＝∠DPE．
【解答】解：如图，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小．
由对称性可知：∠EPD＝∠FPD，
∵∠CPA＝∠FPD，
∴∠APC＝∠DPE，
∴PA+PE最小时，点P应该满足∠APC＝∠DPE，
故选：D．
9．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为（　　）
A．5cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝12，
解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故选：C．
10．在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，D为AB上的中点，P为AC上的动点，则PB+PD的最小值为（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
【考点】含30度角的直角三角形；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】先作点D关于AC的对称点E，连接AE，PE，DE，则AE＝AD，PE＝PD，当B，P，E在同一直线上时，BP+PD＝BP+PE＝BE，再判定△ADE是等边三角形，求得Rt△ABE中，BE＝2，即可得到PB+PD的最小值为2．
【解答】解：如图所示，作点D关于AC的对称点E，连接AE，PE，DE，则AE＝AD，PE＝PD，
∴BP+PD＝BP+PE，
∴当B，P，E在同一直线上时，BP+PD＝BP+PE＝BE，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
又∵D为AB上的中点，
∴DE＝AD＝DB，
∴∠DEB＝∠ADE＝30°＝∠ABE，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝4，
∴AE＝2，
∴Rt△ABE中，BE＝2，
即PB+PD的最小值为2，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠DCF的度数为　30°　．
【考点】等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】可以取AB的中点G，连接CG交AD于点F，根据等边△ABC的边长为4，AE＝2，可得点E是AC的中点，点G和点E关于AD对称，此时EF+FC＝CG最小，根据等边三角形的性质即可得∠DCF的度数．
【解答】解：如图，
取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE＝2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC＝CG最小，
根据等边三角形的性质可知：
∠GCB＝ACB＝30°．
所以∠DCF的度数为30°．
故答案为30°．
12．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　6　．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC＝6，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC＝6，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE＝BC?cos45°＝6×＝6．
∴CM+MN的最小值为6．
故答案为：6．
13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为　5　．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q．连结AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，即可得出△DEF周长的最小值．
【解答】解：分别作点E关于AB，AC的对称点P，Q．
则DE＝PD，EF＝FQ．
连结AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，
则∠PAQ＝120°，且AP＝AE＝AQ，从而∠APQ＝30°，
故．
过点A作AH⊥BC于点H，则，
于是△DEF的周长为：．
故答案为：5．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为　6　．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD＝6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，于是得到AD的长度＝PB+PD的最小值，即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为6，
故答案为：6．
15．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为　3　cm时，线段CQ+PQ的和为最小．
【考点】等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】连接AQ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ＝AQ，依据当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长．
【解答】解：如图，连接AQ，
∵等边△ABC中，BD为AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC，
∴CQ＝AQ，
∴CQ+PQ＝AQ+PQ，
∴当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，
此时，P为BC的中点，
又∵等边△ABC的周长为18cm，
∴BP＝BC＝×6＝3cm，
故答案为：3．
三．解答题（共5小题）
16．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；
方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．
【考点】等腰三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，根据勾股定理求出方案2，进行比较即可；
（2）分3种情况讨论画图解答即可．
【解答】解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，
方案2：，
∵，
∴方案1更合适；
（2）（方法不唯一）如图，
①若AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，
（或）＞4
∴（不合题意，舍去）
②若AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，
，
③当AQ3＝BQ3时，
设DQ3＝x，
则有x2+42＝（4﹣x）2+12
8x＝1
∴，
即：；
故当DQ＝3或时，△ABQ为等腰三角形．
17．已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）．
（1）求点A的坐标；
（2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值．
【考点】一元一次不等式组的整数解；坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）依据点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，即可得到A（﹣1，2）；
（2）作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2），利用待定系数法即可得到直线BC的解析式，进而得到点P的坐标；依据勾股定理依据轴对称的性质，即可得到PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）∵点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，
∴，
解得1＜m＜3，
∴m＝2，
∴A（﹣1，2）；
（2）如图，作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2），
连接BC交x轴于P，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴y＝x﹣；
①令y＝0，则x＝，即P（，0）；
②如图，过C作CD∥x轴，过B作BD∥y轴，则CD＝4，BD＝3，
∴Rt△BCD中，BC＝＝5，
即PA+PB的最小值为5．
18．如图，A、B两工厂在河边CD的同侧，A、B两工厂到河边的距离分别为AC＝3.5km，BD＝12.5km，CD＝12km，现要在河边CD上建一水厂P向A、B两工厂输送自来水，铺设水管时工程费为每千米2000元．请你设计一种方案：要求水厂P建在线段CD上且能使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的最省费用．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】将铺设水管的最省费用问题，转化成求最短路线问题．
本题并未明确指出是由水厂“分别”向A、B两两地输送自来水，也可以先经A村，再送到B村，或先经B村现到A村．
分情况讨论：（1）若建在C点，根据垂线段最短和两点之间线段最短，可确定最短距离是：AC+AB．
　　　　　　（2）若建在D点，根据垂线段最短和两点之间线段最短，可确定最短距离是：DB+AB．
　　　　　　（3）若建在线段CD（不包括C，D点），如图所示，根据对称可确定，最知道距离是：BA′．
【解答】解：（1）如图所示，若建在C点，根据垂线段最短和两点之间线段最短，可确定最短距离是：D1＝AC+AB，
过点A作AE⊥BD，由AC＝3.5km，BD＝12.5km，CD＝12km，
易得BE＝BD﹣AC＝12.5﹣3.5＝9km，
AE＝CD＝12km，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
即AB2＝122+92，
AB＝15km，
则最短距离是：AC+AB＝3.5+15＝18.5km，
工程费用为：18.5×2000＝37000元．
（2）如图所示，若建在D点，根据垂线段最短和两点之间线段最短，可确定最短距离是：D2＝BD+AB，
∵BD＝12.5，且由（1）可知AB＝15km，
∴最短距离是：BD+AB＝12.5+15＝27.5km，
工程费用为：27.5×2000＝55000元．
（3）如图所示，若建在线段CD（不包括C，D点），分别向A、B两地输送自来水，作A点关于直线CD的对称点E，连接BE，与CD交于点P，则PA+PB最短，过E作EF∥CD与BD交于点F，由作图可知，
PA＝EP，EF＝CD＝12km，AC＝CE＝DF＝3.5KM，
所以PA+PB＝EP+PB＝EB，在Rt△BEF中，
EF＝12km，BF＝BD+DF＝12.5+3.5＝16KM，
由勾股定理可得：BE2＝BF2+EF2，
BE2＝162+122，
解得：BE＝20，
工程费用为：20×2000＝40000元．
故综合考虑水厂P应建在C点，铺设水管的最省，最底费用为37000元．
19．已知点A（1，3）、B（5，﹣2），在x轴上找一点P，使（1）AP+BP最小；（2）|AP﹣BP|最小；（3）|AP﹣BP|最大．
【考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）连接AB，则AB与x轴的交点P即为所求的点，用待定系数法求出AB所在直线的解析式，再根据x轴上点的坐标特点求出P点坐标即可；
（2）因为|AP﹣BP|≥0，所以当AP＝BP时|AP﹣BP|最小，即点P在线段A′B的垂直平分线上，设出P点坐标，利用两点间的距离公式即可求解；
（3）因为当P点在直线A′B与X轴的交点时，取等号这时绝对值（AP﹣BP）最大，等于A′B，所以用待定系数法求出过A′、B两点的直线解析式，再把所设P点坐标代入求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，
连接AB，则直线AB交x轴于点P，设P（x，0），过AB两点的直线为y＝kx+b（k≠0），
则，解得k＝﹣，b＝，
故过A、B两点的一次函数的解析式为y＝﹣x+，
把点P（x，0）代入一次函数的解析式得﹣x+＝0，解得x＝，
故P点坐标为（，0）；
（2）因为|AP﹣BP|≥0，所以当AP＝BP时|AP﹣BP|最小，
故点P在线段AB的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则点P即为所求，
设P（x，0），则
PA′＝PB，即＝，解得x＝，故点P的坐标为（，0）；
（3）作A关于X轴的对称点A1（也可以作B关于x轴的对称点B1，道理一样），这样AP始终等于A′P的，点A′，P，B构成三角形，所以0＜绝对值（AP﹣BP）＜A′B，其实右边可以取等号，也就是当P点在直线A′B与X轴的交点时，取等号这时绝对值（AP﹣BP）最大，等于A′B，
设P（x，0），过A′B两点的直线为y＝kx+b（k≠0），
故，解得k＝，b＝﹣，
故过A′B的一次函数解析式为y＝x﹣，
把P（x，0）代入得，x﹣＝0，解得x＝13，
故P点坐标为（13，0）．
20．已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，∠B＝30°，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】由费马点定理分△ABC每个角小于120°和一个角大于120°两种情况作答，（1）若△ABC每个角小于120°时，将△BPC绕点B按逆时针旋转60°得到△BP′C′由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论；
（2）若有一个角大于120°时，此时以该点为中心，以180°减去该角大小为旋转角进行旋转，再由余弦定理及两点之间线段最短的知识即可得出结论．
【解答】解：（1）若△ABC每个角小于120°时，只需将△BPC绕点B按逆时针旋转60°得到△BP′C′，易知此时有BP＝PP′，PC＝P′C′，
从而PA+PB+PC＝AP+PP′+P′C′≥AC′＝，
当A、P′、P、C′四点共线时取等号，最小值为；
（2）若有一个角大于120°时，此时以该点为中心，以180°减去该角大小为旋转角进行旋转，
①∠A≥120°时，当P点与A重合时，PA+PB+PC最小，最小值为a+；
②∠C≥120°时，当P点与C重合时，PA+PB+PC最小，最小值为a+．
故答案为：或a+．
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精品试卷·第
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