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2.2 列代数式（2）
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
复习提问
什么叫代数式？
用运算符号把数与字母连接而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫代数式
如：2x+3y, ,0, -3, 0.5
由于列代数式是往后要学习的方
程、函数、不等式以及物理化学等知
识的基础，因此尽管上次我们学习了
列代数式，但感觉还不够，今天还需
要继续训练列代数式。
新课引言
设时间为t，路程为s,速度为v。
那么s=______,v=_____,t=_______
主题讲解
主题一、 行程问题：
【例1】 小兰的家离学校5千米，她步行的速度是v千米/时，（1）小兰从家到学校需要走_____小时；
（2）为了提前到校，她每小时多走了0.5千米，那么她能提前( )小时到校
【分析】时间=路程/速度
【解】（1）小兰的家到学校需要的时间为： 小时。
（2）每小时多走0.5km，所用时间是： ，所以
可以提前的时间为：
。
B
【点评】
熟练掌握各个量之间的关系
是解决列代数式问题的关键。
【变式练习】
（1）小兰的家离学校5千米，她计划步行t小时到学校，因事晚出发了10分钟，为了准时到校，她需
要把速度提高_________千米/时。
【解】计划用的时间为t小时,实际用的时间为_____小时 ；
按计划的时间行走的速度为：______千米/时 ；
按实际用的时间行走的速度为：
______ 千米/时；
实际速度比计划速度快___________千米/时
（2）轮船在静水中的速度是x千米/时，相距10千米的A,B两码头间水流速度为5千米/时，则该轮船往回于A，B两个码头共需要时间_________小时。
【分析】航行问题中：
顺流而下的速度=静水速度+水流速度，
逆流而上的速度=静水速度-水流速度。
【解】顺流速度为（x+5）千米/时，从A到B顺流的
时间为：________，逆流速度为（x-5）千米/时，
从A到B逆流的时间为___________。因此往返一次用
的时间为：_____________________ 。
【点评】
航海问题中，顺流速度和
逆流速度不同，要分清是顺流
航行还是逆流航行。
主题二、 工程问题：
设工作量为Q,工作时间为t,工作效率为v,则
Q=______,v=_____,t=______.
【例2】 一项工程甲独做要a天完成，乙独做要b天完成，现在甲先做3天，剩下的工作乙独做还需要_________天才能完成。
【解】甲、乙的工作效率分别为_____ ，甲先做3天的
工作量为：_____ ，剩下的工作量为：______
乙做剩下的工作需要的时间为：_______
【点评】关键是用含字母的代数式表示问题中的各个量。
vt
【变式练习】（2011浙江温州）汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程，某工程队承包了该项目，计划每天加固60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务．设滨海区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际
时间比原计划时间少用了 ___天（用含a的代数式表示）．
时间 效率 工作量
计划
实际
60
60 ×1.5
a
a
a/60
a/60×1.5
【解】按计划速度，需要的时间是：_
__________ 天
实际需要的时间是：____________天
因此实际比原计划的时间少了：
————————天。
主题三、 面积问题
【例3】、如图， 直角三角形三边的长分别为a cm， b cm， 5 cm， 斜边上的高是多少？
【解】 根据直角三角形的面积等
于两条直角边的积的一半，同时，
也等于斜边与斜边上的高的积的一半，因此两直
角边的积等于斜边和斜边上的高的积。 即可得出
斜边上的高为_______
【变式练习】
如图，阴影部分的面积是_________
【分析】阴影部分的面积等于两个直角扇形的面积之和减去正方形的面积。
【解】阴影部分的面积为：
4、 利润问题：
利润=____________,利润率=__________,
售价=（ ）成本
。
【例4】某超市进了一批商品，每件进价为a元，若要获利25％，每件商品的零售价应定为（ ） A 25％a B (1-25％)a
C (1+25％)a D
【分析】售价=（1+利润率）成本
【解】每件商品的零售价为（1+25%）a,
因此选C
1+利润率
售价-成本
C
【变式练习】
（2010 黄冈）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是
_______元.
【解法一】设原来收费标准是x元/分，依题意，得：（x-a）(1-20%)=b, 解得：x=a+1.25b.
（2010 黄冈）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是_______元。
【解法二】AB表示原来
的收费标准，CB表
示第一次降低后的费用等于a,DC是第二次降低的费用，AD表示两次降低后的标准等于b，AC分5等分
，AD占4等分，DC等于它的一等分 ，所以，原来
的费用是(a+b+ )元。
5、探究规律问题
【例5】 测得一根弹簧的长度L与所挂物体的重量m(千克)的关系如下列一组数据（重量不超过20千克时，在去掉重物后，弹簧能恢复原状，）
你能表示弹簧长度与所挂物体重量的关系吗？
物体重量
m(kg)
0
1
2
3
4
5
6 …
弹簧长度
l(cm)
6
6+0.5
6+1
6+1.5
6+2
6+2.5
6+3 …
【解】从表可以看出，重量每增加1千克
，弹簧长度增加0.5cm.所以设弹簧的长度
为L（cm）,则L=6+0.5m.
如图，是由若干盆花组成的形如正多边形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞2）盆花，每个图案中花盆总数为S，按此规律推断S与n（n≥3）的关系式是：S=__________
．
【分析】：关键是通过观察图形，归纳与总结，
得到其中的规律．
变式练习
【解法一】由图形可知：
n=3，s═6=3×3-3；
n=4，s=12=4×4-4；
n=5，s=20=5×5-5；
…
n=n，s=n×n-n=n2-n．
故应填s=n2-n．
【解法二】每条边上花的朵数与边数相等，因此当边
数为n时每条边上有n朵花，那么第n个图形共有
n×n=n2朵花，这与解法一的结果为什么不一致呢？
用这种算法每一个图形的顶点处的花算了两次，又
顶点数与边数相等，所以第n个图形有n个顶点，有n
朵花算了两次，因此第n个图形共有n2-n朵花。
【点评】：本题需通过观察、归纳，总结其中的规律．
【变式练习】
（2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：
① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1
② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1
③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1
④______________________________
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）按这个规律写出第n个算式的左边和结果。
【解】（1）4 × 6 – 52 = 24 – 25 = -1，
(2)第n个算式是： n× (n+2) – (n+1)2 = -1
4 × 6 – 52 = 24 – 25 = -1
１、火车平均每小时运行ｖ km， 用代数式表示：
（１） 经过２ h， 火车运行了________km；
（２） 如果火车行驶４００ km， 那
么需要__________h．
课堂练习
2V
２、填空： （１） 棱长是ａ cm 的正方体， 它的表面
积是__________ cm3
（２） 汽车厂去年生产汽车ａ 台， 今年比去年增产ｐ％， 那么今年生产了汽车
_______________台
6a
(1+p%)a
反思小结
首先,要认真审题,仔细分析问题中的和、差、积、大、小、多、少、倍、几分之几等基本术语的含义和它们之间的运算关系.其次,要注意题目的语言叙述所直接或间接表示的运算顺序,注意正确使用表明运算顺序的括号.
审清题意是解决用代数式表示实际问题的关键.从题中找到运算顺序,建立数量关系,培养基本的列式能力.
作业
p 65 A 3,4 B 2,3
再见！2.2 列代数式（2）
教学目标
【知识与技能】
能正确的分析词语所描述的数量关系和运算顺序，会列出代数式表示复杂的数量关系。
【过程与方法】
通过实例逐步培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力。
【情感态度与价值观】通过活动培养学生学习数学的兴趣。
重点难点：
重点：根据题意正确的列出代数式；难点：用代数式正确的表示实际问题中的数量关系。
教学过程：
一 复习提问，导入新课
什么叫代数式？
用运算符号把数与字母连接而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫代数式
如：2x+3y,. ,0,-3,0.5
由于列代数式是往后要学习的方程、函数、不等式以及物理化学等知识的基础，因此尽管上次我们学习了列代数式，但感觉还不够，今天还需要继续训练列代数式。
二 合作交流，探究新知。
1 行程问题：设时间为t，路程为s,速度为v,那么s=______,v=_____,t=_______
【例1】 小兰的家离学校5千米，她步行到速度是v千米/时，（1）小兰从家到学校需要走_____小时；（2）为了提前到校，她每小时多走了0.5千米，那么她能提前( )小时到校
A B C D
【分析】时间=路程/速度
【解】（1）小兰的家到学校需要的时间为：
（2）每小时多走0.5km，所用时间是：，所以可以提前的时间为：
选B.
【点评】熟练掌握各个量之间的关系是解决本题的关键。
【变式练习】：（1）小兰的家离学校5千米，她计划步行t小时到学校，因事晚出发了10分钟，为了准时到校，她需要把速度提高_________千米/时。
【解】计划用的时间为t,实际用的时间为t+,所以按计划的时间行走的速度为：，按实际用的时间行走的速度为：，所以她需要把速度提高：。
轮船在静水中的速度是x千米/时，相距10千米的A,B两码头间水流速度为5千米，则该轮船往回于A，B两个码头共需要时间_________小时。
【分析】航行问题中，顺流而下的速度为=静水速度+水流速度，逆流而上的速度为=静水速度-水流速度
【解】顺流速度为（x+5）千米/时，从A到B顺流的时间为：，逆流速度为（x-5）千米/时，
从A到B逆流的时间为：。因此往返一次用的时间为：。
【点评】航海问题中，顺流速度和逆流速度不同，要分清是顺流行还是逆流航行。
2 工程问题：设工作量为Q,工作时间为t,工作效率为v,则Q=______,v=_____,t=______.
【例2】 一项工程甲独做要a天完成，乙独做要b天完成，现在甲先做3天，剩下的工作乙独做还需要_________天才能完成。
【解】甲、乙的工作效率分别为，甲先做3天的工作量为：，剩下的工作量为：，乙做剩下的工作需要的时间为：
【点评】关键是用含字母的代数式表示问题中的各个量。
【变式练习】（2011浙江温州）汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程，某工程队承包了该项目，计划每天加固60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务．设滨海区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了 天（用含a的代数式表示）．
【答案】
3 面积问题
【例3】、如图2-4， 直角三角形三边的长分别为a cm， b cm， 5 cm，斜边上的高是多少？
【解】图中直角三角形的面积为
根据直角三角形的面积等于两条直角边的积的一半，同时， 也等于斜边与斜边上的高的积的一半，因此两直角边的积等于斜边和斜边上的高的积。 即可得出斜边上的高为。
【变式练习】
如图，阴影部分的面积是_________
【分析】阴影部分的面积等于两个直角扇形的面积之和减去正方形的面积。
【解】阴影部分的面积为：
4、 利润问题：
利润=____________,利润率=__________,售价=（ ）成本
【例4】某超市进了一批商品，每件进价为a元，若要获利25％，每件商品的零售价应定为（ ）
A 25％a B (1-25％)a C (1+25％)a D
【分析】售价=（1+利润率）成本
【解】每件商品的零售价为（1+25%）a,因此选C。
【变式练习】
（2010 黄冈）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是
_______元.
【答案】（a+1.25b）
【解法一】设原来收费标准是x元/分，依题意，得：（x-a）(1-20%)=b,
解得：x=a+1.25b.
【解法二】AB表示原来的收费标准， CB表示第一次降低后的费用，
DC是第二次降低的费用，AD表示两次降低后的标准等于b，AC分5等分，AD占4等分， DC等于它的一等分，即
所以，原来的费用是(a+b+)元。
5、探究规律问题
【例5】 测得一根弹簧的长度L与所挂物体的重量m(千克)的关系如下列一组数据（重量不超过20千克时，在去掉重物后，弹簧能恢复原状，）
物体重量m(情况) 0 1 2 3 4 5 6 …
弹簧长度l(厘米) 6 6+0.5 6+1 6+1.5 6+2 6+2.5 6+3 …
你能表示弹簧长度与所挂物体重量的关系吗？
【解】从表可以看出，重量每增加1千克，弹簧长度增加0.5cm.所以设弹簧的长度为L（cm）,
则L=6+0.5m.
【变式练习】
如图，是由若干盆花组成的形如正多边形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞2）盆花，每个图案中花盆总数为S，按此规律推断S与n（n≥3）的关系式是：S=
．
【分析】：关键是通过观察图形，归纳与总结，得到其中的规律．
【解法一】由图形可知： n=3，s═6=3×3-3；
n=4，s=12=4×4-4；
n=5，s=20=5×5-5；
…
n=n，s=n×n-n=n2-n．
故应填s=n2-n．
【解法二】每条边上花的朵数与边数相等，因此当边数为n时每条边上有n朵花，那么第n个图形共有n×n=n2朵花，这与解法一的结果为什么不一致呢？用这种算法每一个图形的顶点处的花算了两次，又顶点数与边数相等，所以第n个图形有n个顶点，有n朵花算了两次，因此第n个图形共有n2-n朵花。
四 课堂练习，巩固提高
１、火车平均每小时运行ｖ km， 用代数式表示：
（１） 经过２ h， 火车运行了________km；
（２） 如果火车行驶４００ km， 那么需要__________h．
２、回答下列问题：
（１） 棱长是ａ cm 的正方体， 它的表面积是多少？
（２） 汽车厂去年生产汽车ａ 台， 今年比去年增产ｐ％， 那么今年生产了多少台汽车？
3、若n 表示任意一个整数， 试用含n 的代数式来表示任意一个偶数， 任意一个奇数
四．反思小结，拓展提高
首先,要认真审题,仔细分析问题中的和、差、积、大、小、多、少、倍、几分之几等基本术语的含义和它们之间的运算关系.其次,要注意题目的语言叙述所直接或间接表示的运算顺序,注意正确使用表明运算顺序的括号.
审清题意是解决用代数式表示实际问题的关键.从题中找到运算顺序,建立数量关系,培养基本的列式能力.
五 作业 p 65 A 3,4 B 2,3
选做题
1买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球5个排球共需要________元
2 如果a名同学在b小时内同搬运了C块砖，那么C名同学以同样的速度搬运a块砖所需要的小时数是( )(“希望杯“邀请赛试题)
A B C D
3在长方形ABCD中，M是CD边的中点，是以A为为圆心的一段圆弧，是以是B为圆心的一段圆弧，AN=a,BN=b,则图中阴影部分的面积是_____（“希望杯”邀请赛试题）
4如图是2002年6月份的日历，现有一矩形在日历任意框出4个数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系：__________．
5 有一颗树结了m个果子，第一个猴子摘下，又从树上摘下一个扔掉了，第二个猴子摘下，又从树上摘下一个扔掉了，第三个猴子摘下，也从树上摘下一个扔掉了，用代数式表示三个猴子摘走和剩下的果子数。
6、（2010湖北省咸宁）惠民新村分给小慧家一套价格为12万元的住房．按要求，需首期（第一年）付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和．假设剩余房款年利率为0.4%，小慧列表推算如下：
(
第一年
第二年
第三年
…
应还款（万元）
3
…
剩余
房款（万元）
9
8.5
8
…
)
若第年小慧家仍需还款，则第年应还款 万元（＞1）．
【答案】
7 张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了a份报纸，以每份0.5元的价格售出了b份报纸，剩余的以每份0.2元的价格退回报社，则张大伯卖报的收入________元。
【分析】总收入 收入=买报的钱-本钱，或收入=价为0.5元的报赚的钱-价为0.2的报亏损的钱。
【解法一】本钱：0.4a,买出的报分两种，一种是每份0.5元的报b份，另一种是每份0.2元的报（a-b）份
所以卖出报的钱是：0.5b+0.2(a-b)。
所以收入为0.4a-[0.5b+0.2(a-b)]
【解法二】价为0.5元的报每份赚0.1元，价为0.2元的报每份亏0.2元，所以收入为：
0.1b-0.2(a-b)
【点评】本题需分类考虑。
