1．对于抛体运动，以下说法正确的是( )
A．物体一定做曲线运动
B．物体一定做直线运动
C．物体可能做直线运动
D．物体可能做非匀变速运动
解析：选C.抛体运动只受重力，加速度恒为g，故D错误；当初速度方向沿竖直方向时，做直线运动，不沿竖直方向时，做曲线运动．故A、B错误，C对．
2．(2011年惠阳高一检测)一个物体以初速度v0水平抛出，经时间t，竖直方向速度大小也为v0，则t为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在竖直方向上v0＝gt，故t＝.A正确．
3．(2011年广东广州一模)人在距地面高h、离靶面距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，落在靶心正下方，如图5－2－8所示．只改变m、h、L、v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是( )
图5－2－8
A．适当减小v0 B．适当提高h
C．适当减小m D．适当减小L
解析：选BD.适当提高h，可使飞镖投中靶心，选项B正确；由Δh＝gt2，L＝v0t，联立得Δh＝(与飞镖的质量无关)，适当增大v0，或适当减小L，使飞镖在竖直方向下落的距离减小，也可以使飞镖投中靶心，选项A、C错而D对．
4．两物体做平抛运动的初速度之比为2∶1，若它们的水平射程相等，则它们的抛出点离地面高度之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶4 D．4∶1
解析：选C.由x＝v0t，y＝gt2
得x＝v0，
两物体的水平位移x相等，则它们的抛出点离地面的高度之比＝＝，C正确．
5.
图5－2－9
如图5－2－9所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，枪口与目标靶之间的距离s＝100 m，子弹射出的水平速度v＝200 m/s，子弹从枪口射出的瞬间，目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？
(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h为多少？
解析：(1)子弹做平抛运动，它在水平方向的分运动是匀速直线运动，设子弹经t时间击中目标靶，则：t＝
代入数据得t＝0.5 s.
(2)目标靶做自由落体运动，则h＝gt2
代入数据得h＝1.25 m.
答案：(1)0.5 s (2)1.25 m
一、选择题
1．(2011年宣城高一检测)人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，图5－2－10中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
图5－2－10
解析：选C.因为平抛运动的物体只受重力，加速度为g，经任意时间：Δv＝gΔt，方向竖直向下，故C对，A、B、D都错．
2．一架飞机水平匀速飞行．从飞机上每隔1 s释放一个铁球，先后共释放4个，若不计空气阻力，从地面上观察4个球( )
A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的
答案：C
3.
图5－2－11
(2011年北京海淀区高一检测)在同一平台上的O点抛出的3个物体，作平抛运动的轨迹如图5－2－11所示，则3个物体作平抛运动的初速度vA，vB，vC的关系和3个物体平抛运动的时间tA，tB，tC的关系分别是( )
A．vA＞vB＞vC，tA＞tB＞tC
B．vA＝vB＝vC，tA＝tB＝tC
C．vA＜vB＜vC，tA＞tB＞tC
D．vA＞vB＞vC，tA＜tB＜tC
解析：选C.平抛运动的时间只与下落的高度有关，由t＝得tA＞tB＞tC，由题图可知，在下落高度相同时，水平射程xA＜xB＜xC，所以vA＜vB＜vC，故C正确．
4.
图5－2－12
如图5－2－12所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点．若不计空气阻力，下列关系正确的是( )
A．ta＞tb，va＜vb B．ta＞tb，va＞vb
C．ta＜tb，va＜vb D．ta＜tb，va＞vb
解析：选A.小球a、b做平抛运动，
x＝v0t，h＝gt2，v0＝，t＝，ha＞hb，ta＞tb，
又xa＝xb，va＜vb，所以A选项正确．
5．一个物体从某一确定的高度以初速度v0水平抛出，已知它落地时的速度为v，那么它的运动时间是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.落地速度为落地时刻的合速度，由v＝可知落地时竖直方向的分速度vy＝，故飞行时间t＝＝，即D项正确．
6．滑雪运动员以20 m/s的速度从一平台水平飞出，落地点与飞出点的高度差为3.2 m．不计空气阻力，g取10 m/s2.运动员飞过的水平距离为x，所用时间为t，则下列结果正确的是( )
A．x＝16 m，t＝0.50 s B．x＝16 m，t＝0.80 s
C．x＝20 m，t＝0.50 s D．x＝20 m，t＝0.80 s
解析：选B.平抛运动在竖直方向是自由落体运动h＝gt2，t＝＝0.80 s，水平方向是匀速直线运动x＝v0t＝16 m.
7.
图5－2－13
(2011年南京高一检测)如图5－2－13所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
解析：选D.物体从斜面顶端抛出落到斜面上，物体的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即
tan θ＝＝＝①
落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值
tan φ＝＝②
由①②可得tan φ＝2tan θ，D正确．
8.
图5－2－14
如图5－2－14所示，相对的两个斜面，倾角分别为37°和53°，在顶点两个小球A、B以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两个小球运动时间之比为( )
A．1∶1 B．4∶3
C．16∶9 D．9∶16
解析：选D.结合平抛运动知识，A球满足tan 37°＝，B球满足tan 53°＝，所以t1∶t2＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，故D选项正确．
9.
图5－2－15
(2011年湖南省四市调研)如图5－2－15所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机发射一颗炸弹，炸弹以水平速度v1飞出欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹进行拦截．设飞机发射炸弹时与拦截系统的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2
C．v1＝ D．v1＝v2
解析：选B.炸弹水平位移为s时用时t＝，竖直下落的高度为h1＝gt2＝g，要使发射的炮弹拦截成功，必须在t时间内上升高度为h2＝H－h1，即H－h1＝v2t－gt2，代入数据解得：v1＝v2，所以B正确．
二、非选择题
10．为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破，飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标，求炸弹脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小．(不计空气阻力)
解析：炸弹做平抛运动，设炸弹从脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离为x.
则有：x＝v0t H＝gt2
联立以上各式解得x＝v0
设击中目标时的竖直速度大小为vy，击中目标时的速度大小为v.vy＝gt＝，v＝
联立以上各式解得v＝.
答案：v0
11.
图5－2－16
(2011年安庆高一检测)如图5－2－16所示，在倾角为θ的斜面顶端P点以初速度v0水平抛出一个小球，最后落在斜面上的Q点，求P、Q间的距离．
解析：小球由P落到Q的过程：
水平位移x＝Lcosθ＝v0t①
竖直位移y＝Lsinθ＝gt2②
解①②式得：L＝.
答案：
12．某一物体以一定的初速度水平抛出，在某1 s内其速度方向与水平方向的夹角由37°变成53°，则此物体的初速度大小是多少？此物体在这1 s内下落的高度是多少？(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：法一：
如图所示，设物体经过A点时vA与水平方向的夹角为37°，经过B点时vB与水平方向的夹角为53°.设从初始位置到A点经历时间t，则到B点共经历时间t＋1 s.
vyA＝gt＝v0 tan 37°，vyB＝g(t＋1)＝v0 tan53°.
由以上两式解得
初速度v0＝17.1 m/s，且t＝ s.
在这1 s内下落的高度：Δh＝yB－yA＝g(t＋1)2－gt2＝g(＋1)2－g()2＝17.9 m.
法二：由图中几何关系可得
Δv＝gΔt＝v0tan 53°－v0tan 37°，
得v0＝＝17.1 m/s.
据推导公式有：
Δh＝＝＝17.9 m.
答案：17.1 m/s 17.9 m1．关于向心力，下列说法正确的是( )
A．向心力是一种效果力
B．向心力是一种具有某种性质的力
C．向心力既可以改变线速度的方向，又可以改变线速度的大小
D．向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
解析：选AD.向心力是按作用效果命名的，是一种效果力，它可以由重力、弹力、摩擦力等性质的力提供，所以A项正确，B项错误；由于向心力始终沿半径指向圆心，与速度的方向垂直，不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，因此C选项错误，D选项正确．
2.
图5－6－10
(2011年江苏模拟)用细线悬吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为α，线长为L，如图5－6－10所示，下列说法中正确的是( )
A．小球受重力、拉力、向心力
B．小球受重力、拉力
C．小球的向心力大小为mgtanα
D．小球的向心力大小为mg/cosα
解析：选BC.小球受重力和细线的拉力，此二力合力提供向心力，选项B正确；对小球进行受力分析，由几何关系可得＝tanα，故F＝mgtanα，选项C正确．
3．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力之比为( )
A．1∶4 B．2∶3
C．4∶9 D．9∶16
解析：选C.由匀速圆周运动的向心力公式Fn＝mRω2＝mR()2，所以＝＝××()2＝.
4.
图5－6－11
如图5－6－11所示，A、B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )
A．F1∶F2＝2∶3 B．F1∶F2＝3∶2
C．F1∶F2＝5∶3 D．F1∶F2＝2∶1
解析：选B.小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为ω，在竖直方向上所受重力与桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦力，绳子的拉力提供向心力．由牛顿第二定律，对A球有F2＝mr2ω2，对B球有F1－F2＝mr1ω2，已知r2＝2r1，各式联立解得F1＝F2.故B对，A、C、D错．
5.
图5－6－12
长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点．让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图5－6－12.求摆线L与竖直方向的夹角为α时：
(1)线的拉力F；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期．
解析：(1)做匀速圆周运动的小球受力分析如图所示，小球受重力mg和绳子的拉力F.因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O′，且沿水平方向．由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtanα，绳对小球的拉力大小为：F＝.
(2)由牛顿第二定律得：mgtanα＝
由几何关系得r＝Lsinα
所以小球做匀速圆周运动的线速度的大小为
v＝.
(3)小球运动的角速度
ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π .
答案：(1) (2)
(3) 2π
一、选择题
1．(2011年深圳高一检测)关于向心力的说法正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变物体做圆周运动的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体向心力是不变的
D．只要物体做圆周运动，它的合力一定指向圆心
解析：选B.向心力是做圆周运动的条件而非结果，A选项错；向心力指向圆心，只改变线速度方向，不改变大小，B选项正确；向心力的方向是改变的，C选项错误；只有在匀速圆周运动中，合力才指向圆心，D选项错误．
2．(2011年江门高一检测)一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小．图5－6－13中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是( )
图5－6－13
解析：选C.汽车沿曲线运动，转弯时所受合力应指向运动轨迹的凹侧，A、D错误；由于汽车速度减小，所受合外力与速度方向的夹角应为钝角，汽车由M向N行驶，速度方向沿轨迹切线方向，故B错误，C正确．
3．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
解析：选C.由向心力公式F－mg＝ma，得F＝30m＝3mg，故C正确．
4．(2011年黄冈高一检测)我们经常在电视中看到男、女花样滑冰运动员手拉手在冰面上旋转并表演各种优美的动作．现有甲、乙两名花样滑冰运动员，M甲＝80 kg，M乙＝40 kg，他们面对面拉着弹簧测力计各自以他们连线上某一点为圆心做匀速圆周运动，若两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为600 N，则( )
A．两人的线速度相同，为0.4 m/s
B．两人的角速度相同，为5.0 rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲的半径是0.3 m、乙的半径是0.6 m
解析：选BD.甲、乙两人绕共同的圆心做匀速圆周运动，角速度相同，半径之和为两人间的距离，向心力为彼此间的拉力．故有F向＝M甲ω2r甲＝M乙ω2r乙＝600 N，r甲＋r乙＝0.9 m解上述两式得B、D正确．
5.
图5－6－14
(2011年正定高一检测)如图5－6－14所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )
A．mω2R B．m
C．m D．不能确定
解析：选C.对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg，另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力提供向心力．由平行四边形定则可得：F＝m，再根据牛顿第三定律，可知杆受到球对其作用力的大小为F＝m.故选项C正确．
6．(2011年三门峡高一检测)如图5－6－15所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算知该女运动员( )
图5－6－15
A．受到的拉力为G
B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为3g
D．向心加速度为2g
解析：选B.如图所示，
F1＝Fcos30°
F2＝Fsin30°
F2＝G F1＝ma
a＝g F＝2G.
7.
图5－6－16
(2011年汕头高一检测)质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴M和m的悬线与竖直方向夹角分别为α和β，如图5－6－16所示，则( )
A．cosα＝ B．cosα＝2cosβ
C．tanα＝ D．tanα＝tanβ
答案：A
8.
图5－6－17
如图5－6－17所示，将完全相同的两小球A、B，用长为L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB∶FA为(g取10 m/s2)( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：选C.当车突然停下时，B不动，绳对B的拉力仍为小球的重力；A球向右摆动做圆周运动，则突然停止时A点所处的位置为圆周运动的最低点，根据牛顿第二定律得，FA－mg＝m，从而FA＝3mg，故FB∶FA＝1∶3，所以C正确．
9.
图5－6－18
(2011年杭州高一检测)如图5－6－18所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间最大静摩擦力Fmax＝6.0 N，绳的一端系挂木块，通过转台的中心孔O(孔光滑)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)( )
A．0.04 m B．0.08 m
C．0.16 m D．0.32 m
解析：选BCD.当M有远离轴心运动趋势时，有
mg＋Fmax＝Mω2rmax
当M有靠近轴心运动趋势时，有
mg－Fmax＝Mω2rmin，
解得rmax＝0.32 m，rmin＝0.08 m，即0.08 m≤r≤0.32 m.
二、非选择题
10．(探究创新)某人驾车正在平直路上前进，突然前方出现了一堵很长的墙，此人要想不撞墙，是拐弯好呢？还是急刹车好？
解析：设原行驶速度为v，急刹车后停下的位移为x，若立即拐弯其半径为R，设地面对车的最大静摩擦力为Ff.
若急刹车，有v2＝2ax，a＝.
解得x＝.若拐弯，则其半径R满足
Ff＝，故R＝.
因为x
答案：急刹车好
11.
图5－6－19
有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图5－6－19所示．长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
解析：
对座椅受力分析，如图所示，y轴上，Fcosθ＝mg
x轴上，Fsinθ＝mω2(r＋Lsinθ)
则由以上两式得
tanθ＝，
因此ω＝.
答案：ω＝
12.
图5－6－20
如图5－6－20所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
解析：对小球进行受力分析如图所示，根据牛顿第二定律，指向圆心的方向上有：
FT·sinθ－FN·cosθ＝mω2r①
y方向上应有：
FN·sinθ＋FT·cosθ－mg＝0②
又因为r＝l·sinθ③
由①、②、③式可得：
FT＝mgcosθ＋mω2lsin2θ④
当小球刚好离开锥面时FN＝0(临界条件)，
则有FTsinθ＝mω2r⑤
FTcosθ－mg＝0⑥
由⑤⑥可得ω＝，
即小球角速度至少为 .
答案：mgcosθ＋mω2lsin2θ 1．(2011年锦州高一检测)安装实验装置的过程中，斜槽末端的切线必须是水平的，这样做的目的是( )
A．保证小球飞出时，速度既不太大，也不太小
B．保证小球飞出时，初速度水平
C．保证小球在空中运动的时间每次都相等
D．保证小球运动的轨迹是一条抛物线
解析：选B.平抛运动就是要求小球离开斜槽时，初速度一定是水平的．
2．下列哪些因素会使“研究平抛运动”实验的误差增大( )
A．小球与斜槽之间有摩擦
B．安装斜槽时其末端不水平
C．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点
D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较远
解析：选BC.从本实验的实验目的来看，就是要“描出平抛物体的运动轨迹，并求出平抛物体的初速度”．斜槽虽然有摩擦，但只要保证小球每次从同一位置滚下，到达斜槽末端做平抛运动的初速度相同，就不会对实验结果产生影响；斜槽末端切线方向不水平，小球做的不是平抛运动，将造成较大误差；坐标原点应建在斜槽末端端口上方等于小球半径处；由y＝gt2和x＝v0t得，v0＝x·，其中x、y均是由刻度尺进行测量的，计算点距抛出点O点越远，x、y值就越大，误差越小．综上所述，应选B、C.
3.
图5－3－8
如图5－3－8所示，在研究平抛运动时，小球A沿轨道滑下，离开轨道末端(末端水平)时，撞开轻质接触式开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落．改变整个装置的高度H做同样的实验，发现当B球球心与处在轨道末端的A球的球心位于同一高度时，A、B两球总是同时落地，该实验现象说明了A球离开轨道后( )
A．水平方向的分运动是匀速直线运动
B．水平方向的分运动是匀加速直线运动
C．竖直方向的分运动是自由落体运动
D．竖直方向的分运动是匀速直线运动
解析：选C.改变高度做实验，发现A、B两球仍同时落地，只能说明A球的竖直分运动与B球的自由落体运动情况相同，故C正确．
4．如图5－3－9所示，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，两轨道上端分别装有电磁铁C、D.
图5－3－9
调C、D高度，使AC＝BD，将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，P、Q从弧形轨道滚下，改变弧形轨道M的高度，再进行若干次实验，经过多次实验发现，P、Q两球总是在水平面相遇．
上述实验说明( )
A．竖直方向的运动是自由落体运动
B．竖直方向的运动是匀速直线运动
C．水平方向的运动是匀速直线运动
D．水平方向的运动是变速直线运动
答案：C
5．在做“研究平抛运动”实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是__________．
A．游标卡尺 B．秒表
C．坐标纸 D．天平
E．弹簧秤 F．重垂线
实验中，下列说法正确的是__________．
A．应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下
B．斜槽轨道必须光滑
C．斜槽轨道末端可以不水平
D．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些
E．为了比较准确地描出小球运动的轨迹，应该用一条曲线把所有的点连接起来
解析：由于本实验是通过描述平抛运动的轨迹而研究其运动规律，因此需用坐标纸记录小球所经过的若干点，需用重垂线确定y轴，由此可知还需要器材为C、F.实验中，由于通过若干次平抛记录所经过的若干点，因此使小球做相同的平抛运动，因此A、D正确，C错误；无论斜槽轨道是否光滑，从同一位置滑下的平抛速度相同，B错误；通过所记录的若干点画轨迹图象时并不是将各点连接起来，总有个别点因某种因素偏离理想点，E错误．
答案：CF AD
6.
图5－3－10
在“研究平抛运动”的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L＝1.25 cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图5－3－10中a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为v0＝________(用L、g表示)，其值是________．
解析：平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，即初速度为零的匀加速直线运动，水平分运动是匀速直线运动，由ab＝bc＝cd知相邻两点的时间间隔相等，设为T，竖直方向相邻两点间隔之差相等，Δy＝L，则由Δy＝at2得L＝gT2
时间T内，水平位移为x＝2L知
v0＝＝＝2
＝2× m/s＝0.70 m/s.
答案：2 0.70 m/s
7.
图5－3－11
请你由平抛运动原理设计测量弹射器弹丸出射初速度的实验方法，提供的实验器材：弹射器(含弹丸，见示意图5－3－11)；铁架台(带有夹具)；刻度尺．
(1)画出实验示意图；
(2)在安装弹射器时应注意：__________；
(3)实验中需要测量的量(并在示意图中用字母标出)__________；
(4)由于弹射器每次射出的弹丸初速度不可能完全相等，在实验中采取的方法是__________；
(5)计算公式：__________.
解析：
(1)由平抛运动的实验原理，可知使弹丸做平抛运动，通过测量下落高度可求出时间，再测水平位移可求出其做平抛运动的初速度，故实验示意图应如图所示；
(2)为保证弹丸初速度沿水平方向，弹射器必须保持水平；
(3)应测出弹丸下降的高度y和水平射程x，如图所示；
(4)在不改变高度y的条件下进行多次实验测量水平射程x，求得水平射程x的平均值，以减小误差；
(5)因为y＝gt2，所以t＝ ，又＝v0·t，
故v0＝＝ .
答案：见解析
8．(2011年浙江金华十校)在做“研究平抛运动”的实验中，为了确定小球在不同时刻在空中所通过的位置，实验时用了如图5－3－12所示的装置．
图5－3－12
先将斜槽轨道的末端调整水平，在一块平整的木板表面钉上白纸和复写纸．将该木板竖直立于水平地面上，使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A；将木板向远离槽口平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B；又将木板再向远离槽口平移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，再得到痕迹C.
若测得木板每次移动距离x＝10.00 cm，A、B间距离y1＝5.02 cm，B、C间距离y2＝14.82 cm.请回答以下问题(g＝9.80 m/s2)
(1)为什么每次都要使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放？__________.
(2)根据以上直接测量的物理量来求得小球初速度的表达式为v0＝__________.(用题中所给字母表示)
(3)小球初速度的值为v0＝__________ m/s.
解析：(1)每次从斜槽上紧靠挡板处由静止释放小球，是为了使小球有相同的初速度．
(2)根据平抛运动在水平方向上为匀速直线运动，则物体从A到B和从B到C运动时间相等，设为T；竖直方向由匀变速直线运动推论有：
y2－y1＝gT2，且v0T＝x.
解以上两式得：v0＝x.
(3)代入数据解得v0＝1.00 m/s.
答案：(1)为了保证小球每次做平抛运动的初速度相同
(2)x (3)1.001．(2011年大连高一检测)下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是( )
A．是线速度不变的运动
B．是角速度不变的运动
C．是角速度不断变化的运动
D．是相对圆心位移不变的运动
解析：选B.匀速圆周运动，角速度保持不变，线速度大小保持不变，方向时刻变化．A、C错误，B正确；相对圆心的位移大小不变，方向时刻变化，D错误．
2．(2011年南京高一检测)关于角速度和线速度，说法正确的是( )
A．半径一定，角速度与线速度成反比
B．半径一定，角速度与线速度成正比
C．线速度一定，角速度与半径成正比
D．角速度一定，线速度与半径成反比
解析：选B.由v＝ωr可知，r一定时，v与ω成正比，A错误，B正确；v一定时，ω与r成反比，C错误；ω一定时，v与r成正比，D错误．
3.
图5－4－11
如图5－4－11所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b 的大
解析：选B.a、b和c均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B对，C错．三点的运动半径关系ra＝rb>rc，据v＝ω·r可知，三点的线速度关系va＝vb>vc，A、D错．
4.
图5－4－12
如图5－4－12所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n
解析：选BC.因为皮带不打滑，两轮边缘上各点的线速度相等，各点做圆周运动的速度方向为切线方向，则皮带上的M、N两点均沿MN的切线方向运动，从动轮沿逆时针方向转动，B对，A错．根据线速度与角速度的关系式：v＝rω，ω＝2πn，所以n∶n2＝r2∶r1，所以n2＝n，C对，D错．
5．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小．
解析：(1)依据线速度的定义式v＝可得：
v＝＝m/s＝10 m/s
(2)依据v＝ωr解得：
ω＝＝rad/s＝0.5 rad/s
(3)依据ω＝解得：
T＝＝ s＝4π s.
答案：(1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
一、选择题
1．(2011年武汉高一检测)一个质点做匀速圆周运动时，它在任意相等的时间内( )
A．通过的弧长相等 B．通过的位移相等
C．转过的角度相等 D．速度的变化相等
解析：选AC.由公式v＝和ω＝可知A、C正确；通过的位移和速度变化的方向不同，故B、D错．
2．关于地球上的物体，由于地球的自转，则对于物体的角速度、线速度的大小，以下说法中正确的是( )
A．在赤道上的物体线速度最大
B．在两极上的物体线速度最大
C．赤道上物体的角速度最大
D．北京和南京的角速度大小相等
解析：选AD.地球自转，地面上的角速度大小都相等，故D正确．由v＝ωr知，两极上物体的线速度为零，而赤道上物体的转动半径最大，故A正确．
3.
图5－4－13
(2011年深圳高一检测)如图5－4－13所示，一个圆环绕中心线AB以一定的角速度转动，下列说法正确的是( )
A．P、Q两点的角速度相同
B．P、Q两点的线速度相同
C．P、Q两点的角速度之比为 ∶1
D．P、Q两点的线速度之比为 ∶1
解析：选AD.环上各点具有相同的角速度，即ωP＝ωQ，A正确，C错误；由v＝ωr得＝＝＝，B错误，D正确．
4．(2011年晋江高一检测)A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比φA∶φB＝3∶2，则下列说法正确的是( )
A．它们的半径之比rA∶rB＝2∶3
B．它们的半径之比rA∶rB＝4∶9
C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D．它们的频率之比fA∶fB＝2∶3
解析：选BC.A、B两个质点，在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3；又相同的时间内转过的角度之比φA∶φB＝3∶2，根据ω＝得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以rA∶rB＝×＝×＝4∶9，B选项正确．根据T＝知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，C选项正确．又T＝，所以fA∶fB＝TB∶TA＝3∶2，D选项错．
5．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图5－4－14所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮的角速度为( )
图5－4－14
A. B.
C. D.
解析：选A.各轮边缘各点的线速度大小相等，则有ωr1＝ω′r3，所以ω′＝，故A正确．
6.
图5－4－15
(2011年嘉兴高一检测)图5－4－15中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点．左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.b点在小轮上，到小轮中心的距离为r.c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑．则( )
A．a点与b点的线速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．c点与d点的角速度大小相等
解析：选CD.皮带不打滑，故a、c两点线速度相等，C正确；c点、b点在同一轮轴上，故角速度相等，半径不同，由v＝ωr，b点与c点线速度不相等，即a与b线速度不等，A错；同样可判定a与c角速度不同，即a与b角速度不同，B错；由于c点与d点为同轴转动，因此两者角速度相等，D对．
7．由“嫦娥奔月”到“万户飞天”，由“东方红”乐曲响彻寰宇到航天员杨利伟遨游太空，中华民族载人航天的梦想已变成现实．“神舟五号”飞船升空后，先运行在近地点高度200 km、远地点高度350 km的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343 km的圆轨道．假设“神舟五号”实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r.则计算其运行周期可用( )
A．T＝ B．T＝
C．T＝ D．T＝
解析：选AC.由题意可知飞船做匀速圆周运动n周所需时间Δt＝t2－t1，故其周期T＝＝，故选项A正确，B错．由周期公式有T＝，故选项C正确，D错误．
8.
图5－4－16
半径为R的大圆盘以角速度ω旋转，如图5－4－16所示，有人站在盘边P点上随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标O，若子弹的速度为v0，则( )
A．枪应瞄准目标O射去
B．枪应向PO的右方偏过θ角射去，而cosθ＝ωR/v0
C．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而tanθ＝ωR/v0
D．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而sinθ＝ωR/v0
解析：选D.子弹射出时同时参与两个运动：沿出射方向的匀速运动和沿圆盘切线方向的匀速运动，要求子弹射中O，它相对于地面运动的速度应沿PO方向．
根据三角函数可得sinθ＝ωR/v0.
9．直径为d的纸筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口垂直圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度可能是( )
A. B.
C. D.
解析：选AC.由题意知圆筒上只有一个弹孔，说明子弹穿过圆筒时，圆筒转过的角度应满足
θ＝(2k＋1)π(k＝0,1,2…)
子弹穿过圆筒所用时间t＝＝
代入可得v＝(k＝0,1,2…)，故A、C正确．
二、非选择题
10．(2011年广州高一检测)一台走时准确的时钟，其秒针、分针、时针的长度之比l1∶l2∶l3＝3∶2∶1，试求：
(1)秒针、分针、时针转动的角速度之比；
(2)秒针、分针、时针针尖的线速度之比．
解析：(1)时钟的秒针、分针、时针做匀速圆周运动的周期分别为T1＝60 s，T2＝3600 s，T3＝3600×12 s，由ω＝得ω1∶ω2∶ω3＝∶∶＝∶∶＝720∶12∶1
(2)由v＝ωr得v1∶v2∶v3＝ω1l1∶ω2l2∶ω3l3＝720×3∶12×2∶1×1＝2160∶24∶1.
答案：(1)720∶12∶1 (2)2160∶24∶1
11.
图5－4－17
一半径为R的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图5－4－17所示，伞边缘距地面高h，水平甩出的水滴在地面上形成一个圆，求此圆半径r为多少？
解析：雨滴离开伞边缘后沿切线方向水平抛出，特别注意不是沿半径方向飞出，其间距关系如图所示(俯视图)．
雨滴飞出的速度大小为v＝ωR，
雨滴做平抛运动在竖直方向上有
h＝gt2，
在水平方向上有l＝vt
由几何关系知，雨滴半径r＝，
解以上几式得r＝R.
答案：R
12．如图5－4－18所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B.一质量为m的小球从入口沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使球从出口B处飞出，小球进入入口A处的速度v0应满足什么条件？
图5－4－18
解析：小球竖直方向做自由落体运动，则
h＝gt2
由于圆筒内壁光滑，小球沿水平面内做匀速圆周运动，若小球恰能从B处飞出，则水平方向做圆周运动的路程为：
s＝n·2πR(n＝1,2,3…)．
所以小球刚进入入口时的速度为
v0＝＝2nπR·＝nπR(n＝1,2,3…)．
答案：v0＝nπR(n＝1,2,3…)1．某质点做曲线运动时( )
A．在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向
B．在任意时间内位移的大小总是大于路程
C．在任意时刻质点受到的合力不可能为0
D．速度的方向与合力的方向必不在一条直线上
解析：选ACD.做曲线运动的物体的速度方向为该点曲线的切线方向，选项A正确．物体做曲线运动的条件是物体所受合力不等于零，且与速度方向不在同一条直线上，选项C、D正确．曲线运动的位移大小一定小于路程，选项B错．
2．(2011年衡水高一检测)质点沿如图5－1－15所示的轨迹从A点运动到B点，已知其速度逐渐减小，图中能正确表示质点在C点处受力的是( )
图5－1－15
解析：选C.把力F分解为一个与速度方向在同一直线上的分力F1，一个与速度方向垂直的分力F2，根据曲线运动中F应指向轨迹的“凹侧”，可排除A、D.在B项中，F1的方向与v的方向同向，使质点从A到B加速，故B项错；在C项中，F1的方向与v的方向反向，使质点从A到B减速，故C正确．
3．(2011年徐州高一检测)有a、b为两个分运动，它们的合运动为c，则下列说法正确的是( )
A．若a、b的轨迹为直线，则c的轨迹必为直线
B．若c的轨迹为直线，则a、b必为匀速运动
C．若a为匀速直线运动，b为匀速直线运动，则c必为匀速直线运动
D．若a、b均为初速度为零的匀变速直线运动，则c必为匀变速直线运动
解析：选CD.a、b两个分运动的合初速度与合加速度如果共线，则合运动c必为直线运动，如果不共线，则合运动c必为曲线运动，A错误；若c为直线运动，a、b可能为匀速运动，也可能为变速直线运动，但a、b的合初速度与合加速度必共线，B错误；两个匀速直线运动的合运动必为匀速直线运动，C正确；两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动必为初速度为零的匀加速直线运动，D正确．
??4.
图5－1－16
(2011年高考江苏卷)如图5－1－16所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线路返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为( )
A．t甲C．t甲>t乙 D．无法确定
解析：选C.设两人在静水中的游速为v0，水速为v，则
t甲＝＋＝
t乙＝＝<
故A、B、D错，C对．
5.
图5－1－17
(2011年高考四川卷)某研究性学习小组进行如下实验：如图5－1－17所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为(4,6)，此时R的速度大小为__________ cm/s.R在上升过程中运动轨迹的示意图是__________．(R视为质点)
图5－1－18
解析：红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如D图所示，因为竖直方向匀速，由y＝6 cm＝v0t知t＝2 s，水平方向x＝·t＝4 cm，所以vx＝4 cm/s，因此此时R的合速度为：v＝＝ cm/s＝5 cm/s.
答案：5 D
一、选择题
1．(2011年南京高一检测)做曲线运动的物体，在其轨迹曲线上某一点的加速度方向( )
A．为通过该点的曲线的切线方向
B．与物体在这一点时所受合外力方向垂直
C．与物体在这一点的速度方向一致
D．与物体在这一点的速度方向的夹角一定不为零
解析：选D.由物体做曲线运动的条件可知，A、C错D对；由牛顿第二定律可知B错．
2．(2011年湛江高一检测)若已知物体的速度方向和它所受合力的方向，如图5－1－19所示，可能的运动轨迹是( )
图5－1－19
解析：选B.曲线运动的轨迹夹在速度方向和合外力方向之间，且向合外力方向弯曲，故B正确．
3.
图5－1－20
(2011年东城区高一检测)如图5－1－20所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力方向反向而大小不变(即由F变为－F)．在此力作用下，对物体以后的运动情况，下列说法正确的是( )
A．物体不可能沿曲线Ba运动
B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动
D．物体不可能沿原曲线由B返回A
解析：选ABD.
物体从A点向B点做曲线运动，所受合外力可能的方向有如图所示的三种可能，由于物体所受的力是恒力，所以任何一种可能的情况也不能和过B点的切线Bb平行，那么当力F突然反向时，物体受的力也不可能与Bb直线平行．所以物体不可能沿过B点的切线Bb做直线运动，B选项正确．物体仍做曲线运动，由于合力方向的变化，必然导致曲线弯曲的方向与原来相反．因此，物体在受力变向后沿曲线Bc运动是可能的，C选项不正确，A、D选项正确．
4．(2010年高考上海卷)降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )
A．下落的时间越短 B．下落的时间越长
C．落地时速度越小 D．落地时速度越大
解析：选D.根据运动的独立性原理，水平方向吹来的风不会影响竖直方向的运动，A、B错误；根据速度的合成，落地时速度v＝，若风速越大，vx越大，则降落伞落地时速度越大，C错误，D正确．
5.
图5－1－21
(2010年高考江苏卷)如图5－1－21所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
解析：选A.
设铅笔的速度为v，如图所示橡皮的速度分解成水平方向的v1和竖直方向的v2.因该过程中悬线始终竖直，故橡皮水平方向的速度与铅笔移动速度相同，即v1＝v.因铅笔靠着线的左侧水平向右移动，故悬线竖直方向长度减小的速度大小与铅笔移动速度的大小相等，则橡皮竖直方向速度的大小也与铅笔移动速度的大小相等，即v2＝v.又因v1、v2的大小、方向都不变，故合速度(即橡皮运动的速度)大小、方向都不变，选项A正确．
6．(2011年南昌检测)一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m，水流速度为4 m/s的河流中渡河，则( )
A．小船不可能到达正对岸
B．小船渡河的时间不可能少于50 s
C．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
D．小船以最短位移渡河时，位移大小为150 m
解析：选ABC.小船在静水中的速度为3 m/s，水流速度为4 m/s，小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，A正确；当船头垂直河岸运动时，分运动时间最短，合运动时间也最短，为50 s，B正确；这时小船沿水流方向的位移大小为200 m，C正确．
7．一质点在水平面内运动，在xOy直角坐标系中，质点的坐标(x，y)随时间t变化的规律是：x＝t＋t2 m，y＝2.25t＋0.6t2 m，则( )
A．质点的运动是匀速直线运动
B．质点的运动是匀加速直线运动
C．质点的运动是非匀变速直线运动
D．质点的运动是非匀变速曲线运动
解析：选B.两个分运动的初速度分别为：v0x＝ m/s，v0y＝2.25 m/s；加速度分别为：ax＝ m/s2，ay＝1.2 m/s2，合速度与x轴的夹角：tanα＝＝3，合加速度与x轴的夹角：tanθ＝＝3，∴α＝θ，即加速度与初速度同向，所以B正确．
8.
图5－1－22
如图5－1－22所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2
B．v1＝v2cosθ
C．v1＝v2tanθ
D．v1＝v1sinθ
解析：选C.A、B两点速度分解如图，由沿杆方向的速度相等得：
v1cosθ＝v2sinθ.
∴v1＝v2tanθ，故C对．
9.
图5－1－23
如图5－1－23所示，在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B.在直升机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A、B之间的距离以L＝H－t2(式中H为直升机A离地面的高度，各物理量的单位均为国际制单位)规律变化，则在这段时间内，下面判断中正确的是(不计空气阻力)( )
A．悬索的拉力小于伤员的重力
B．悬索成倾斜直线
C．伤员做加速度减小的曲线运动
D．伤员做加速度大小、方向均不变的曲线运动
解析：选D.伤员B参与了两个方向上的运动：水平方向上和直升机A以相同的水平速度做匀速运动；竖直方向上，由于A、B之间的距离满足L＝H－t2，所以伤员与地面之间的竖直距离关系式为s＝H－L＝t2，比较s＝知，伤员在竖直方向上做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动．根据牛顿第二定律可知，在竖直方向上，悬索的拉力应大于伤员的重力，A选项错误；在水平方向上，伤员和直升机A以相同的水平速度做匀速运动，没有加速度，所以悬索应成竖直直线状态，B选项错误；以计时起点伤员所在位置为原点，直升机飞行方向和竖直向上方向分别为x、y轴正方向，得伤员的运动轨迹方程为y＝，轨迹为抛物线，其加速度a＝ay＝2 m/s2，大小、方向都不变．故D正确．
二、非选择题
10．飞机在航行时，它的航线要严格地从东到西，如果飞机的速度是160 km/h，风从南面吹来，风的速度为80 km/h，那么：
(1)飞机应朝哪个方向飞行？
(2)如果所测地区长达80 km，所需时间是多少？
解析：
(1)根据平行四边形定则可确定飞机的航向，如图所示，有
sinθ＝＝＝，即θ＝30°.
(2)飞机的合速度
v＝v2cos30°＝80 km/h
所需时间t＝＝1 h.
答案：(1)西偏南30° (2)1 h
11．如图5－1－24所示 ，图甲表示某物体在x轴方向上分速度的v－t图象，图乙表示该物体在y轴方向上分速度的v－t图象．求：
图5－1－24
(1)t＝0时物体的速度；
(2)t＝8 s时物体的速度；
(3)t＝4 s时物体的位移．
解析：(1)由图象可知，t＝0时，vx＝3 m/s，vy＝0，
由勾股定理得v0＝＝ m/s＝3 m/s，方向沿x轴正方向．
(2)由图象可知，t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，
速度大小为v＝＝ m/s＝5 m/s，
方向与x轴正方向之间夹角的正切tanθ＝＝.
(3)t＝4 s时，x＝vxt＝3×4 m＝12 m，
y＝ayt2＝·×42 m＝4 m
前4秒内的位移为
l＝＝ m＝12.65 m，
方向与x轴正方向之间夹角的正切tanα＝＝.
答案：见解析
12．(2011年唐山高一检测)
图5－1－25
一人一猴在玩杂技，如图5－1－25所示，直杆AB长12 m，猴子在直杆上由A向B匀速向上爬，同时人顶着直杆水平匀速移动，已知在10 s内，猴子由A运动到B，而人也由甲位置运动到了乙位置，已知x＝9 m，求：
(1)猴子对地的位移；
(2)猴子对人的速度，猴子对地的速度；
(3)若猴子从静止开始匀加速上爬，其他条件不变，试在图中画出猴子运动的轨迹．
解析：(1)相对于地面，猴子参与沿杆上升和随杆水平移动的两个运动，在爬到杆顶的过程中，满足
x地＝＝ m＝15 m.
(2)由于猴子和人在水平方向运动情况相同，保持相对静止，因此猴子对人的速度
v1＝ m/s＝1.2 m/s，
猴子对地的速度v＝
＝ m/s＝1.5 m/s.
(3)由于猴子向上匀加速运动，加速度(或外力)方向向上，因此，运动轨迹向上弯曲，其轨迹如图所示．
答案：(1)15 m
(2)1.2 m/s 1.5 m/s
(3)见解析图(时间：90分钟，满分：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分)
1．(2011年嘉兴高一检测)关于曲线运动的性质，以下说法中正确的是( )
A．曲线运动一定是变速运动
B．变速运动一定是曲线运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．物体运动的加速度数值、速度数值都不变的运动一定是直线运动
解析：选A.曲线运动的速度方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，故A对；变速运动可能是直线也可能是曲线运动，故B错，做曲线运动的物体所受合外力可以是恒力，也可以是变力，故物体可以做匀变速曲线运动，也可以做变加速曲线运动，故C错，物体加速度数值、速度数值都不变的运动可以是匀速直线运动，也可以是匀速圆周运动，故D错．
2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确的表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是( )
图5－7
解析：选C.由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，B、D错误．因做匀速圆周运动．合外力一定指向圆心，A不对．由此可知C正确．
3．做曲线运动的物体在运动过程中，下列说法正确的是( )
A．速度大小一定改变
B．加速度大小一定改变
C．速度方向一定改变
D．加速度方向一定改变
解析：选C.做曲线运动的物体的速度方向时刻在改变，但速度大小不一定变化，A错C对．曲线运动的加速度可能恒定不变，即大小、方向均不变，也可能是变化的，即加速度的大小、方向都有可能变化，B、D错．
4.
图5－8
如图5－8所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是( )
A．绳的拉力大于A的重力
B．绳的拉力等于A的重力
C．绳的拉力小于A的重力
D．拉力先大于重力，后变为小于重力
解析：
选A.先分析小车向右匀速运动时，物体A如何运动，然后再判断物体A的受力情况．
小车水平向右的速度(也就是绳子末端的运动速度)为合速度，它的两个分速度v1、v2，如图所示，其中v1就是拉绳子的速度，它等于A上升的速度．由图得，vA＝v1＝vcosθ.
小车匀速向右运动过程中，θ逐渐变小，可知vA逐渐增大，故A做加速运动，由A的受力及牛顿第二定律知绳的拉力大于A的重力．
5．(2011年广东广州模拟)飞机在水平地面上空的某一高度水平匀速飞行，每隔相等时间投放一个物体．如果以第一个物体a的落地点为坐标原点、飞机飞行方向为横坐标的正方向，在竖直平面内建立直角坐标系．如图5－9所示是第5个物体e离开飞机时，抛出的5个物体(a、b、c、d、e)在空间位置的示意图，其中可能的是( )
图5－9
解析：选ACD.在物体落地前，水平方向上速度相同，故物体任一时刻都在飞机的正下方，排成一条竖直线，由Δx＝v0·Δt知，落地点间的距离相等，故A、C、D正确．
6．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．由t＝可知，物体平抛的初速度越大，飞行时间越短
B．由t＝可知，物体下落的高度越大，飞行时间越长
C．任意连续相等的时间内，物体下落高度之比为1∶3∶5…
D．任意连续相等的时间内，物体运动速度的改变量相等
解析：选BD.由t＝来计算时间，因x不确定，故不能说v0越大，t越小；平抛物体的运动时间t＝，因g一定，故t∝，故B选项正确；C选项中没有说明从什么时间开始计时，故下落高度之比未必是1∶3∶5…因平抛运动的加速度恒定，故D选项正确．
7.
图5－10
如图5－10所示，小物块位于放于地面的半径为R的半球的顶端，若给小物块以水平的初速度v时物块对半球刚好无压力，则下列说法正确的是( )
A．小物块立即离开球面做平抛运动
B．小物块落地时水平位移为R
C．小物块沿球面运动
D．物块落地时速度的方向与地面成45°角
答案：AB
8．(2011年济南高一检测)以初速度v0水平抛出一个物体，经过时间t物体的速度大小为v，则经过时间2t，物体速度大小的表达式正确的是( )
A．v0＋2gt B．v＋gt
C. D.
解析：选C.物体做平抛运动，vx＝v0，vy＝g·2t，故2t时刻物体的速度为v′＝＝，C正确，A错误；t时刻有v2＝v＋(gt)2，故v′＝，B、D错误．
9.
图5－11
(2011年广东东莞高一考试)如图5－11所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )
A．运动周期相同
B．运动线速度一样
C．运动角速度相同
D．向心加速度相同
解析：选AC.
小球受力如图所示，根据牛顿第二定律有mgtanθ＝ma＝mω2·Lsinθ＝m＝mLsinθ，解得a＝gtanθ＝g·，v＝，ω＝
＝，T＝2π.
10.
图5－12
(2011年广州高一检测)如图5－12所示，长度l＝0.50 m的轻质杆OA，A端固定一个质量m＝3.0 kg的小球，小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动．通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA( )
A．受到6.0 N的拉力
B．受到6.0 N的压力
C．受到24 N的拉力
D．受到54 N的拉力
解析：选B.设杆转到最高点球恰好对杆的作用力为零时，球的速率为v0，则有，
mg＝m，其中R＝l＝0.50 m，
则v0＝＝ m/s>2.0 m/s
即球受到支持力作用，设球受的支持力为FN.
对小球mg－FN＝m
所以FN＝mg－m
＝3.0×10 N－3.0× N＝6.0 N.
由牛顿第三定律知，杆受到的压力大小
FN′＝FN＝6.0 N.
二、填空题(本题共2小题，每小题8分，共16分．将答案填在题中的横线上)
11．在研究平抛物体运动的实验中，可以测出小球经过曲线上任意位置的瞬时速度，实验步骤如下：
A．让小球多次从__________位置由静止滚下，记下小球经过卡片孔的一系列位置；
B．按课本装置图安装好器材，注意斜槽__________，记下小球经过斜槽末端时重心位置O点和过O点的竖直线；
C．测出曲线上某点的坐标x、y，算出小球平抛时的初速度；
D．取下白纸，以O为原点，以竖直线和水平线为轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛轨迹．
请完成上述实验步骤，并排列上述实验步骤的合理顺序：__________.
解析：A为保证多次平抛运动具有相同的初速度，要把小球每次从斜槽上同一位置释放，B为保证小球离开斜槽时的速度水平，应做到斜槽末端水平．合理顺序应为BADC.
答案：同一 末端切线水平 BADC
12.
图5－13
做物体平抛运动的实验时，只画出了如图5－13所示的一部分曲线，在曲线上取A、B、C三点，测得它们的水平距离均为Δx＝0.2 m，竖直距离h1＝0.1 m，h2＝0.2 m，试由图示求出平抛物体的初速度v0＝________ m/s，平抛原点距A的水平距离为x＝________ m(g取10 m/s2)．
解析：竖直方向上：h2－h1＝gt2解得t＝0.1 s，所以v0＝＝2 m/s.
vBy＝＝1.5 m/s，vBy＝gtB，tB＝0.15 s，xB＝v0tB＝0.3 m，故原点到A的水平距离为0.3 m－0.2 m＝0.1 m.
答案：2 0.1
三、计算题(本题共4小题，共44分．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
13.
图5－14
(10分)如图5－14所示，一小球从平台上抛出，恰好无碰撞地落在台的一倾角为α＝53°的光滑斜面上并下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m．(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)小球水平抛出的初速度v0是多少？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？
解析：
(1)小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，所以vy＝v0tan53°，又因为v＝2gh(3分)
代入数据解得vy＝4 m/s，v0＝3 m/s；(2分)
(2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s(2分)
则斜面顶端与平台边缘的水平距离为
s＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m．(3分)
答案：(1)3 m/s (2)1.2 m
14.
图5－15
(10分)(2010年高考北京卷)如图5－15所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小．
解析：(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有
Lsin37°＝gt2(3分)
A点与O点的距离L＝＝75 m．(2分)
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即Lcos37°＝v0t(3分)
解得v0＝＝20 m/s.(2分)
答案：(1)75 m (2)20 m/s
15．(12分)(2011年台州高一检测)
图5－16
如图5－16所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，然后小球从轨道口B处飞出，最后落在水平面上，已知小球落地点C距B处的距离为3R.求小球对轨道口B处的压力为多大？
解析：设小球经过B点时速度为v0，则：
小球平抛的水平位移为：
x＝ ＝ R(2分)
v0＝＝＝(3分)
对小球过B点时由牛顿第二定律得：
F＋mg＝m(3分)
解得F＝mg(2分)
由牛顿第三定律 F′＝F＝mg.(2分)
答案：mg
16.
图5－17
(12分)如图5－17所示，两绳系一质量为0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长2 m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力？
解析：当上绳绷紧，下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如图
由牛顿第二定律得：
mgtan30°＝mωr①(2分)
又有：r＝Lsin30°②(2分)
解①②式得：
ω1＝ rad/s(2分)
当下绳绷紧，上绳恰好伸直无张力时，小球受力如图
由牛顿第二定律得：
mgtan45°＝mωr③(2分)
解②③式得：
ω2＝ rad/s(2分)
故当 rad/s<ω< rad/s时，两绳始终有张力．(2分)
答案： rad/s<ω< rad/s1．(2011年湛江高一检测)下列说法中正确的是( )
A．向心加速度是描述角速度变化的快慢的
B．向心加速度是描述线速度大小变化的快慢的
C．向心加速度总是与速度方向垂直
D．向心加速度只改变速度的方向
解析：选CD.向心加速度描述线速度变化的快慢，不改变线速度的大小，与角速度无关，A、B错误，D正确；向心加速度的方向时刻指向圆心，与线速度方向总是互相垂直的，C正确．
2．关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．它们的方向都是沿半径指向地心
B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
解析：选BD.
如图所示，地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cosφ，其向心加速度为an＝ω2r＝ω2R0cosφ.由于北京的地理纬度比广州的大，cosφ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，D正确，C错误．
3．(2011年嘉兴高一检测)对于做匀速圆周运动的质点，下列说法正确的是( )
A．根据公式a＝v2/r，可知其向心加速度a与半径r成反比
B．根据公式a＝ω2r，可知其向心加速度a与半径r成正比
C．根据公式ω＝v/r，可知其角速度ω与半径r成反比
D．根据公式ω＝2πn，可知其角速度ω与转数n成正比
解析：选D.物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关，但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比．对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论．正确选项为D.
4．(2011年福建师大附中高一检测)如图5－5－9所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中有A、B、C三点，这三点所在处半径关系为rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的关系是( )
图5－5－9
A．aA＝aB＝aC B．aC>aA>aB
C．aCaA
解析：选C.由题意可知：vA＝vB，ωA＝ωC，而an＝＝ω2r.v一定，an与r成反比；ω一定，an与r成正比．比较A、B两点，vA＝vB，rA>rB，故aArC，故aC5.
图5－5－10
(2011年吉林模拟)目前，滑板运动受到青少年的喜爱．如图5－5－10所示某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的圆弧，该圆弧轨道在C点与水平轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)．
解析：运动员经圆弧滑到C点时做圆周运动．由公式
an＝得，
a1＝ m/s2＝50 m/s2，方向竖直向上．
运动员滑到C点后进入水平轨道做匀速直线运动．加速度a2＝0.
答案：50 m/s2，方向竖直向上 0
一、选择题
1．下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向时刻变化
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
解析：选A.向心加速度的方向沿圆周半径指向圆心，时刻变化，A正确，B错误；匀速圆周运动的向心加速度大小保持不变，方向时刻变化，是变加速运动，C、D错误．
2．如图5－5－11所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在竖直面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
图5－5－11
解析：选D.竖直面内做圆周运动的小球在P点受到重力和绳拉力的共同作用，由牛顿第二定律可知其加速度a的方向即为所受二力合力的方向，且指向圆周的内侧，故A、B、C错，D对．
3．由于地球的自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则( )
A．它们的角速度之比ω1∶ω2＝2∶1
B．它们的线速度之比为v1∶v2＝2∶1
C．它们的向心加速度之比a1∶a2＝2∶1
D．它们的向心加速度之比a1∶a2＝4∶1
解析：选BC.两物体的角速度相同，A错；物体1的轨道半径为R，则物体2的轨道半径为，则线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝2∶1，B正确；向心加速度由a＝ω2r可知a∝R，则a1∶a2＝2∶1，C正确．
4.
图5－5－12
如图5－5－12所示，摩擦轮A和B固定在一起通过中介轮C进行传动，A为主动轮，A的半径为20 cm，B的半径为10 cm，A、B两轮边缘上的向心加速度之比( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
解析：选B.由题知，A、B、C三轮边缘上的点的线速度相等，所以v＝rAωA＝rBωB，故＝＝又a＝v·ω，所以＝.
5.
图5－5－13
(2011年梅州高一检测)如图5－5－13为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的1.5倍．A、B分别为大轮和小轮边缘上的点．在压路机前进时( )
A．A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝1∶1
B．A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝3∶2
C．A、B两点的角速度之比为ωA∶ωB＝3∶2
D．A、B两点的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶3
解析：选AD.由题意知vA∶vB＝1∶1，故A对，B错；又由ω＝得ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶3，故C错；又由a＝得：aA∶aB＝rB∶rA＝2∶3，故D对．
6．物体做半径为R的匀速圆周运动，它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为a、ω、v和T.下列关系式正确的是( )
A．ω＝ B．v＝
C．a＝ωv D．T＝2π
解析：选C.由a＝ω2R，v＝ωR可得ω＝，v＝，a＝ωv，A、B错误，C正确．又由T＝得T＝2π.D错误．
7．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则( )
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
解析：选BCD.转速为n＝＝0.5 r/s，
角速度为ω＝＝π rad/s，半径r＝＝ m，向心加速度an＝ωv＝4π m/s2.故A错，B、C、D对．
8．(2011年烟台高一检测)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间里甲转过60圈时，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为( )
A．3∶4 B．4∶3
C．4∶9 D．9∶16
解析：选B.根据公式a＝ω2r及ω＝有＝·.因为T甲＝，T乙＝，所以＝×＝，B正确．
9.
图5－5－14
小金属球质量为m，用长为L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图5－5－14所示，若无初速度释放小球，当悬线碰到钉子后瞬间(设线没有断)( )
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的线速度突然增大
解析：选AC.由题意知，当悬线运动到与钉子相碰时，悬线竖直，刚碰到钉子，悬线仍竖直，故该过程中重力做功为零，悬线拉力对小球不做功，所以小球在相碰过程中动能不变，则速度大小不变，即线速度大小不变，但半径突然变小，故ω＝突然变大，且an＝也突然变大，选项A、C正确．
二、非选择题
10.
图5－5－15
美国东部时间2009年5月11日下午2时左右，美国“亚特兰蒂斯”号航天飞机从佛罗里达州肯尼迪航天中心发射升空，机上7名宇航员对哈勃太空望远镜进行了最后一次维护．宇航员的选拔、训练是非常严格的．当航天飞机升空时，宇航员会发生黑视．黑视的原因第一是因为血压降低，导致视网膜缺血，第二是因为脑缺血．为了使宇航员适应飞行要求，在如图5－5－15所示的仪器中对宇航员进行训练．宇航员坐在一个在竖直平面内做匀速圆周运动的舱内，若要使宇航员的向心加速度为an＝6g，则角速度需为多少？(R＝20 m，g取10 m/s2)
解析：由向心加速度公式an＝Rω2得
ω＝＝ rad/s＝ rad/s.
答案： rad/s
11.
图5－5－16
(2011年银川高一检测)如图5－5－16所示，质量为m的小球用长为L的悬绳固定于O点，在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比为多少？
解析：在悬绳碰到钉子的前后瞬间，速度不变．做圆周运动的半径从L变成了，则根据加速度公式a＝有两次a之比为半径之反比．即2∶3.
答案：2∶3
12.
图5－5－17
(2011年浙江金华十校联考)如图5－5－17所示，定滑轮的半径r＝0.4 m，绕在定滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止释放，测得重物以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动，在重物由静止下落h＝1 m的瞬间，试求滑轮边缘上某点向心加速度的大小和合加速度的大小．
解析：由题意知，滑轮边缘上的点的线速度与物体的速度相等．
由v2＝2ah得，v＝＝ m/s＝2 m/s
∴an＝＝ m/s2＝10 m/s2
轮边缘某点的切向加速度与物体的加速度相等，即
at＝2 m/s2
∴合加速度a＝ ＝ m/s2≈10.2 m/s2.
答案：10 m/s2 10.2 m/s21．(2011年安庆高一检测)火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法中正确的是( )
A．仅内轨对车轮有侧压力
B．仅外轨对车轮有侧压力
C．内、外轨对车轮都有侧压力
D．内、外轨对车轮均无侧压力
答案：A
2.
图5－7－14
(2011年上海高一检测)如图5－7－14所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
解析：选A.若F突然消失，小球所受合外力突变为0，将沿切线方向匀速飞出，A正确．若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动．B、D错误．若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误．
3.
图5－7－15
(2011年四川绵阳高一检测)如图5－7－15所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
解析：选CD.由于不知道小球在圆周最高点时的速率，故无法确定绳子的拉力大小，A、B选项错误；若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率满足mg＝m，推导可得v＝，C正确；小球过最低点时，向心力方向向上，故绳子的拉力一定大于小球重力，D选项也正确．
4．(2011年高考安徽卷)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图5－7－16甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
甲 乙
图5－7－16
A. B.
C. D.
解析：选C.物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的P点可看做该点对应的坚直平面内圆周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知：mg＝，解得ρ＝＝＝.
5.
图5－7－17
(2011年辽宁模拟)如图5－7－17所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口飞出时，对轨道的压力恰好为零，则小球落地点C距A处多远？
解析：小球在B点飞出时，对轨道压力为零，则有
mg＝m，解得vB＝
小球从B点飞出做平抛运动
t＝＝
水平方向的位移x＝vBt＝·＝2R.
答案：2R
一、选择题
1．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙．以下说法正确的是( )
A．Ff甲小于Ff乙
B．Ff甲等于Ff乙
C．Ff甲大于Ff乙
D．Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关
解析：选A.汽车转弯时所需向心力是由指向圆心方向的摩擦力提供，由Ff＝F向＝mv2/r知，Ff甲2.
图5－7－18
(2011年宣城高一检测)如图5－7－18所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点A时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是( )
A．重力、弹力和向心力
B．重力和弹力
C．重力和向心力
D．重力
解析：选D.小球过最高点A时，由于恰好不脱离轨道，则有mg＝m，球与轨道恰无压力，故小球只受重力，故D对，A、B、C都错．
3.
图5－7－19
(2011年厦门高一检测)如图5－7－19所示，A、B、C三个物体放在旋转平台上，最大静摩擦因数均为μ，已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴距离均为R，C距离轴为2R，则当平台逐渐加速旋转时( )
A．C物的向心加速度最大
B．B物的摩擦力最小
C．当圆台转速增加时，C比A先滑动
D．当圆台转速增加时，B比A先滑动
解析：选ABC.由an＝ω2r知A项对；由Fn＝mω2r及mA＞mB知B项对；由μmg＝mω2r知，C项对D项错．
4．在一段半径为R的圆弧形水平弯道上，已知地面对汽车轮胎的最大摩擦力等于车重的μ倍(μ<1)，则汽车拐弯时的安全速度是( )
A．v≤ B．v≤
C．v≤ D．v≤
解析：选A.拐弯时，摩擦力提供向心力，即μmg≥m，推导可得v≤.A选项正确．
5．质量为m的飞机，以速度v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于( )
A．m B．m
C．m D．mg
解析：选A.如图所示，空气对飞机的作用力为F＝m.
6.
图5－7－20
(2011年广东江门模拟)一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的圆形轨道滑行，如图5－7－20所示，经过最低点的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为( )
A．μmg B.
C．μm(g＋) D．μm(g－)
解析：选C.当物体滑至最低点时，设物体受轨道弹力为FN，由牛顿第二定律得FN－mg＝①
此位置的滑动摩擦力为Ff＝μFN②
由①②得Ff＝μm(g＋)．
7.
图5－7－21
杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图5－7－21所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的拉力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
解析：选B.水流星在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出．故正确答案为B.
8.
图5－7－22
(2011年临沂高一检测)质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图5－7－22所示．已知小球以速度v通过最高点时对圆管的外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时( )
A．小球对圆管的内、外壁均无压力
B．小球对圆管的外壁压力等于
C．小球对圆管的内壁压力等于
D．小球对圆管的内壁压力等于mg
解析：选C.依题意，小球以速度v通过最高点时，由牛顿第二定律得2mg＝m①
令小球以速度通过圆管的最高点时小球受向下的压力FN，有mg＋FN＝m②
由①②式解得FN＝－
上式表明，小球受到向上的压力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为.选项C正确．
9．一轻杆下端固定一质量为M的小球，上端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计轴和空气阻力，在最低点给小球水平速度v0时，刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知( )
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
解析：选B.杆既能支撑小球，又能拉小球，也就是说，杆在最高点对小球的弹力既可能向上又可能向下，因此，小球在最高点的速度可以为零．当最高点杆对小球的作用力为零时，重力提供向心力，由mg＝可知临界速度v0＝.随着最低点的瞬时速度从v0不断增大，小球对杆的作用力先是方向向下减小到零，然后方向向上逐渐增大．
二、非选择题
10．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，路面与水平面间的夹角为θ，且tanθ＝0.2；而拐弯路段的圆弧半径R＝200 m．若要使车轮与路面之间的侧向摩擦力等于零，车速v应为多少？(g＝10 m/s2)
解析：汽车在高速路上拐弯的向心力Fn＝mgtanθ，
而Fn＝m，所以mgtan θ＝m
v＝＝ m/s＝20 m/s.
答案：20 m/s
11.
图5－7－23
(2011年宁波十校联考)长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图5－7－23所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力：
(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s.(g＝10 m/s2)
解析：以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有
mg＋F＝m.
(1)代入数据v＝1 m/s，可得
F＝m(－g)＝2×(－10)N＝－16 N，
即A受到杆的支持力为16 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力16 N.
(2)代入数据v＝4 m/s，可得
F＝m(－g)＝2×(－10)N＝44 N，
即A受到杆的拉力为44 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力44 N.
答案：见解析
12.
图5－7－24
(2010年高考重庆卷)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图5－7－24所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力．
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.
(2)问绳能承受的最大拉力多大？
解析：(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向d＝gt2，得t＝
水平方向d＝v1t，得′v1＝
小球落地时的竖直分速度为v′2
由平抛运动规律，有
v′2＝gt 得v′2＝
v2＝＝.
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小．球做圆周运动的半径为R＝d，
由圆周运动向心力公式，有FT－mg＝
得FT＝mg.
答案：(1) (2)mg