1．若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转周期为T，引力常量为G，则由此可求出( )
A．该行星的质量 B．太阳的质量
C．该行星的密度 D．太阳的密度
解析：选B.设行星的质量为m，太阳的质量为M，由＝mr()2，得：M＝，可求出太阳的质量，因为不知太阳的半径，故不能求出太阳的密度．
2．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运动速度
解析：选A.取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，解得ρ＝，故A项对．
3．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( )
A．1/4 B．4倍
C．16倍 D．64倍
解析：选D.星球表面的重力加速度g＝，
又知ρ＝，故＝()3＝64.
4．(2011年高考江苏卷)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
解析：选ACD.由＝＝mr得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝＝＝，C对；a＝ω2r＝ωv＝v，D对．
5．为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M.已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6×1024 kg，日地中心的距离r＝1.5×1011 m，地球表面处的重力加速度g＝10 m/s2,1年约为3.2×107 s，试估算目前太阳的质量M(保留一位有效数字，引力常量未知)．
解析：法一：设T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得
G＝m()2r①
对地球表面物体m′，有m′g＝G②
①②两式联立，得M＝，代入数据得
M＝2×1030 kg.
法二：从M＝和地球表面重力加速度g＝，消除引力常量G有：M＝，代入数据得
M＝2×1030 kg.
答案：2×1030 kg
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
解析：选D.由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而且人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．
2．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，则地球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.在地球表面处有
G＝mg ①，地球的平均密度ρ＝ ②，解①②式得ρ＝，A正确．
3．已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G为已知)( )
A．月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C．地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中心的距离R3
D．地球表面的重力加速度g及地球到太阳中心的距离R4
解析：选A.根据星球绕中心天体做圆周运动，可以计算中心天体质量，故B错误．由＝mR得M＝，A正确．已知地球表面的重力加速度和地球半径，由＝mg得M＝.但D中R4不是地球半径，D错误．
4．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的尘埃、岩石，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)( )
A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg
C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg
解析：选D.对外缘的颗粒，由万有引力提供向心力，所以G＝m()2r，所以M＝.将r＝1.4×105 km，T＝14 h代入即可得D正确．
5．在研究宇宙发展演变的理论中，有一说法叫做“宇宙膨胀学说”，宇宙是由一个大爆炸的火球开始形成的，大爆炸后各星球以不同的速度向外运动，这种学说认为万有引力常数G在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中的地球的公转情况与现在相比( )
A．公转半径R较大 B．公转周期T较小
C．公转速率较大 D．公转角速度ω较小
解析：选BC.各星球以不同速度向外运动，公转半径变大，A错误；万有引力提供地球做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得G＝m＝mω2R＝m，解得v＝，ω＝，T＝2π ，由于G变小，R变大，所以v变小，ω变小，T变大，B、C正确，D错误．
6．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( )
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
解析：选D.近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即G＝m()2R，由密度、质量和体积关系
M＝ρ·πR3
解两式得：
ρ＝≈5.60×103 kg/m3
由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍，即ρ＝5.60×103×kg/m3≈2.9×104 kg/m3，D项正确．
7．(2010年高考北京卷)一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A．() B．()
C．() D．()
解析：选D.物体随天体一起自转，当万有引力全部提供向心力使之转动时，物体对天体的压力恰好为零，则G＝mR，又ρ＝，所以T＝()，D正确．
8．(2011年汕头高一检测)已知地球的质量为M，月球的质量为m，月球绕地球运行的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于( )
A. B.
C. D.r
解析：选BD.对月球由牛顿第二定律得
G＝man＝m，解得an＝＝，故B、D正确．
9．(2010年高考安徽理综卷)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
解析：选A.由开普勒第三定律可得＝，可以求出火星的半径R；由＝m(R＋h1)()2或＝m(R＋h2)()2可求出火星的质量M，由ρ＝可求出火星的密度；由g＝可求出火星表面的重力加速度，“萤火一号”的质量m由题干条件无法求出，故本题选项A正确．
二、非选择题
10．太阳光经500 s到达地球，地球的半径为6.4×106 m，表面的重力加速度为g＝9.8 m/s2，试估算太阳质量与地球质量的比值(取一位有效数字)．
解析：地球到太阳的距离为：
r＝ct＝3.0×108×500 m＝1.5×1011m.
地球绕太阳的运动可看成是匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的引力，地球绕太阳公转的周期为
T＝365 天≈3.2×107 s，则由G＝mr，
得太阳的质量为M＝.
地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，在忽略地球自转的情况下，物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的引力，即
m′g＝G，则地球的质量为m＝gR2/G.
太阳质量和地球质量的比值为：
＝＝
≈3×105.
答案：3×105
11．(2011年长沙模拟)中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大．现在有一中子星，观测到它的自转周期为T＝ s．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解．(计算时星体可视为均匀球体．引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
解析：考虑中子星赤道处一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解．
设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物体质量为m，则有
＝mω2R，ω＝，M＝πR3ρ，
由以上各式得ρ＝，
代入数据解得
ρ＝1.27×1014 kg/m3.
答案：见解析
12．质量分别为m1和m2的两个星球，绕同一圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离恒为l，不考虑其他星体的影响，两颗星的轨道半径和周期各是多少？
解析：
如图所示，双星绕同一圆心O做匀速圆周运动，所需要的向心力由双星间彼此相互吸引的万有引力提供．故
F向＝F引＝G.
设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2，R1＋R2＝l，由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
对m1：G＝m1R1ω2①
对m2：G＝m2R2ω2②
由①②式可得：m1R1＝m2R2，
又∵R1＋R2＝l
∴R1＝，R2＝，
将ω＝，R1＝代入①式可得：
G＝m1·，
∴T＝ ＝2πl .
答案：见解析(时间：90分钟，满分：100分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分)
1．甲、乙两个质点间的万有引力大小为F，若甲物体的质量不变，乙物体的质量增加到原来的2倍，同时，它们之间的距离减为原来的1/2，则甲、乙两物体间的万有引力大小将变为( )
A．F B．F/2
C．8F D．4F
解析：选C.由万有引力定律可知，甲、乙两质点之间的力，与质量成正比，与距离的平方成反比，故C对．
2．关于第一宇宙速度，下列说法正确的是( )
A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B．它是人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度
C．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
答案：BC
3．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1700 km)( )
A. B.
C. D.
解析：选C.根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有
G＝m，那么卫星的线速度跟其轨道半径的平方根成反比，则有＝＝，C正确．
4．(2011年高考北京卷)由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( )
A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同
C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同
解析：选A.同步卫星运行时，万有引力提供向心力，＝mr＝m，故有＝，v＝，由于同步卫星运行周期与地球自转周期相同，故同步卫星的轨道半径大小是确定的，速度v也是确定的，同步卫星的质量可以不同．要想使卫星与地球自转同步，轨道平面一定是赤道平面．故只有选项A正确．
5．(2011年高考天津卷)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A．线速度v＝ B．角速度ω＝
C．运行周期T＝2π D．向心加速度a＝
解析：选AC.由＝m＝mω2R＝mR＝mg＝ma得v＝，A对；ω＝，B错；T＝2π，C对；a＝，D错．
6．两颗靠得较近的天体组成双星，它们以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，因而不会由于相互的引力作用被吸到一起，下面说法中正确的是( )
A．它们做圆周运动的角速度之比，与它们的质量之比成反比
B．它们做圆周运动的线速度之比，与它们的质量之比成反比
C．它们做圆周运动的向心力之比，与它们的质量之比成正比
D．它们做圆周运动的半径之比，与它们的质量之比成反比
解析：选BD.本题考查了双星问题的分析．对双星问题的分析关键是弄清楚两星角速度相同，向心力相同，且有确定的相同的圆心，两者半径之和等于它们的间距，再由F万＝F向求解，选项B、D正确．
7.
图6－2
(2011年河南省实验中学高三第一次质量检测)如图6－2所示，“嫦娥一号”卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点P处(距地面600 km)，将发动机短时点火，实施变轨，变轨后卫星进入远地点高度约为37万km的椭圆轨道Ⅱ，直接奔向月球，则卫星在近地点变轨后的运行速度( )
A．小于7.9 km/s
B．大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．大于11.2 km/s
D．大于11.2 km/s，小于16.7 km/s
解析：选B.“嫦娥一号”变轨后仍沿以地心为一个焦点的椭圆轨道运动，则其在近地点的速度必小于第二宇宙速度，而如果等于第一宇宙速度时将沿地球表面的圆形轨道运动，B正确．
8．(2011年高考浙江卷)为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则( )
A．X星球的质量为M＝
B．X星球表面的重力加速度为gX＝＝
C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝
D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1
解析：选AD.飞船绕X星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G＝m，则X星球质量M＝，选项A正确．由G＝m＝ma1，知r1轨道处的向心加速度a1＝＝，而对绕X星球表面飞行的飞船有G＝mgX(R为X星球的半径)，则gX＝G>a1＝＝，选项B错误．由G＝m知v＝，故＝，选项C错误．根据G＝m得T＝，故＝，即T2＝T1，选项D正确．
9．设想人类开发月球，不断把月球的矿藏搬运到地球上，假设经过长时间的开采后，地球仍可看做是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周运动，则与开采前相比( )
A．地球与月球间的万有引力将变大
B．地球与月球间的万有引力将变小
C．月球绕地球运动的周期将变长
D．月球绕地球运动的周期将变短
解析：选BD.开采前月地间万有引力为，开采Δm的矿藏从月球到地球，则开采后的万有引力为
由此：－
＝[Δm2＋Δm(M－m)]>0，
即万有引力减小．
万有引力提供月球做圆周运动的向心力，则
G＝m()2R
T＝ ，地球质量M增大，故周期T将变短．
10.
图6－3
如图6－3我国发射“神舟”号飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1、v2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动．这时飞船的速率约为v3.比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )
A．v1>v3>v2，a1>a3>a2
B．v1>v2>v3，a1>a2＝a3
C．v1>v2＝v3，a1>a2>a3
D．v1>v3>v2，a1>a2＝a3
解析：选D.飞船在太空中的加速度为a＝＝，由此知a1>a2＝a3，由M点至N点，飞船做离心运动，该过程重力做负功，则v1>v2，由N点进入圆轨道时飞船需加速，否则会沿椭圆轨道做向心运动，故v3>v2，比较两个圆轨道上的线速度由v＝ 知v3
v3>v2.
11．宇宙飞船要与环绕地球运转的轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可采取的措施是( )
A．只能从较低轨道上加速
B．只能从较高轨道上加速
C．只能从与空间站同一高度轨道上加速
D．无论在什么轨道上，只要加速就行
解析：选A.飞船的速度由轨道半径决定，所以要求空间站对接只能从低轨道加速，使飞船离心做椭圆轨道运动，从而与较高轨道上的空间站对接．
12．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍．若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为( )
A．6小时 B．12小时
C．24小时 D．36小时
解析：选B.根据牛顿第二定律和万有引力定律有：
G＝mr()2
而M＝ρ·πR3，解得T＝.地球的同步卫星的周期为T1＝24小时，轨道半径为r1＝7R1，密度ρ1.某行星的同步卫星周期为T2，轨道半径为r2＝3.5 R2，密度ρ2＝ρ1.解得T2＝12小时，故正确答案为B.
二、计算题(本题共4小题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
13．(12分)(2011年河南郑州高一检测)一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该星球半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的密度．
解析：(1)小球在空中的运动时间t＝2×，所以g＝.(4分)
(2)由G＝mg可得星球的质量M＝＝，(4分)
所以星球的密度ρ＝＝.(4分)
答案：(1) (2)
14．(12分)宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大为原来的2倍．则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M.
解析：设抛出点的高度为h，由平抛运动的特点可得：
2＝，(3分)
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动规律得：
h＝gt2(3分)
由万有引力定律与牛顿第二定律得
mg＝G(4分)
联立以上各式得M＝.(2分)
答案：
15．(14分)
图6－4
如图6－4所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
(1)求卫星B的运行周期；
(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
解析：(1)由万有引力定律和向心力公式得
G＝m(R＋h)(3分)
在地球表面处有G＝mg(2分)
联立得TB＝2π①(2分)
(2)B转动的角速度大于A，因此当A、B再次相距最近时，B比A多转一周，即多转2π弧度，故(ωB－ωA)t＝2π(2分)
又ωB＝＝(3分)
把①代入得t＝.(2分)
答案：(1)2π (2)
16．(14分)(2011年湖北八校联考)人们认为某些白矮星(密度较大的恒星)每秒大约自转一周(引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球半径R约为6.4×103 km)．
(1)为使其表面上的物体能够被吸引住而不致由于快速转动被“甩”掉，它的密度至少为多少？
(2)假设某白矮星密度约为此值，且其半径等于地球半径，则它的第一宇宙速度为多少？
解析：(1)假设赤道上的物体刚好不被“甩”掉，则白矮星对物体的万有引力恰好提供物体随白矮星转动的向心力，设白矮星质量为M，半径为r，赤道上物体的质量为 m，
则有G＝mr，(3分)
白矮星的质量为M＝，(2分)
白矮星的密度为ρ＝＝＝
＝ kg/m3＝1.41×1011 kg/m3.(5分)
(2)由G＝m得白矮星的第一宇宙速度为：
v＝ ＝ ＝ ＝
m/s＝4.02×107 m/s.(4分)
答案：(1)1.41×1011 kg/m3 (2)4.02×107 m/s1．在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献．关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是( )
A．伽利略发现了行星运动的规律
B．卡文迪许通过实验测出了引力常量
C．牛顿最早指出力不是维持物体运动的原因
D．笛卡尔对牛顿第一定律的建立做出了贡献
解析：选BD.卡文迪许通过扭秤实验测出了万有引力常量，B正确；笛卡尔《哲学原理》中以第一和第二自然定律的形式比较完整地第一次表述了惯性定律：只要物体开始运动，就将继续以同一速度并沿着同一直线方向运动，直到遇到某种外来原因造成的阻碍或偏离为止，为牛顿第一定律的建立做出了贡献，D正确；行星运动的规律是开普勒发现的，A错误；伽利略最早指出力不是维持物体运动的原因，C错误．
2．关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳椭圆轨道运动时，在近日点所受引力大，在远日点所受引力小
C．由F＝G可知，G＝，由此可见G和F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看做圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
解析：选BD.根据F＝G，太阳对行星的引力大小，与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，B正确．对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星质量决定，A错误．公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，C错误．通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道近似看做圆形，向心力由太阳对行星的引力提供，D正确．
3．(2011年成都高一检测)地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器在地球和月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力相等时，该飞行器距地心距离与距月心距离之比为( )
A．1∶1 B．3∶1
C．6∶1 D．9∶1
解析：选D.设月球中心离飞船的距离为r1，月球的质量为m1；地球中心离飞船的距离为r2，地球的质量为m2.飞船的质量为m，则万有引力的公式为F月船＝G，而F地船＝G.由于F月船＝F地船，则＝＝，故＝，故D正确．
4．某行星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则该行星表面的重力加速度约为( )
A．0.2g B．0.4g
C．2.5g D．5g
解析：选B.题目考查万有引力定律及其应用．星球表面的重力等于万有引力，即G＝mg，故行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为＝＝0.4，故g行＝0.4g，选项B正确．
5．(2011年南昌高一检测)离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的二分之一，则高度h是地球半径的多少倍．
解析：地球表面上物体所受重力约等于地球对物体的引力，则有
mg＝G，式中G为引力常量，M为地球质量，m为物体质量，R为地球半径．
离地面高度为h处，mgh＝G
由题意知gh＝g，解得h＝(－1)R，
即h是地球半径的－1倍．
答案：－1
一、选择题
1．关于引力常量G，下列说法正确的是( )
A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值
B．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G的物理意义是，两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力为6.67×10－11 N
D．引力常量G是不变的，其值大小与单位制的选择无关
解析：选AC.利用G值和万有引力定律不但能“称”出地球的质量，而且可测定远离地球的一些天体的质量和平均密度等，故A对；引力常量G是一个普遍适用的常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，与两物体质量的乘积以及两物体间距离的平方无关，故B错；G的物理意义是：两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的万有引力为6.67×10－11N，故C对；G的大小与所选的单位有关，例如质量的单位取克(g)，距离的单位取厘米(cm)，则求得的G值不等于6.67×10－11N·m2/kg2，故D错．
2．如图6－2－3所示，两球的半径小于R，两球质量均匀分布，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为( )
图6－2－3
A．G B．G
C．G D．G
解析：选D.由万有引力定律公式中“r”的含义应为两球球心之间的距离，故D对．
3．(2011年湖南长沙一中模拟)对于相隔一定距离的两个质点，要使它们之间的万有引力变为原来的2倍，可以采用的办法是( )
A．仅把两者的质量都增大2倍
B．仅把两者的质量都增大到原来的倍
C．仅把两者的距离减小到原来的
D．仅把两者的距离增大到原来的倍
答案：B
4．引力常量为G，地球质量为M，把地球当做球体，半径为R，忽略地球的自转，则地球表面的重力加速度大小为( )
A．g＝
B．g＝GR
C．g＝
D．缺少条件，无法算出地面重力加速度
解析：选C.忽略地球自转时，物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，则有mg＝G，所以g＝.
5．月球表面的重力加速度为地球表面上重力加速度的，一个质量为600 kg的飞行器到达月球后，(地球表面处的重力加速度为9.8 m/s2)( )
A．在月球上的质量仍为600 kg
B．在月球表面上的重量为980 N
C．在月球表面上的高空中重量小于980 N
D．在月球上的质量将小于600 kg
解析：选ABC.物体的质量与物体所处的位置及运动状态无关，故A对，D错；由题意知，物体在月球表面上受力为地球表面上受力的，即F＝mg＝×600×9.8 N＝980 N，故B对；由F＝知，r增大时，引力F减小，C对．
6．两个大小相同的实心均质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心均质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力变为( )
A．2F B．4F
C．8F D．16F
解析：选D.设小铁球半径为R，则两小铁球间：
F＝G＝G
＝Gπ2ρ2R4.
同理，两大铁球之间：
F′＝G＝Gπ2ρ2(2R)4＝16F.
7．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受的万有引力大小的( )
A.倍 B.倍
C．2.0倍 D．4.0倍
解析：选C.F引＝＝＝2＝2F引地，所以C正确．
8．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )
A．0.5 B．2
C．3.2 D．4
解析：选B.设地球质量为M地，半径为R地，“宜居”行星质量为M，半径为R，则人在地球G＝mg＝600 N，
人在“宜居”行星G＝mg′＝960 N
其中M＝6.4M地，由以上两式相比得＝2，所以B项正确．
9．两个行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D.行星的向心加速度是由太阳的引力产生的，
由＝man得：an＝
∴＝，故D正确．
二、非选择题
10．假设地球自转速度达到使赤道上的物体能恰好“飘”起来．试计算此时地球上的一天等于多少小时？(地球半径R＝6.4×106m，g＝10 m/s2)
解析：赤道上的物体受到的地球引力等于向心力，
即＝m·R
又＝mg
解得：T＝2π＝2×3.14× s＝5024 s
＝1.4 h.
答案：1.4 h
11．(2011年福州市模拟)宇航员站在某一星球距离表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度g的大小；
(2)该星球的质量．
解析：(1)做平抛运动的小球在竖直方向的运动可看做是自由落体运动，
所以由h＝gt2得g＝.
(2)处在星球表面的物体的重力和所受的万有引力相等，所以有
mg＝G，M＝＝.
答案：(1) (2)
12.
图6－2－4
如图6－2－4所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为起动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
解析：取测试仪为研究对象，其先后受力如图甲、乙所示，据物体的平衡条件有FN1＝mg1，g1＝g，所以FN1＝mg.
火箭升空后，据牛顿第二定律有FN2－mg2＝ma＝m，所以FN2＝＋mg2，由题意知FN2＝FN1，所以＋mg2＝mg，所以g2＝g，由于mg＝G.设火箭距地面高度为H，则有mg2＝G，解得H＝.
答案：1．牛顿运动定律不适用于下列哪些情况( )
A．研究原子中电子的运动
B．研究“神舟五号”飞船的高速发射
C．研究地球绕太阳的运动
D．研究飞机从北京飞往纽约的航线
解析：选A.牛顿力学属于经典力学的研究范畴，适用于宏观、低速运动的物体，并注意到低速和高速的标准是相对于光速，可判定B、C、D适用而A不适用，所以选A.
2．2008年9月25日，我国成功发射了搭载3名宇航员的“神舟”七号飞船，在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( )
A．等于7.9 km/s
B．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
C．小于7.9 km/s
D．介于7.9 km/s和16.7 km/s之间
解析：选C.卫星在圆形轨道上运动的速度v＝ .由于r>R，所以v< ＝7.9 km/s，C正确．
3．关于人造地球卫星及其中物体的超重、失重问题，下列说法中正确的是( )
A．在发射过程中向上加速时产生超重现象
B．在降落过程中向下减速时产生超重现象
C．进入轨道后做匀速圆周运动，产生失重现象
D．失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的
解析：选ABC.当向上加速时超重，向下减速时(a方向向上)也超重，故A、B两项正确；卫星做匀速圆周运动时，万有引力完全提供向心力，卫星及卫星内的物体皆处于完全失重状态，故C项正确，D说法错误，故正确答案为A、B、C.
4.
图6－5－3
如图6－5－3所示，是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是( )
A．根据v＝，可知vAB．根据万有引力定律，可知卫星所受地球引力FA>FB>FC
C．角速度ωA>ωB>ωC
D．向心加速度aA解析：选C.设地球质量为M，卫星质量为m，卫星做圆周运动的半径为r，由G＝m＝mω2r＝ma得，v∝，ω∝，a∝.因为rAvB>vC，A错．ωA>ωB>ωC，C对．aA>aB>aC，D错．而F∝，由于三个卫星的质量关系不知，故无法确定卫星所受地球引力的大小关系，B错．
5．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.
解析：(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M
在地球表面附近满足G＝mg
得GM＝R2g①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
m＝G②
①式代入②式，
得v1＝.
(2)考虑①式，卫星受到的万有引力为：
F＝G＝③
由牛顿第二定律F＝m(R＋h)④
③④式联立解得T＝ .
答案：见解析
一、选择题
1．对于时空观的认识，下列说法正确的是( )
A．相对论给出了物体在低速运动时所遵循的规律
B．相对论具有普遍性，经典物理学为它在低速运动时的特例
C．相对论的出现使经典物理学在自己的适用范围内不再继续发挥作用
D．经典物理学建立在实验的基础上，它的结论又受到无数次实验的检验，因此在任何情况下都适用
答案：B
2．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( )
A．第一宇宙速度又叫环绕速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
解析：选A.第一宇宙速度又叫环绕速度，A对，B错．根据G＝m得v＝，故环绕速度与地球的质量和半径有关，C、D错．
3．关于绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，以下判断正确的是( )
A．同一轨道上，质量大的卫星线速度大
B．同一轨道上，质量大的卫星向心加速度大
C．离地面越近的卫星线速度越大
D．离地面越远的卫星线速度越大
解析：选C.由＝m＝ma可得v＝，A错，C正确，D错；由a＝，得卫星质量m的大小对向心加速度没有影响，B错．
4．我国自行研制发射的“风云一号”、“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的，“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T1＝12 h；“风云二号”是同步卫星，其轨道平面就是赤道平面，周期为T2＝24 h；两颗卫星相比( )
A．“风云一号”离地面较高
B．“风云一号”每个时刻可观察到的地球表面范围较大
C．“风云一号”线速度较大
D．若某时刻“风云一号”和“风云二号”正好同时在赤道上某个小岛的上空，那么再过12小时，它们又将同时到达该小岛的上空
解析：选C.因T1v2，C正确；由于T1＝12 h，T2＝24 h，则需再经过24 h才能再次同时到达该小岛的上空，D错．
5．(2011年合肥一中高考教学质量检测)同步卫星的加速度为a1，运行速度为v1，地面附近卫星的加速度为a2，运行速度为v2，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a3，速度为v3，则( )
A．v2＞v1＞v3 B．v3＞v1＞v2
C．a2＞a3＞a1 D．a2＞a1＞a3
解析：选AD.同步卫星与近地卫星在运行时向心力都完全由万有引力来提供，＝ma＝m，则由v＝ 知v2＞v1，由a＝知a2＞a1；地面上的物体随地球转动时－FN＝ma＝m，不能从这个角度与其他两个比较，但同步卫星与地球自转的角速度相同，由v＝ω·r及a＝ω2·r可知v1＞v3、a1＞a3，故本题答案为A、D.
6．(2011年高考大纲全国卷)我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球．如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比( )
A．卫星动能增大，引力势能减小
B．卫星动能增大，引力势能增大
C．卫星动能减小，引力势能减小
D．卫星动能减小，引力势能增大
解析：选D.由F＝＝m知，Ek＝mv2＝，r越大，Ek越小．r增大，卫星在升高过程中要克服万有引力做功，引力势能增大．综上所述D对，A、B、C错．
7．(2011年天水高一检测)地球同步卫星的质量为m，离地面高度为h.若地球的半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转的角速度为ω，则同步卫星所受地球对它的万有引力的大小为( )
A．0 B.
C．m D．以上结果都不正确
解析：选BC.同步卫星受到的万有引力等于其向心力，即F＝mω2(R＋h)①，F＝G＝②，B正确．由①、②得R＋h＝代入①得F＝m，C正确．
8．(2010年高考海南卷)火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法正确的是( )
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
解析：选AB.由G＝mg得g＝G，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，A对；由G＝m()2R得T＝2π，公转轨道半径大的周期长，B对；周期长的线速度小，(或由v＝判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转向心加速度a＝G，D错．
9．(2011年郑州模拟)宇宙飞船在轨道上运行，由于地面指挥人员发现某一火箭残体的轨道与飞船轨道有一交点，通知宇航员某一时间飞船有可能与火箭残体相遇，宇航员随即开动飞船上的发动机使飞船加速，脱离原轨道，关于飞船的运动，下列说法正确的是( )
A．飞船高度降低 B．飞船高度升高
C．飞船周期变小 D．飞船的向心加速度变大
解析：选B.当宇宙飞船加速时，它所需向心力增大，而万有引力不能相应增大，万有引力不能将飞船拉回原轨道，因此飞船做离心运动，轨道半径增大，由此知A错误，B正确；由式子T＝2π 可知，r增大，T增大，故C错误；由于r增大，则a＝，变小，D错误．
二、非选择题
10．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为多少？
解析：中子星上的第一宇宙速度即为它表面的环绕速度，由G＝m得v＝，
又由M＝ρV＝ρπr3代入上式得
v＝2r＝5.8×104 km/s.
答案：5.8×104 km/s
11．(2011年黄冈模拟)据报道，美国航空航天管理局计划在2008年10月发射“月球勘测轨道器”(LRO)，LRO每天在50 km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径．求：
(1)LRO运行时的向心加速度a；
(2)月球表面的重力加速度g.
解析：(1)由a＝ω2r得
a＝(R＋h).①
(2)设月球质量为M，万有引力常量为G，LRO的质量为m，根据牛顿第二定律，有G＝ma②
由万有引力定律得G＝m′g③
由①②③式解得g＝.
答案：(1)(R＋h) (2)
12．继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美国航天局和欧洲航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2006年6月30日(北京时间7月1日)抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族．这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测．若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t.求：土星的质量和平均密度．
解析：设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M.“卡西尼”号环绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律可得
G＝m(R＋h)()2，其中T＝
解得土星的质量为M＝
又土星的体积V＝πR3
所以土星的平均密度ρ＝＝.
答案： 1．关于天体运动，下列说法中正确的是( )
A．天体的运动与地面上物体的运动所遵循的规律是不同的
B．天体的运动是最完美、最和谐的匀速圆周运动
C．太阳东升西落，所以太阳绕地球运动
D．太阳系的所有行星都围绕太阳运动
答案：D
2．关于太阳系中各行星的轨道，以下说法不正确的是( )
A．所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有的行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．不同的行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的
D．不同的行星绕太阳运动的轨道各不相同
解析：选B.由开普勒行星运动定律可知，所有的行星围绕太阳的轨道都是椭圆，由此知A正确，B错误；由天文观测知道，不同行星处在不同的椭圆轨道上其半长轴各不相同，故C、D正确．
3.
图6－1－7
(2011年抚顺高一检测)某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图6－1－7所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )
A．F2 B．A
C．F1 D．B
解析：选A.根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等时间内扫过相等的面积，因为行星在A点的速率比在B点大，所以太阳位于F2.
4．行星绕恒星的运动轨道如果是圆形，那么它轨道半径r的三次方与运行周期T的平方的比为常量，设＝k，则常量k的大小( )
A．只与恒星的质量有关
B．与恒星的质量及行星的质量有关
C．只与行星的质量有关
D．与恒星的质量及行星的速度有关
解析：选A.＝k，比值k是一个与行星无关的常量．
5．月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天，应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多高，人造地球卫星可随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？(已知R地＝6.4×103 km)
解析：设人造地球卫星轨道半径为R，周期为T，由题意知月球轨道半径为60R地，周期为T0，则有＝
得：R＝×60R地＝×60R地＝6.67R地
卫星离地高度
H＝R－R地＝5.67R地＝5.67×6400 km
＝3.63×104 km.
答案：3.63×104 km
一、选择题
1．关于“日心说”和“地心说”的一些说法中，正确的是( )
A．地球是宇宙的中心，是静止不动的
B．“太阳从东方升起，在西边落下”，这说明太阳绕地球转动，地球是不动的
C．如果认为地球是不动的(以地球为参照物)，行星运动的描述不仅复杂且问题很多
D．如果认为太阳是不动的(以太阳为参照物)，则行星运动的描述变得简单
解析：选CD.“太阳从东方升起，在西边落下”，是地球上的人以地球为参照物观察的结果，并不能说明太阳绕地球转动，因为运动是相对的，参照物不同，对运动的描述也不同．
2．(2011年无锡高一检测)关于行星的运动以下说法正确的是( )
A．行星轨道的半长轴越长，自转周期就越长
B．行星轨道的半长轴越长，公转周期就越长
C．水星轨道的半长轴最短，公转周期就最长
D．海王星离太阳“最远”，公转周期就最长
解析：选BD.由开普勒第三定律＝k可知，a越大，T越大，故B、D正确，C错误；式中的T是公转周期而非自转周期，故A错．
3．关于开普勒行星运动的公式＝k，以下理解正确的是( )
A．k是一个与行星无关的量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则＝
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
解析：选AD.T是公转周期，k是一个与环绕星体无关的量，只与被环绕的中心天体有关，中心天体不同，其值不同，只有围绕同一天体运动的行星或卫星，它们的半长轴的三次方与公转周期的二次方之比才是同一常数，故≠，答案应是A、D.
4．火星绕太阳的公转周期约是金星绕太阳公转周期的3倍，则火星轨道半径与金星轨道半径之比约为( )
A．2∶1 B．3∶1
C．6∶1 D．9∶1
解析：选A.根据开普勒第三定律＝k
得＝，则＝＝≈2.故A正确．
5．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半长轴之比等于( )
A．4 B.
C．2 D.
解析：选B.根据开普勒第三定律有：
＝，
则＝＝＝＝，
答案应为B.
6．某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的，则此卫星运行的周期大约是( )
A．1～4天之间 B．4～8天之间
C．8～16天之间 D．16～20天之间
解析：选B.由开普勒第三定律＝k可得：＝ ＝＝，而T2≈27 天，则T1＝ 天≈5.2 天，故B正确．
7．(2011年高考重庆卷)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运动到日地连线的延长线上，如图6－1－8所示．该行星与地球的公转半径之比为( )
图6－1－8
A．() B．()
C．() D．()
解析：选B.地球绕太阳公转周期T地＝1年，N年 转N周，而该行星N年转(N－1)周，故T行＝年，又因为行星和地球均绕太阳公转，由开普勒第三定律知＝k，故＝＝，选项B正确．
8．地球绕太阳公转，地球本身绕地轴自转，形成了一年四季：春夏秋冬．则下面说法中正确的是( )
A．春分地球公转速率最小
B．夏至地球公转速率最小
C．秋分地球公转速率最小
D．冬至地球公转速率最小
解析：选B.由开普勒第二定律知，地球与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，在夏至时节，地球运动至远日点，离太阳最远，故其速率最小．
9．(2010年高考课标全国理综卷)太阳系的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图6－1－9中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是( )
图6－1－9
解析：选B.由开普勒第三定律＝k(常数)可知，()3＝()2，两边取对数可得3lg()＝2lg()，
即lg()＝lg()，选项B正确．
二、非选择题
10．假设“嫦娥一号”绕月球沿椭圆轨道运行，它距离月球最近的距离为h1，距离月球最远的距离为h2.若“嫦娥一号”距离月球最近距离时的速度为v，问：“嫦娥一号”距离月球最远距离时的速度大小．(月球半径为R)
解析：设在极短时间Δt内“嫦娥一号”在近月点扫过的面积为：S1＝(R＋h1)vΔt，
在远月点扫过的面积为：S2＝(R＋h2)v′Δt
由开普勒第二定律得：
(R＋h1)vΔt＝(R＋h2)v′Δt
∴v′＝v.
答案：v
11．哈雷彗星绕太阳运转的周期是76年，哈雷彗星离太阳最近的距离是8.9×1010 m，但它离太阳最远的距离不能测出．试根据开普勒定律计算这个最远距离．(太阳系的开普勒常量k＝3.354×1018 m3/s2)
解析：可以根据开普勒第三定律求得轨道半长轴，而后依据几何关系求得最远距离．设哈雷彗星离太阳的最近距离为R1，最远距离为R2，则轨道半长轴为a＝
根据开普勒第三定律有＝k
所以哈雷彗星离太阳最远的距离是R2＝－R1
＝ m－8.9×1010 m＝5.3×1012 m.
答案：5.3×1012 m
12．地球到太阳的距离为水星到太阳距离的2.6倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比是多少？(设地球和水星绕太阳运转的轨道均为圆轨道)
解析：设地球绕太阳运转的线速度为v1，水星绕太阳运转的线速度为v2，则有：
v1＝，v2＝
那么＝①
根据开普勒第三定律有：
＝②
联立①②两式可得
＝＝＝0.62.
答案：0.62