高中数学人教A版必修二：4.1.1圆的标准方程 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
4.1
圆的方程
4.1.1
圆的标准方程
1、什么是圆？
在一个平面内，线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
2、圆有什么特征呢？
(1)圆上各点到定点（圆心)的距离都等于定长（半径r)；
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
复习引入
赵州桥，建于隋炀帝大业年间(595-605年),至今已有1400年的历史,出自著名匠师李春之手,是今天世界上最古老的单肩石拱桥,是世界造桥史上的一个创造.
我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
探究新知
利用圆心和半径
圆心定位置
半径定大小
x
O
y
C(a,b)
r
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．
如图，在直角坐标系中，圆心（点）C的位置用坐标
(a,b)
表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,
y)与圆心C
(a,b)
的距离．
x
O
y
C(a,b)
r
M(x,
y)
符合上述条件的点M组成的集合是怎样的？你能用描述法来表示这个集合吗？
｛M｜｜MC｜=r｝
你能将这个条件用方程用圆上任意点M(x,
y)的坐标x和y表示再来吗？
x
O
y
C(a,b)
r
M(x,
y)
｜MC｜=r
圆上的点的坐标是否在都满足这个方程(x-a)2+(y-b)2=r2？
反之，以方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解为坐标的点是否都这个在圆上？
这个方程我们称为以C(a,
b)为圆心，r为半径长
的圆的方程。而且把它叫做圆的标准方程.
(x-a)
2
+
(y-b)
2
=
r2
圆心为A(a,b)，半径长为r的圆的标准方程：
圆的标准方程
特别地，
圆心为原点O(0,
0)，半径为
r
的圆的标准方程：
x
O
y
A(a,b)
r
x
O
y
r
思考：
圆方程有几个参数？因此确定一个圆需要几个条件？
说明：
圆的方程有三个独立参数：a,b,r，因此确定一个圆需要三个条件。
（1）圆心在原点，半径为3；
（2）圆心在(-3、4),半径为
.
x2+y2=9
(x+3)2+(y-4)2=5
练习
2、写出下列圆的方程
1、圆心为
A（2，-3），半径长等于5的圆的方程为（
）
A
(x
–
2
)2+(y
–
3
)2=25
B
(x
–
2
)2+(y
+
3
)2=25
C
(x
–
2
)2+(y
+
3
)2=5
D
(x
+
2
)2+(y
–
3
)2=5
B
3、圆
(x+2)2+
y2=2的圆心C的坐标为______
,半径r
=______
(-2,0)
例1.
写出圆心为A（2，3），半径长等于5的圆的方程，并判断点
M1（5，7），
，
是否在这个圆上．
解：由圆心是A（2，3），半径长等于5得圆的标准方程：
（x-2）2+（y-3）2=25
把M1（5，7）的坐标代入以上方程
，
方程左右两边相等.
∴点M1
在这个圆上。
例
析
把
的坐标代入以上方程
，
方程左右两边不相等.
∴点M2不在这个圆上。
怎样判断点M0（x0，y0）在圆(x-a)
2
+
(y-b)
2
=
r2内呢？还是在圆外呢？
A
x
y
o
M1
M2
M3
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
探究新知
点在圆外
点在圆内
点与圆的位置关系
点在圆上
A
x
y
o
M1
M2
M3
设点M到圆心的距离为d,圆的半径为
r
若d=r,则
若d>r,则
若d1.几何法：
2.代数法：
已知圆
(x
–
2
)2+(y
+
3
)2=25
，判断下列点是否在圆上？
练习
∵(5
–
2
)2+(-7
+
3
)2=25，
∴P1在圆上
∴P2在圆内
∵(6
–
2
)2+(1
+
3
)2=32>25
，
∴P3在圆外
例2.△ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1),
B(7,－3)，C(2,
－8)，求它的外接圆的方程．.
解：设所求圆的方程为
∵A(5,1),
B(7,－3)，C(2,
－8)
都在圆上
∴
解得
∴
△ABC的外接圆的方程为
待定系数法
例
析
已知圆心为C
的圆经过点A(1,
1)和B(2,
－2)，且圆心C在直线上l：x
－
y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程（用待定系数法）．
设所求圆的方程为
(x-a)
2
+
(y-b)
2
=
r2
∵A(1,
1)、B(2,
－2)在圆上，且圆心C在直线上l：x
－
y+1=0上
∴所求圆的标准方程是
练习
待定系数法
例3.已知圆心为C
的圆经过点A(1,
1)和B(2,
－2)，且圆心C在直线上l：x
－
y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
例析
垂径定理及其推论
对于一个圆和一条直线，若把下列四个中的任意两个作为条件，则剩下的两个可以作为推出的结论：
（1）直线过圆心；（2）直线垂直弦；
（3）直线平分弦；（4）直线平分弧。
思考：垂径定理及其推论的实质是怎样的？
圆心：两条直线的交点
半径
x
y
O
C
A(1,1)
B(2,-2)
弦AB的垂直平分线
例3.已知圆心为C
的圆经过点A(1,
1)和B(2,
－2)，且圆心C在直线上l：x
－
y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
D
?
例3.已知圆心为C
的圆经过点A(1,
1)和B(2,
－2)，且圆心C在直线上l：x
－
y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：∵A(1,
1)和B(2,
－2)，
∴线段AB的中点D的坐标为
直线AB的斜率:
∴线段AB的垂直平分线l'
的方程是
即圆心C的坐标是(-3,-2)
∴圆心为C的圆的标准方程是
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心与圆上一点的距离
x
y
O
M
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
△ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1),
B(7,－3)，C(2,
－8)，用例3的方法求△ABC外接圆的方程．
练习
解：
由A(5,1)和B(7,-3)得，
AB的中点坐标为(6,-1)
∴AB的斜率
线段AB的垂直平分线
l1
的方程是：
即：
∴圆心为C的圆的标准方程是：
同理，线段BC的垂直平分线
l2
的方程是：
即圆心为
M(2,-3)
∴圆的半径长：
l2
l1
M
数形结合法
教材P120练习第1，3，4题
课堂练习
课堂小结
圆心为(a,b),半径r
x
y
O
A
B
C
1.圆的标准方程
2.圆心和半径的几何特征：
①弦的垂直平分线的交点；
②直径的中点。
半径：
①圆心到圆上一点的距离；
②圆心到切线的距离。
圆心：
说明：
圆的方程有三个独立参数：a,b,r，因此确定一个圆需要三个条件。
特别地圆心为原点时,方程为
点在圆外
点在圆内
3.点与圆的位置关系
点在圆上
A
x
y
o
M1
M2
M3
设点M(x0,y0)，圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则：
设点M到圆心的距离为d,圆的半径为
r
若d=r,则
若d>r,则
若d（1）几何法：
（2）代数法：
1.已知圆C的半径为5，圆心为C(3,4)，试写出此圆的标准方程。并判断O(0,0)和P(1,3)与圆的位置关系。
作业
2.已知圆C的圆心在直线m:y=2x+1上，半径r=5，a若此圆过P(-4，3)。求圆的标准方程。
3.已知圆C的圆心在直线l
:
x-y+2=0上，且过点O(0,0)和A(1，3)。试分别用待定系数法和数形结合法求出圆的标准方程。