(
应用
)
(
加减
消元
法
)循环小数
【学习目标】
1、初步理解循环小数、有限小数和无限小数的意义。
2、会正确判断循环小数，并能说出循环小数中的循环节。
3、掌握循环小数的两种表示方法。
重点：理解循环小数的意义及其简便记法。
难点：正确找出循环小数的循环节。
《导学稿》正文
设计要点和操作要领
一、创设情境，生成问题
填空：找规律填数
①
○□※○□※○□※…
②
红黄蓝绿红黄蓝绿…
小结：像这样“依次不断的重复出现”的现象，我们可以用一个词来表示，叫做“循环”。
其实日常生活中还有许多像这样有意思的循环现象，谁能举个例子？
小结：数学计算中也存在着“循环”这个现象，今天就来解决我们课前做的三道计算题中碰到的问题。
出示，课前做的四道题。
3.45÷5
1÷3
13.7÷11
20÷14.8
做题要求：1、尽量多除几位。2、你有什么发现吗？
★问：怎么填？为什么这样填？后面的省略号表示什么意思？
初步感知“循环”概念。为新授做好准备。
☆
通过学生的亲身经历和体验，进一步感受“循环”的意思。
★这三道题，商的循环节分别是由一个、两个和三个数字组成的。让学生课前做，既能让他们带着问题参与后续学习，也能节约授课时间。
二、学习新课
比较异同
思考讨论：第一道题和第二、三、四道题的商小数部分的数位有什么不同？
小结：我们要用省略号来表示。
观察思考：第二道题、第三道题和第四道题的商有什么特点？想一想，这是为什么？
小结：余数和商的数字依次不断重复出现，也是一种“循环”的现象。
循环小数和循环节
思考
这三道题的商中循环的数字有什么特点？
小结：小数部分的一个或几个数字依次不断重复出现。
小数部分的数字开始重复出现时所在的数位有区别吗？
小结：小数部分从某一位起，数字开始依次不断重复出现。
概况循环小数的意义
一个小数（像0.3333…，1.2454545…，1.351351…等）从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
（4）这就是我们今天学习的内容《循环小数》。【出示板书】
（5）加深理解：循环小数后边的省略号表示什么？
小结：循环小数就是无限小数。
判断题：以下不是循环小数的有哪些？
0.105353…
74.7474
2.2666…
1.74625…
0.42854285…
要求：对的找到循环的数字；错的讲出原因。
师：循环小数2.2666…是6这一个数字不断循环，0.105353…是53这两个数字不断重复，0.42854285…是4285这四个数字不断重复，我们就把这些不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。例如：2.2666…的循环节是6；0.105353…的循环节是53；0.42854285…的循环节是4285。
学生小练习：请说出0.3333…，1.2454545…，1.351351…的循环节。
小结：循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
（四）循环小数的简便表示方法
1、师：循环小数一般的写法是把循环的数字写上2遍或3便，然后写上省略号，但是还有一种更简便的方法，请把书翻到P27，自学小丁丁和小胖的那部分内容。
2、回答问题
（1）这种简便写法使用了什么符号？写在哪儿呢？
（2）0.3333…怎么读呢？
（3）1.2454545…怎么写？怎么读？
（4）1.351351…怎么写？怎么读？
小练习：将它们用简便方法表示出来。
1.177777…
5.7234242…
1.1380413804…
小结：简洁明了的符号是数学的普遍要求，整个循环节上只要点两个小圆点就可以了，中间部分不需要加小圆点。
循环小数的两种写法我们都可以使用，但我们平时更喜欢使用简便方式，因为它书写起来比较短。
★简单介绍“有限小数”和“无限小数”的概念与区别。
☆会用省略号表示无限小数的商。
★通过学生观察和讨论，得出第二道题：余数重复出现1，所以商就重复出现3，除不尽；第三道题：余数重复出现5和6，所以商就重复出现45，除不尽；第四道题：余数重复出现52、76和20，所以商就重复出现3、5和1，除不尽。从而得出数学中的“循环”概念。
☆学生通过观察得出：分别是一个、二个和三个数字在不停循环。
★学生通过观察得出：有的数从小数点之后第一位就出现循环；有的数不是在小数点之后就出现循环。
☆学生完成循环小数概念学习。
★这题的五个选项中包含了有限小数，无限循环小数，无限不循环小数这三种类型的小数。在循环小数中又包含了纯循环小数和混循环小数这两种情况。因此，能较全面的检测学生学习的达标度。同时能顺势引出循环节概念教学。
☆这个小练习检查学生对循环节概念的掌握程度。
★培养学生的自学能力，能看教材，会看教材。
☆检查学生自学的效果，能用简便方法读写循环小数。
学生先试读，再跟老师一起读。
★这个小练习检查学生对循环节的简写和读法的掌握程度。
三、达标反馈
（一）A组练习
1、你能根据下列循环小数的简便写法，写出它们的一般写法吗？或者根据它的一般方法，写出它的简便方法
.
.
..
2.0555…
7.307
3.1435
3.14351435…
2、判断题
（
）（1）0.8888是循环小数。
.
(
)（2）1.3
<
1.33333
（
）（3）13.243243…可写作13.24
（二）B组练习
解决问题：
小巧家去年11月电费413元，想一想，平均每天用电多少元？
每套童装用布2.2米，50米布可以做多少套套装？
（三）C组练习
循环小数0.48536536…的小数部分第60位上的数是几？第100位上的数呢？
要求：讲思考方法和计算过程。
★
复习了循环小数的两种写法，使学生能真正掌握和运用这两种写法的方法和技巧。
☆对循环小数和循环节的概念，通过学生观察、比较、分析、讨论等方式进一步进行辨析，从而把这两个知识点再一次巩固和内化。
★综合题，需要学生能根据生活中的实际情况，不仅算出循环小数，还要运用不同近似法取符合题意的近似值。
☆拓展题，一方面让学生能继续深入的探究循环小数的规律，另一方面希望激发起学生解决较难学习问题的兴趣。二、教案
课
题
第
1
课时
教
学
目
标
学生理解循环小数的意义，掌握循环小数的两种表示法。
2、培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高学生的观察、比较、分析、判断、抽象概括能力及探索规律的能力。
3、学生感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望。
教
学
重
点
理解循环小数的意义，掌握循环小数的表示方法。
教
学
难
点
会比较两个或几个数的大小
现代媒体准
备
(含教具、学具)
媒体
课
前
准
备
︵
含
预
习
布
置
︶
媒体
教案续1
板书设计：
循环小数
有限小数：小数部分的位数是有限的小数。
无限小数：小数部分的位数是无限的小数。
?
?
一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。依次不断重复出现的数字叫做循环节。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末尾上面各记一个小圆点。
练习设计（需充分考虑优等生与后进生的训练）
一、巩固练习
判断下面的数，哪些是循环小数？
判断
循环小数，请用简便记法写出来。
比较下面两个数的大小
二、能力提升
1÷7=0.142857142857…，它的小数点后面第70位上的数字是几？
教案续2
教学过程：
新课导入：
师：在我们平时接触到的一些自然现象或生活中哪些现象是按照一定顺序依次不断进行着的？（如：四季、一个星期的七天的排列顺序、一年12个月的排序……）
2、师：这么多的现象都有什么共同点?像这样“依次不断重复出现”的现象我们把它叫做“循环”。在我们数学中是不是也存在这样?“循环”的现象呢？
二、新课探索：
探究一：初步探究循环小数的意义
1.?出示：?1÷3=?????????11.56÷6=?????13.7÷11=
（选择一题算算结果）
1)?（针对第1题）计算结果是多少呢？在计算的过程中有什么发现？你怎么知道小数部分每一位的数字都是3？那么商的小数部分有多少个“3”呢？在横式中可以怎样表示商呢？余数还要写吗？为什么？
2)?（针对第二题）这道题的商又有什么特点？你怎么知道小数部分从千分位之后的每一位的数字都是6？在横式中可以怎样表示商呢？这里的“…”表示省略了什么呢？
3)?（针对第三题）如果这道题继续除下去，商会怎样？为什么？
2.?得到循环小数的概念
1)?师：以上三道除法的商有什么特点？
2)?像0.3333…，1.2454545…，1.9266…，这样的小数我们就叫它循环小数。?谁能试着说说看什么叫做循环小数？学生看书自学
（板书：从小数部分某一位起一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫循环小数。）
3)?怎样判断一个小数是不是循环小数？?为什么要强调“从小数部分某一位起”呢？这三个循环小数谁来说说它们是从哪一位起的哪些数字在依次不断重复出现的？
4）那么怎么会出现循环小数的呢？在计算中，当每次除得的余数相同，商的小数部分必定会出现一个或几个数字依次不断的重复出现，商就是一个循环小数。
探究二：循环小数的写法、读法
1.?自学循环小数的简便写法。
师：循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字又叫什么？书写循环小数比较麻烦，有没有简便写法呢？请大家继续自学27页，看看小胖和小丁丁还告诉我们什么？
2、循环节的概念
循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
师：0.3333…，1.2454545…，1.9266…这三个循环小数的循环节分别是多少？
师：在用简便方法表示循环小数的时候，要找出这个循环小数的循环节，如果循环节只有一个数字就在这个数字上点一个点。如果循环节有几个数字，就在这几个数字的首尾两个数字上各点一个点。
三、巩固练习?
1.?下面的数，哪些是循环小数？
0.3757?????????????0.417417…
1.66666…??????????5.7234242…
3.161616…?????????4.373737
1.1380413804…?????0.50507…
问：这两个小数为什么不是循环小数？如果在他们后面添上省略号呢？
2.判断：
(1)一个数中有一个数字或几个数字重复出现，这样的数叫循环小数。
（
）
（2）循环小数是无限小数，无限小数也是循环小数。
（
）
（3）0.66666666，是循环小数。
（
）
3、下面的循环小数，请用简便记法写出来。
3.28585……
(?
?
)?
???0.02929……
(?
?
)
13.06969……
(?
?
)?
?
23.2323……
(?
?
)
问：你们是怎么比的？
小结：当两个循环小数不能直接比出大小的时候，可以先把循环小数展开后再比。
四、本课小结：
今天这节课上你有什么收获？还有什么疑问吗？
循环小数有趣又奇妙,更多奥秘等着我们去探索去发现。
五、拓展提升
1÷7=0.142857142857…，它的小数点后面第70位上的数字是几？三、教学过程
课
?题
《循环小数》
执教者
教学内容
上海市九年义务教育课本小学数学五年级第一学期P27
教材分析
《循环小数》是上海市小学数学新教材五年级第一学期第二单元的教学内容。本单元的主要内容是在学生学习了小数除法的基础上学习循环小数，学生在二年级已经接触过图形或者数字等“依次不断重复出现”的找规律类型问题，为学生理解“循环”概念奠定基础。学生在小数除法的学习过程中养成的意识是小数除法可以一直试商，直到余数为0，所以当学生在列竖式计算结果是循环小数的算式时会引发他们对已建构知识的冲突，让学生发现不是所有的小数除法的商的小数部分数位都是有限的，进而去探究循环小数的特点和简便表示，循环小数的循环节可以分成三种，循环节是一位，循环节是两位，循环节大于两位，通过对比可以有助于学生理解循环小数概念的本质。循环小数的学习是对学生小数分类和小数除法知识的拓展，为后面学习《积、商的近似数》作为一种解释，因为商的小数数位个数可以是无限的，所以生活中我们需要将积和商近似，也为今后中学学习更广泛的数的分类作准备。
学情分析
学生在五年级以前已经接触过图形或者数字等“依次不断重复出现”的找规律类型问题，为学生理解“循环”概念奠定基础，在生活中像这种规律的例子处处可见，所以降低了学生发现循环小数特点的难度。
五年级学生在本单元前面已经学习了小数除法的列竖式计算，但是部分学生计算上还不够熟练，并且学生形成的一个意识是小数除法可以一直试商，直到余数为0，为了打破学生这个固有的理念，教师需要让学生亲自列竖式来发现循环小数的存在。
设计思路
1.教学重点及其解决思路
本节课的教学重点是归纳循环小数特点和理解循环小数概念。
循环小数是一种无限小数，对于学生来说这个比较抽象，循环小数的存在对于学生已建构的知识系统来说是一次冲击，为了让学生发现循环小数特点，首先让学生先联系生活实际发现“循环”现象，理解循环的意义，创设问题情境，让学生感受循环小数不止在数学学科中，也存在于生活中，让学生亲自列竖式计算商是循环小数的算式，让学生更容易接受循环小数的存在。通过观察、对比、归纳，引导学生发现循环小数的规律，进而对循环小数的特点建立初步的表象，然后让学生自学课本，深入认识循环小数的概念。在练习中设计针对循环小数规律运用的练习、针对循环小数简便记法的练习和利用综合知识解决循环小数相关的具有一定挑战的问题，深化学生对循环小数的理解。
2.学习难点及其突破方法
本节课的教学难点是能理解循环小数的概念
学生在之前小数学习过程中，很少遇到无限小数，在除法算式中，也建立一种意识是所有除法竖式可以一直商到余数为0，为了让学生理解循环小数存在的合理性，设计让学生自己经历商是循环小数的计算，通过交流发现即使不一直计算下去，也能推断出余数不可能为0，而商会一直循环出现某几位数字，为了让学生更好理解循环小数的概念，首先联系生活实际，让学生体会生活中处处存在“循环”现象，进而容易大胆联想到数学中也有循环现象，再通过观察、对比、归纳建立循环小数的表象，通过自学来使头脑中建立的循环小数概念更加规范严谨，通过有针对性、有层次的练习，逐步加深对循环小数的理解。
教学目标
1.
在列除法计算中知道循环节的概念，能说出循环小数的循环节会使用简便记法表示循环小数。从生活、数学现象中去感知、感悟及理解循环和循环小数的概念。
2.通过观察、对比、归纳来探究循环小数的特点，培养学生自主学习能力、观察能力、概括归纳能力。自学和合作学习相结合，了解循环节的概念和循环小数的简便记法，培养解决问题的能力，提高观察、分析、比较、判断和概括能力。
3.在探究循环小数特点和用简便记法表示循环小数过程中，发现数学中的规律的美，渗透符号化思想，体会数学的简洁严谨。
教学重点
归纳循环小数特点和理解循环小数概念。
教学难点
理解循环小数的概念。
教学准备
课件、学习任务单。
?
教
?
学
?
过
?
程
教学环节
教师活动
学生活动
评价内容及要求
一、从生活现象中，感知“循环”
（一）创设情境：
1.
拍节奏游戏：
2.
猜图形：
??ΟΟΔΟΟΔ○ΟΔ…
???下一个图形是什么？你是怎样想出来的？
???第14个图形呢？省略号表示什么意思？第100个图形是什么呢？
（二）理解“循环”
1.从这题中你发现了什么规律？
（适时板书：重复出现
?不断
?依次）
2.像这样依次不断重复出现的现象，我们把它称之为“循环”（板书）
在实际生活中，也有许多循环的现象，如一年有春、夏、秋、冬四季，每年都是按照这样的规律依次不断重复出现，你们发现生活中还有哪些循环的现象呢？
3.这样的循环现象不仅出现在生活中，在我们的数学中也有这种有趣的循环现象。
?
?
?
?
跟着节奏继续往下说
找规律
思考交流并回答
?
?
?
学习兴趣：积极参与游戏，发现数学的乐趣。
学习习惯：
认真倾听、积极表达。
学业成果：
能够体会“循环”的规律，能够利用已经学习的知识推算。
?
【设计意图】通过游戏，体验规律性现象，激发学生学习兴趣，通过猜图形，初步感知“循环”、“无限”概念，通过举生活中这种“循环”规律的例子，充分感知并理解“循环”、“无限”概念，体会数学和生活的密切联系。
二、从数学现象中，感悟“循环”
?
1.
发现“循环”现象
??毛毛虫、乌龟和蜗牛进行赛跑，比一比谁的速度快。
毛毛虫15分钟爬12米
乌龟6分钟爬70米。
蜗牛11分钟爬7.4米。
（1）列式
（2）计算
（3）发现问题：计算中出现什么现象？
在计算时为什么不除下去了？
(4)找规律
余数总是不断重复出现
商的小数部分总是重复出现
继续除下去，永远除不完
2.揭示课题
怎么表示这种“永远也除不完”的商吗？这样的商有什么特点呢？就是这节课我们要研究的问题，也就是这节课我们要认识的新朋友——循环小数（板书）
3.
学习循环小数的一些概念
（1）自学课本P27页
??讨论题：
?①
什么是循环小数？你觉得重点词语有哪些？
?②
什么是循环节？
请举例说明。
?③
怎样简便写出循环小数？请举例说明。
（2）
补充循环小数的读法
?
?
?
?
1.根据问题列算式
2.分组列竖式计算
3.交流自己发现的问题
4.交流发现的规律
?
写循环小数
?
?
?
?
?
?
1.自学课本循环小数相关概念
2.交流自己的收获
?
?
学习兴趣：
能积极举手
?
学习习惯：
能认真倾听
正确表达
书写端正规范，
计算细心。
?
学业成果：
能列式正确计算。
能够发现循环小数的特点。
