广东省东莞四中2020-2021学年高一上学期10月考试数学试题 Word版含答案解析

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2020-2021学年上学期东莞四中高一数学10月考试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共40分)
1．(本题5分)已知集合，则集合A中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(本题5分)已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
3．(本题5分)已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．(本题5分)设，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．(本题5分)若，则下列不等式正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．(本题5分)若不等式对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．(本题5分)若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
8．(本题5分)已知则关于a的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(共（共20分)
9．(本题5分)在下列结论中，正确的有（ ）
A．是的必要不充分条件
B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
C．若，则“”是“a，b全不为0”的充要条件
D．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件
E.一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件
10．(本题5分)下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
11．(本题5分)对于实数，下列说法正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．(本题5分)关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象过原点 B．是奇函数
C．在区间(1，＋∞)上单调递增 D．是定义域上的增函数
三、填空题(共（共20分）
13．(本题5分)函数若f(x)＝12，则x＝_____________.
14．(本题5分)已知，，，则的最小值为_____．
15．(本题5分)“且”是“且”的______条件．
16．(本题5分)已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________．
四、解答题(共（共70分）
17．(本题10分)设全集为，集合，.
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合.
18．(本题12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1.
(1)求f(3)＋f(－1)；
(2)求f(x)的解析式.
19．(本题12分)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；
已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．
20．(本题12分)已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.
21．(本题12分)已知函数，不等式的解集是.
（1）求的解析式；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.
22．已知函数是奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并加以证明．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据满足的不等式列举出的可能值，然后用列举法写出集合，即可得到集合中元素的个数.
【详解】
因为，所以可取，
所以，所以集合中元素的个数为.
故选：C.
【点睛】
本题考查用列举法求集合中元素的个数，难度较易.
2．D
【解析】
由题意得，
∴ 的子集个数为。选D。
3．D
【解析】
【分析】
先解不等式得集合，再根据集合交集运算即可得答案.
【详解】
解：解不等式得，故集合，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算和分式不等式的解法，是基础题.
4．A
【解析】
【分析】
当时，是成立，当成立时，不一定成立，根据必要不充分条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，当时，是成立，当成立时，不一定成立，所以是的必要不充分条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了必要不充分条件的判定问题，其中解答中熟记必要不充分条件的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
结合不等式的性质，对四个选项逐个分析，即可选出答案.
【详解】
对于A，取，此时，不满足，即A不正确；
对于B，由，而，所以，即，故B正确；
对于C，取，则，即C不正确；
对于D，取，则，此时，即D不正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
当时，不等式恒成立；当时，根据二次函数的图象列式可解得结果.
【详解】
当时，不等式化为恒成立；
当时，一元二次不等式对于一切实数x都恒成立，等价于，解得，
综上可得实数a的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
7．B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：设=t,则,从而的值域就是函数的值域，由“勾函数”的图象可知，，故选B．
考点：函数的值域．
8．B
【解析】
【分析】
分析函数单调递增，解不等式等价于解：，即可得解.
【详解】
由题：，
当时，，且单调递增；
当时，，且单调递增，所以在单调递增，解不等式等价于解：，
解得：.
故选：B
【点睛】
此题考查根据函数单调性求解不等式，关键在于准确识别函数的单调性，此题易错点在于漏掉考虑函数定义域，导致增根.
9．AD
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
对于选项A，由得，但是适合，推出，故A正确；
对于选项B，在中，为直角三角形，但为直角三角形或或，故B错误；
对于选项C，由全不为0，由a，b全不为，故C错误；对于选项D，由不全为0，反之，由a，b不全为，故D正确；
对于选项E，结论“四边形是菱形”推不出条件“四边形是正方形”，因此必要条件不成立.故选：AD.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，解题时必须判断两个命题的真假，即充分性与必要性的判断．
10．AC
【解析】
【分析】
根据同一函数的定义:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全相同,这两个函数是同一函数.对四个选项逐一判断即可.
【详解】
选项A:两个函数的定义域相同,并且对应关系完全相同,因此函数是同一函数；
选项B虽然的定义域都是非正实数集,但是的值域是非负实数集, 的值域为非正实数集,故两个函数的对应关系不一样,所以这两个函数不是同一函数；
选项C:两个函数的定义域为不等于1的实数集,对应关系一样,故两个函数是同一函数；
选项D:两个函数的定义域都是实数集, 但是的值域是实数集, 的值域为非负实数集,故两个函数的对应关系不一样,所以这两个函数不是同一函数；
故选AC
【点睛】
本题考查了同一函数的判断,考查了求函数的定义域和值域,属于基础题.
11．ABC
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质对各项依次进行判断，即可选出正确答案.
【详解】
A.在三边同时除以得，故A正确；
B.由及得，故B正确；
C.由知且，则，故C正确；
D.若，则，，
，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了不等关系与不等式、不等式的性质，属于基础题.
12．AC
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性定义、单调性定义以及计算函数值进行判断选择.
【详解】
,所以A正确，
，因此不是奇函数，B错误，
在区间(1，＋∞)和上单调递增，所以C正确，D错误，
故选：AC
【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.
13．2或-2
【解析】
【分析】
分别讨论，当时，；当时，．由此能求出结果．
【详解】
，，
当时，，解得或（舍；
当时，，解得或（舍．
或．
故答案为：或2．
【点睛】
本题主要考查了函数值的求法，属于容易题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
14．4
【解析】
【分析】
首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 代入已知条件，转化为解不等式求最值．
【详解】
∵2xy＝x·(2y)≤2，
∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.
【点睛】
此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值、最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．
15．充要
【解析】
【分析】
根据两个正数的和与积仍是正数可得充分条件,根据两个数的和与积都是正数可得这两个数都是正数,说明是必要条件,所以“且”是“且”的充要条件.
【详解】
因为“且”可以推出“且”,所以“且”是“且”的充分条件,
因为且时, 且,所以“且”是“且”的充要条件.
故答案为:充要条件.
【点睛】
本题考查了充要条件,关键是看由谁能够推出谁,由谁不能推出谁.属于基础题.
16．
【解析】
函数是定义在上的奇函数，当时，当时，则，，故答案为.
17．（1），（?RB）∪A=（2）{a|2≤a≤8}
【解析】
试题分析：（1）由两集合的相同元素构成两集合的交集，两集合所有的元素构成两集合的并集，由补集的概念知,的补集为全集中不在集合的元素构成的集合,可先求补集再求并集；（2）由,根据数轴,数形结合可得的边界与的边界值的大小关系，得到关于的不等式，解得的范围.
试题解析：（1）
（2）由题意集合，∴，∴，∴.
考点：1.集合间的基本关系；2.集合间的基本运算.
18．(1) 6(2)f(x)＝
【解析】
试题分析：（1）可以直接求，利用为奇函数，求得，所以只需要求出就可以了，再求出；（2）由于已知的解析式，所以只需要求出时的解析式即可，由奇函数的性质求出解析式。
试题解析：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(3)＋f(－1)＝f(3)－f(1)＝23－1－2＋1＝6.
(2)设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝2－x－1，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，
∴f(x)＝
19．当时，y的最小值为7． ，时，xy的最大值为6．
【解析】
【分析】
直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．
直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．
【详解】
已知，
则：，
故：，
当且仅当：，
解得：，
即：当时，y的最小值为7．
已知，，，
则：，
解得：，
即：，
解得：，时，xy的最大值为6．
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入，解二次不等式的解集即可；
（2）令即可；
【详解】
解：（1）当时，，，故解集为；
（2）由题知，解得.
【点睛】
本题考查二次不等式的解法及二次不等式的恒成立问题，较简单.一般地，二次不等式恒成立时，利用求解.
21．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可得为方程的解，根据根与系数关系，即可求解；
（2）不等式恒成立，只需，根据二次函数的性质，求出即可.
【详解】
（1）由不等式的解集是知，
2和3是方程的两个根.
由根与系数的关系，得，即.
所以.
（2）不等式对于任意恒成立，
即对于任意恒成立.
由于的对称轴是，
当时，取最大值，，
所以只需，即.解得或.
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查函数的解析式，注意二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三个“二次”之间的关系，考查不等式恒成立问题，属于中档题.
22．（1），；（2）上为增函数，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数有可得，再由可得；
（2）根据函数单调性定义法证明即可.
【详解】
（1）∵是奇函数，
∴．
即，
比较得，.
又，
∴，
解得，
即实数和的值分别是2和0.
（2）函数在上为增函数．
证明如下：由（1）知，
设，
则，
，，，
∴，
∴，
即函数在上为增函数．
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的应用，函数单调性的定义法证明，属于
第12*2-1 1223页 共12*2 1224页 ◎ 第12*2 1224页 共12*2 1224页
第1*2-1 11页 共12*2 1224页 ◎ 第1*2 12页 共12*2 1224页
答案第1 11页，总2 22页