上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷 Word版含答案

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2020-20201学年上海市位育中学高二上数学10月月考卷2020.10
一. 填空题
1. 计算：
2. 三阶行列式false的元素4的代数余子式为
3. 已知点false，false，则向量的单位向量为
4. 若线性方程组的增广矩阵为false，解为false，则false
5. 若false为正方形，false为false的中点，且，，则可以用和表示为
6. 若行列式false，则false
7. 计算：false
8. 设，，若与的夹角为钝角，则false的取值范围是
9. 在△false中，若，则△false的形状为
10. 在△false中，，向量的终点false在△false的内部（不含边界），则实数false的取值范围
是
11. 已知平行四边形false，false，false，false为锐角，且false，点false是边false上一定点，点false是边false上一动点，若恒成立，则
12. 设false是△false的垂心，且，则false
二. 选择题
13. 已知直线false的方程为false，则false的法向量可以是（ ）
A. false B. false C. false D. false
14. 已知，，且向量在向量方向上的投影是false，则（ ）
A. false，false B. false，false
C. false，false取任意实数 D. false，false取任意实数
15. 已知向量，，对任意的false，恒有，则（ ）
A. B. C. D.
16. 对于非零向量、，定义运算“#”：，其中false为、的夹角，有两两不共线的三个向量、、，下列结论：①若，则；②；③若，则∥；④；⑤；其中正确的个数有（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三. 解答题
17. 已知false为原点，，，与垂直，与平行，求的坐标.
18. 用行列式的方法解关于false、false的方程组false，并对解的情况进行讨论.
19. 已知， ，，，求与的夹角.
20. 在△false中，已知false，false.
（1）若点false的坐标为false，直线false∥false，直线false交false边于false，交false边于false，且△false与△false的面积
之比为false，求直线false的点方向式方程；
（2）若false是一个动点，且△false的面积为2，试求false关于false的函数关系式.
21. 已知△false中，过重心false的直线交边false于false，交边false于false，设△false的面积为false，△false的面积为false，，.（1）求；（2）求证：false；（3）求false的取值范围.
2020-20201学年上海市位育中学高二上数学10月月考卷参考答案
一. 填空题
1. 2. false 3. false或false 4. false 5. 6. false
7. false 8. false 9. 等腰三角形 10. false 11. 1 12. false
二. 选择题
13. D 14. C 15. C 16. C
三. 解答题
17. .
解：由题, 设为,则,所以
因为与垂直,则,即①,
又因为与平行,则②, 由①②可得,,,所以的坐标为
18. 当false时，方程有无数组解；当false时，方程组无解；
当false且false时，方程组有唯一解false.
解：系数矩阵对应的行列式，
当，即且时，方程组有唯一的解，
，．
，即或时．
当时，原方程为无数组解，
当时，原方程组为无解．
19. false.
解：因为，
所以，因为，所以，
所以，
因为，所以.
20.（1）false；（2）false或false.
解：（1），即，，且，
，设点的坐标为，，，
，解得，.
直线的斜率为，，则直线的斜率为.
因此，直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，即，，
设点到直线的距离为，则的面积为，
得，另一方面，由点到直线的距离公式得，
，解得或.
因此，关于的函数关系式为或.
21.（1）false；（2）证明见解析；（3）false.
解：（1）证明：∵G是△ABC的重心，延长AG，交BC于点D，∴D是BC的中点，且GD＝AG；
以向量、为邻边作平行四边形BGCE，如图所示；则+＝＝2；
又＝，＝，且＝2，∴＝，＝﹣2；
∴++＝﹣2+2＝．
（2）证明：取特殊直线PQ，使其过重心G且平行于边BC，∵点G为重心 ∴＝2
∵，， ∴p＝2，q＝2 ∴＝1即false
（3）设＝，＝，连接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点．
于是＝（+）＝（+），＝（+）, 又由已知＝λ＝λ，＝μ＝μ．
∴＝﹣＝μ﹣λ，＝+＝（+）﹣λ＝（﹣λ）+，
因为P、G、Q三点共线，则存在实数t，满足＝t，所以（﹣λ）+＝tμ﹣tλ，
即：﹣λ＝﹣tλ，且tμ＝，消去参数t得：+＝3，
由于△APQ与△ABC有公共角，则＝＝λμ，
由题设有0＜λ≤1，0＜μ≤1，于是≥1，≥1，∵＝3﹣≤2，∴1≤≤2，
∵+＝3，∴μ＝，∴＝λμ＝＝＝，∵1≤≤2，∴当＝，有最小值，当＝1或2时，有最大值，∴的取值范围为.