几类不同增长的函数模型评测练习
1．某工厂10年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度越来越慢 ③第五年后，这种产品停止生产 ④第五年后，这种产品的产量保持不变
A．②③
B．②④
C．①③
D．①④
2．某地区植被被破坏后，土地沙漠化越来越严重，据测，最近三年该地区的沙漠增加面积分别为0.2公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，若沙漠增长面积y万公顷是关于年数x的函数关系，则此关系用下列哪个函数模拟比较好( )
A．y＝
B．y＝(x2＋2x)
C．y＝·2x
D．y＝0.2＋log16x
3．某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，若原来绿色植被的面积为1，那么，经过x年，绿色植被面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象为( )
4.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2012年的湖水量为m,从2012年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A.y=0.
B.y=(1-0.)m
C.y=0.m
D.y=(1-0.150x)m
5．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时面积最大，此时x＝___，面积S＝__.
6.某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是 .
7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
8．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系．
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？(共18张PPT)
1.利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函
数及幂函数的增长差异;
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义;
3.体会数学在实际问题中的应用价值.
重点：将实际问题转化为函数模型．
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．
有人说，一张普通的纸对折30次后，厚度将会超过珠穆朗玛峰的高度，你信吗？（纸厚度以0.01毫米计算，珠穆朗玛峰高度8844米）
例题：
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
比前一天
多
回
报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前
一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
探究1
：假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一、每天回报40元；
方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
分析：
2.如何建立日回报量与天数的函数模型？
1.依据什么标准来选取投资方案？
3.三个函数模型的增减性如何？
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元；
y=40
(x∈N
)
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回
报10元；
y=10x
(x∈N
)
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
y=0.4×2x-1
(x∈N
)
（4）观察课本96页日回报表3-4和图象3.2-1，可以得到什么结论？
x/天
方案一
方案二
方案三
y/元
增长量/元
y/元
增长量/元
y/元
增长量/元
1
40
10
0.4
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.4
3.2
6
40
0
60
10
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
12.8
8
40
0
80
10
51.2
25.6
9
40
0
90
10
102.4
51.2
…
…
…
…
…
…
…
30
40
0
300
10
214748364.8
107374182.4
三种方案的日回报量和增长情况：
“指数爆炸”式增长!
x
y
20
40
60
80
100
120
140
4
2
6
8
10
12
三个函数的图象
3
5
7
9
1
11
底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。
从每天的回报量来看：
第1~4天，方案一最多：
每5~8天，方案二最多：
第9天以后，方案三最多；
有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？
累积回报表
天数
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
816.8
结论
投资1~6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
审题
读懂问题
抽象概括
建模
演算
推理
解模
还原说明
还原
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x
(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
探究二：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随着销售利润x
(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
（1）本题涉及了哪几类函数模型？
(2)函数定义域是什么？
销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元，所以销售利润x可用不等式表示为____________.
10≤x≤1000
一次函数，对数型函数，指数函数
【解析】
（3）你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?
①依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，所以奖金y可用不等式表示为__________.
②依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，
所以奖金y可用不等式表示为______________.
0≤y≤5
0≤y≤25%x
通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？
200
400
600
800
1000
2
3
4
5
6
7
8
1
0
作
在区间
的图象如下：
y
x
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
-1
根据图象观察,
的图象在区间[10,1000]内的确在x轴的下方.
这说明,按模型
奖励,奖金不会超过
利润的25%.
综上所述，模型
确实能符合公司要求。
课中导学：
按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？
小结:
1.几种常见函数模型：
2.求解数学应用问题的一般步骤：
作业
：
学案：课后作业高一数学学案
编写人：
审核人：班级：
小组：
姓名：
学号：
使用时间：2015.10.19
高一数学学案
编写人：高国英
审核人：
班级：
小组：
姓名：
学号：
3.2.1几类不同增长的函数模型
【学习目标】
1.利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函数及幂函数的增长差异;
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义;
3.体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣.
【学习重点、难点】
认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．应用数学模型分析解决实际问题．
【知识链接】
（1）初中阶段学过的函数有哪些？（2）高中阶段学过的函数有哪些？
【课堂探究与典型例题】
创设情境：有人说，一张普通的纸对折30次后，厚度将会超过珠穆朗玛峰的高度，你信吗？（纸厚度以0.01毫米计算，珠穆朗玛峰高度8844米）
探究一：
例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
(1)依据什么标准来选取投资方案？
(2)如何建立日回报量与天数的函数模型？
设第x天所得回报是y元，则
方案一：
方案二：
方案三：
（3）三个函数模型的增减性如何？
（4）观察课本96页日回报表3-4和图象3.2-1，可以得到什么结论？
（5）观察课本97页累计回报表，可以得到什么结论？
（6）对三个方案应该作出如何选择？
应用数学模型分析解决实际问题的步骤：
(1)
：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；
(2)
：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)
：求解数学模型，得出数学结论；
(4)
：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
变式训练
三个变量随的变化情况如下表：
其中呈对数型函数变化的变量
_，
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6633
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.1
6.61
6.95
7.20
7.40
呈指数型函数变化的变量是_
_
_，
呈幂函数型变化的变量是_
__.
探究二：
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
，
，
，
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
(1)本例涉及了哪几类函数模型？
（2）函数的定义域是什么？
(3)你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?
①
；②
。
（4）借助计算机或计算器作出图象如3.2-2所示，你认为哪个模型符合公司奖励方案条件的①？
（5）按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？如何判断？
（6）结合上述分析过程，写出解答过程.
总结：常见函数模型及其特点：
(1)一次函数模型：
；(2)指数函数模型：
；
(3)对数函数模型：
；(4)幂函数模型：
．
【当堂测评】
1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A.y＝100x
B.y＝log100x
C.y＝x100
D.y＝100x
2.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )
A.300只
B.400只
C.500只
D.600只
3.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成
(
)
A.
511个
B.
512个
C.
1023个
D.
1024个
4.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传染一次病毒，并感染其它20台未被感染病毒的计算机.
现在10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有
台.
5.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元。因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30
000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
(1)工厂每月生产3
000件产品时，你作为厂长，在不污染环境又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6
000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
五、课堂小结：
1.几种常见函数模型：2.解决应用问题的基本步骤：
【课后作业】
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（
）．
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数．
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（
）．
A．
B．y=2
C．
y=2
D．y=2x
3．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产，如外购，每个价格是1．10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0．60元，则决定此配件外购或自产的转折点是____件(即生产多少件以上自产合算)
4．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：①买一个茶壶赠送一个茶杯；②按总价的92%付款。某顾客需购买茶壶4个，茶杯若干个（不少于4个），若以购买茶杯数为x个,付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系式，并讨论该顾客选择哪种优惠方法更合算。
5．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.
（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎
样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
高一数学学案第3页
高一数学学案第4页
莫找借口失败，只找理由成功。
高一数学学案第1页
高一数学学案第2页
莫找借口失败，只找理由成功。
