人教版数学三上一面靠墙围出最大长方形教案

“一面靠墙围出最大长方形”课例
三（下）数学综合拓展课例
课前构思
周长和面积虽然是两个不同的数学概念,但是它们有密切的联系,学习了长方形和正方形的面积计算之后,学生往往认为长方形的周长越大面积也就越大,反之,周长越小面积也就越小。因此,我们有必要引导学生研究周长一定,围成的不同的长方形面积的大小关系,体会当周长一定时,围成的长方形长和宽相差越小,面积越大,围成正方形面积最大。为了突破围成正方形面积最大的思维定式,我们有必要引导学生研究一面靠墙的情况,从而发现要想面积最大,不是围成正方形,而是围成长是宽的两倍的长方形。同时还要引导学生发现,一面靠墙围成的面积最大的长方形是直接围成的正方形的面积的2倍。应该能够让学生在亲身探究中，体验到数学“变”与“不变”中的无穷魅力。
教学目标
1.在探究活动中,发现“当周长一定时,长和宽越接近,面积就越大,正方形的面积最大;当一面靠墙时,围成的长是宽的2倍的长方形的面积最大”的规律。
2.在探索、交流等活动过程中,尝试用枚举、列表等方法,体会有序思考,渗透数形结合的思想。
3.体会数学在生活中的应用价值,激发探索、研究数学的兴趣。
教学实录
一、复习回顾,情境引入
复习
(1)一个长方形的长为5厘米,宽为3厘米,它的周长和面积分别是多少?
周长:(5+3)×2=16(cm);面积:5×3=15(cm2)
(2)一个长方形的周长为20厘米,宽为3厘米,它的面积是多少平方厘米？
方法一:长:20÷2-3=7(cm);面积:7×3=21(cm2)
方法二:长:(20-3×2)÷2=7(cm);面积:7×3=21(cm2)
2.出示问题:两根铁丝,一根长24米,一根长28米,用这两根铁丝分别围成一个长方形,猜一猜,哪根铁丝围成的长方形面积大。
生:用28米铁丝围成的长方形面积大。(其他学生都表示同意)
师:为什么?
生:因为28米比24米长
师:你们的意思是周长大的长方形面积就大?
生:是的。
师:真的是这样的吗?
生:不一定。
师:有什么办法能验证呢?
二、探索研究,掌握方法
1.研究直接围长方形的情况。
出示:如果有一根长24米的铁丝,用它围成一个长方形(含正方形),长和宽取整米数时,面积分别是多少?
师:要知道围成的长方形的面积,一般要先知道什么呢?
生:要先算出围成的长方形的长和宽可能是多少,再算出它的面积。
师:请你们想象一下,围成的长方形的长和宽可能会是多少。
生:长11米、宽1米,长10米、宽2米,长9米、宽3米,长8米,宽4米。
米,长7米、宽5米,边长6米。
师:为什么?
生:因为周长是24米,长与宽的总长度只能是12米。如果长是1米，那么宽只能是1米。
师:请同学们算出这些长方形的面积分别是多少？
(根据学生的回答,列出下表)
铁丝长(m)
24
长(m)
11
10
9
8
7
6
宽(m）
1
2
3
4
5
6
面积(m2)
11
20
27
32
35
36
师:你有什么发现?
生1:长越来越小,宽越来越大,面积越来越大。
生2:长与宽的和都是12。
生3:长与宽的差越来越小,面积越来越大。
生4:正方形的面积最大。
师:同学们的发现是否正确呢?仅凭刚才的研究还是不够的。
出示:如果有一根长28米的铁丝,把它围成一个长方形(含正方形),长和宽取整米数时,面积分别是多少?
(学生研究,教师巡视指导,列出下表)
铁丝长(m)
28
长(m）
13
12
11
10
9
8
7
宽（m）
1
2
3
4
5
6
7
面积(m3)
13
24
33
40
45
48
49
师:结合两次的研究,我们可以得出怎样的结论呢?
生1:长与宽相差越小,面积越大。
生2:围成正方形面积最大。
师:当周长一定时,长和宽越接近,面积就越大,正方形的面积最大
（板书)那么,我们能不能简单地判断,用28米铁丝围成的长方形面积比用24米铁丝围成的长方形面积大呢?
生1:不一定,有时大,有时小。
生2:用28米铁丝围成的正方形面积就比用24米铁丝围成的正方形面积大。
师:同学们真会思考!
2.研究一面靠墙围长方形的情况.。
〔出示:如果有一根长24米的铁丝,一面靠墙围成一个长方形(含正方形),长和宽取整米数时,面积分别是多少??〕
师:请同学们先猜想一下,围成怎样的长方形面积最大。
生:围成正方形面积最大。
师:这个正方形的边长、面积分别是多少呢?
生:它的边长是24÷3=8(m),面积是64m2。
师:有不同的想法吗?
生:没有。
师:请同学们动手研究、验证。
(研究后汇报,如下表)
铁丝长（m)
24
长（m)
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
宽（m）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
面积(m)2
22
40
54
64
70
72
70
64
54
40
22
师:你们又发现了什么?
生1:面积从小变大,再从大变小。
生2:不是围成正方形面积最大。
生3:我还发现它们的周长越来越小了。
生4:我发现周长越大,面积不一定越大,周长越小,面积不一定越大，周长越小，面积不一定越小。
师:多么精彩的发现!当面积最大时,长和宽之间有什么关系呢?
生:当长是宽2倍时,可能面积最大。
师:是吗?有这样的规律吗?
生:让我们再研究一个。
出示:如果有一根长28米的铁丝,一面靠墙围成一个长方形(含正方形),长和宽取整米数时,面积分别是多少?（研究后汇报,填表如下）
铁丝长
28
长{m）
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
宽(m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
面积
26
48
66
80
90
96
98
96
90
80
66
48
26
师:通过刚才的研究,我们可以得出怎样的结论呢?
生1:当长是宽的2倍时,围成的长方形的面积最大。
生2:围成的长方形面积最大时,长与两条宽的长度是一样的。
生3:一面靠墙围与不靠墙围,得到的结论是不一样的。
3.两种情况比较(如下表)
铁丝长(m）
24
28
直接围成的长方形最大面积(m2)
36
49
一面靠墙围成的长方形最大面积(m2)
72
98
生:一面靠墙围成的长方形最大面积是直接围成的长方形最大面积的。
师:如果一根铁丝长32米,用这两种方法围成的长方形最大面积分别是多少呢?
生:直接围成的面积最大长方形的边长是8米,面积是64平方米。
面靠墙围成的面积最大长方形的长是16米,宽是8米,面积是128平方米师:用这两种方法围成的两个面积最大长方形之间还有什么联系呢?
生1:长方形的宽与正方形的边长是相等的。
生2:长方形的长是正方形的边长的2倍。
师:能不能把第一种围法改变一下,让它一面靠墙呢?
生:把原来正方形的两条边分别当作用第二种方法围成的长方形的两条宽边,另两条边合并在一起当作一条长边,让另一边靠墙。
(用课件演示,如下图)
师:通过研究,我们还发现了用两种围法得到的面积最大长方形之间的面积大小关系。
三、知识运用,解决问题
师:欧拉是著名的数学家,小时候要帮助爸爸放羊。爸爸决定建造个新的羊圈。他用尺子量出了一块长方形土地,长40米,宽15米,面积正好是600平方米,围这样一个羊圈,需要用110米长的篱笆,可他发现他的材料只够围100米。正当爸爸感到为难的时候,小欧拉对爸爸说:“我能用100米长的篱笆,围成一个比这个羊圈面积还大的羊圈。”你知道欧拉是怎样解决爸爸的这个难题的吗?
师:请你先在纸上算一算,然后和同伴交流你的意见生:欧拉把原来计划中的羊圈变成了一个边长为25米的正方形,面积是625平方米。
师:欧拉确实是用这样的方法解决了这个问题,而且还使羊圈的面积变大了。这就是我们学习数学的价值所在,学习数学可以使我们越变越聪明。
师:如果一面可以靠墙,你能围一个面积更大的长方形吗?
生:可以围一个长50米、宽25米的长方形,它的面积是1250平方米。
师:同学们真棒!
四、全课总结,课外探索
1.课堂总结:通过这节课的学习,你们有什么收获?
2.课外探索:用若干个小正方形拼成一个长方形,怎样拼得到的长方形周长最小?为什么?
课后反思
学生在探索、研究中,不断地挑战思维,不断地突破原有的认识,充分体验数学的无穷魅力,充分体验数学与生活之间的密切联系。
1.尝试用枚举、列表法解决问
用一根铁丝可以围成许多不同的长方形,用枚举与列表的方法,可以全面地思考,既不会重复,也不会遗漏,使研究的过程更科学、更合理使研究的结论更具说服力。当铁丝的长度为24米时,可以围成5种不同的长方形;当铁丝的长度为28米时,可以围成7种不同的长方形。如果围成的长方形一面靠墙,则分别得到11种与13种不同的长方形。由于得到的长方形比较多,因此,需要学生尝试用枚举与列表等方法。
2.在比较中发现数学的内在规律
用同一种方法可以围成许多不同的长方形,因此,有必要对这些长方形进行比较。比如,引导学生在比较中发现当周长一定时,长和宽越接近,它的面积就越大,正方形的面积最大。再如,同一长度的铁丝用两种方法围成几个不同的长方形,一面靠墙围成的面积最大的长方形面积是直接围成的正方形面积的2倍。充分比较更利于学生理解和掌握围一个面积最大的长方形的内在规律。
3.引入小故事让数学学习更有趣
把数学家欧拉小时候解决问题的故事引入课堂,让数学变得更有趣、更好玩了。故事中的问题既是对本节课知识的灵活运用,又是对学生的思维能力、解决问题能力的一次挑通过解决这一问题,学生既了解了些数学文化,又体验到了成功解决问题的乐趣。