【2012优化方案同步优化训练】人教B版 数学：必修3 第1章§1.3

1．有关辗转相除法下列说法正确的是(　　)
A．它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法
B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至r＜n为止
C．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝qn＋r(0≤r＜n)反复进行，直到r＝0为止
D．以上说法皆错
答案：C
2．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：(16,12)→(4,12)→(4,8)→(4,4)，由此可以看出12和16的最大公约数是(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．12
C．16 D．8
答案：A
3．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是(　　)
A．15 B．17
C．51 D．85
解析：选B.由更相减损之术可得．
4．秦九韶的算法中有几个一次式，若令v0＝an，我们可以得到(k＝1,2，…，n)．
答案：an－k
5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3.66x3＋6x4－5.2x5＋x6在x＝－1.3的值时，令v0＝a6；v1＝v0x＋a5；…；v6＝v5x＋a0时，v3的值为________．
答案：－22.445
一、选择题
1．在等值算法(“更相减损术”)的方法中，其理论依据是(　　)
A．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最小公倍数
B．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最大公约数
C．每次操作所得的两数和前两数的最小公倍数不同
D．每次操作所得的两数和前两数的最大公约数不同
答案：B
2．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为(　　)
A．运算速率快 B．能计算出π的精确值
C．“内外夹逼” D．无限次地分割
解析：选C.割圆术用正多边形面积代替圆面积的方法是内外夹逼，能得到π的不足和过剩近似值，其分割次数是有限的．
3．使用秦九韶算法求p(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0在x＝x0时的值时，做加法与乘法的次数分别为(　　)
A．n，n B．n，
C．n,2n＋1 D．2n＋1，
答案：A
4．用辗转相除法计算60与48的最大公约数时，需要做的除法次数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.∵60＝48×1＋12,48＝12×4＋0，故只需要两步计算．
5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v4的值为(　　)
A．－57 B．220
C．－845 D．3392
解析：选B.v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－7，
v2＝－7×(－4)＋6＝34，
v3＝34×(－4)＋79＝－57，
v4＝－57×(－4)－8＝220.
6．若int(x)是不超过x的最大整数(如int(4.3)＝4，int(4)＝4)，则下列程序的目的是(　　)
A．求x，y的最小公倍数 B．求x，y的最大公约数
C．求x被y整除的商 D．求y除以x的余数
答案：B
二、填空题
7．168,56,264的最大公约数为________．
解析：法一：采用更相减损之术求解．
先求168与56的最大公约数：
168－56＝112,112－56＝56，因此
168与56的最大公约数是56.
再求56与264的最大公约数：
264－56＝208，208－56＝152，
152－56＝96, 96－56＝40，
56－40＝16, 40－16＝24，
24－16＝8, 16－8＝8，
故8是56与264的最大公约数，也就是三个数的最大公约数．
法二：采用辗转相除法.
先求168与56的最大公约数，
∵168＝56×3，故168与56的最大公约数是56.
再求56与264的最大公约数，
∵264＝56×4＋40，
56＝40×1＋16，
40＝16×2＋8，
16＝8×2，
故56与264的最大公约数是8.
因此168,56,264的最大公约数是8.
答案：8
8．用秦九韶算法求f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为________．
解析：f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11.
答案：((x－3)x＋2)x－11
9．已知n次多项式Pn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an.如果在一种算法中，计算x(k＝2,3,4，…，n)的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P10(x0)的值共需要________次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)＝a0，Pk＋1(x)＝xPk(x)＋ak＋1(k＝0,1,2，…，n－1)．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要________次运算．
解析：计算 3(x0)时为P3(x0)＝a0x＋a1x＋a2x0＋a3，其中x需k－1次乘法，
∴an－k·x共需k次乘法．
上式中运算为3＋2＋1＝6次，
另外还有3次加法，共9次．
由此产生规律：当计算P10(x0)时有
P10(x0)＝a0x＋a1x＋…＋a10.
计算次数为10＋9＋8＋…＋1＋10＝＋10＝65.
第2个空中需注意
P3(x0)＝x0·P2(x0)＋a3，
P2(x0)＝x0·P1(x0)＋a2，
P1(x0)＝x0·P0(x0)＋a1.显然P0(x0)为常数不需要计算．
∴计算为每次一个乘法运算和一个加法运算，共需3×2＝6次．
由此运用不完全归纳法知
P10(x0)＝x0·P9(x0)＋a10，
P9(x0)＝x0·P8(x0)＋a9，
…，
P1(x0)＝x0·P0(x0)＋a1.
其中共有10×2＝20个运算过程．
答案：65　20
三、解答题
10．用秦九韶算法求多项式函数f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
所以v0＝7，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2369，
v6＝2369×3＋1＝7108，
v7＝7108×3＝21324，
故x＝3时，多项式函数f(x)的值为21324.
11．求两正整数m，n(m＞n)的最大公约数．写出算法、画出程序框图，并写出程序．
解：算法如下：
S1　输入两个正整数m，n(m＞n)；
S2　如果m≠n，则执行S3，否则转到S6；
S3　将m－n的差赋予r；
S4　如果r≠n，则执行S5，否则转到S6；
S5　若n＞r，则把n赋予m，把r赋予n，否则把r赋予m，重新执行S2；
S6　输出最大公约数n.
程序框图如图所示．
程序如下：
12．现有长度2.4 m和5.6 m两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计，才能保证正方体体积最大，且不浪费材料？
解：要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋裁成长度相等的钢筋条．为了保证不浪费材料，应使每一种规格的钢筋裁剪后无剩余，因此裁剪的长度应是2.4和5.6的公约数；要使正方体的体积最大，亦即棱长最长，就要使正方体的棱长为2.4和5.6的最大公约数．
用“等值算法”求得2.4和5.6的最大公约数：(2.4，5.6)→(2.4,3.2)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8)．因此将正方体的棱长设计为0.8 m时，体积最大且不浪费材料．