【2012优化方案同步课件】人教B版 数学：必修3 第1章§1.3

(共22张PPT)
§1.3　中国古代数学中的算法案例
1.3　
中国古代数学中的算法案例
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.通过阅读课本中的算法案例，体会其中蕴涵的算法思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平，并能利用它们解决具体问题．
2．对本节涉及的几种算法——等值算法、割圆术、秦九韶算法，应在理解的基础上掌握其程序及算法步骤，体会古代数学中的算法思想．
课前自主学案
1．编写算法常用的语句有输入语句、___________、赋值语句、___________、循环语句，对应着_______结构、条件结构、
______结构．
2．在两个正数的所有公约数中最大的一个公约数为它们的______________
温故夯基
输出语句
条件语句
顺序
循环
最大公约数．
1．等值算法在我国古代也称为
_________________，它是用来求两个正整数____________的算法，其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到__________________为止，则所得数就是____________________
2．割圆术是我国魏晋时期的数学家________在注《九章算术》中采用________________逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的一种方法．
知新益能
更相减损之术
最大公约数
所得的两数相等
所求的最大公约数．
刘徽
正多边形面积
3．秦九韶算法是我国南宋数学家________在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算多项式的值的方法．
思考感悟
如果多项式中按x的降幂排列时“缺项”，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么问题？
提示：所缺的项应添零补齐，即将所缺的项补上，写成系数为零．
秦九韶
课堂互动讲练
最大公约数的求法
考点突破
例1
分别用辗转相除法和等值算法求319和261的最大公约数．
【思路点拨】　使用辗转相除法可依据m＝nq＋r，反复执行，直到r＝0为止；用等值算法是根据m－n＝r，直到n＝I为止．
【解】　辗转相除法：319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)．
所以319与261的最大公约数是29.
等值算法：319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29.
即(319,261)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)．
所以319与261的最大公约数是29.
【名师点评】　可以发现辗转相除法和等值算法求得的最大公约数是相同的，但用辗转相除法的步骤较少，而等值算法运算简单、但步骤较多，在解题时应灵活运用．
求多项式的值
例2
用秦九韶算法计算f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6在x＝2时的值．
【思路点拨】　可根据秦九韶算法原理，先将所给的多项式进行改写，然后由内向外逐次计算即可．
【解】　先将f(x)化为
f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6
＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6.
v1＝1×2＋2＝4，
v2＝v1×2＋3＝11，
v3＝v2×2＋4＝26，
v4＝v3×2＋5＝57，
v5＝v4×2＋6＝120.
故多项式f(x)在x＝2时的值f(2)＝120.
【名师点评】　利用秦九韶算法计算多项式的值，关键是能否正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于下一次计算需用到上一次的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．另外，当多项式有几项不存在时，可将这几项的系数看作0.
变式训练1　求多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7当x＝5时的值．
解：f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7
＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x＋7，
v1＝2×5－5＝5，
v2＝5×5－4＝21，
v3＝21×5＋3＝108，
v4＝108×5－6＝534，
v5＝534×5＋7＝2677.
所以f(5)＝2677.
实际应用
例3
【思路点拨】　根据题意，每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求任意两个数的最大公约数，然后再求这个数与第三个数的最大公约数．
【名师点评】　将生活中的问题转化为数学模型，利用数学思想中的算法解决，较为简便．
变式训练2　有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g、343 g、133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？
解：由题意，每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求147与343的最大公约数：
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49.
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数：
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公约数是7.
∴每瓶最多装7 g.
1．用等值算法求两数最大公约数时，当大数减去小数的差恰好等于小数时停止减法，这时小数就是要求的两数的最大公约数．
2．求三个或三个以上的数的最大公约数时，可依次通过求两数的最大公约数与第三个数的最大公约数求得．
3．用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外逐层计算求得．
方法感悟
知能优化训练
本部分内容讲解结束
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