(共29张PPT)
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
2.2.2
用样本的数字特征估计总体的数字特征
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.通过随机抽样，掌握并会用样本的平均数及标准差估计总体的平均数及标准差．
2．通过用样本的数字特征估计总体的数字特征，感知总体的差异．
3．通过数字反映样本数据某个方面的特征，进而估计总体情况，体会这种统计思想，并培养认识问题、分析问题、解决问题的能力，同时也提高估算能力．
课前自主学案
1．频率分布表，频率分布直方图，频率分布折线图．
2．茎叶图．
温故夯基
知新益能
总体中所有个体的平均数叫做_____________
样本中所有个体的平均数叫做
_______________
(2)样本平均数和样本频率分布直方图的联系
①样本平均数描述了样本数据的平均水平，也就是把xi(i＝1,2，…，n)都用 代替后，数据总和保持不变，所以平均数对数据有“取齐”的作用．
②在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点．
(3)通常我们用样本平均数估计总体平均数，一般说来，样本容量越大，这种估计就越精确．
总体平均数．
样本平均数．
2．用样本标准差估计总体标准差
(1)标准差
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
其中xn是____________，n是___________，
是______________
(2)_________________ 是反映总体波动大小的特征数，通常用样本方差估计总体方差，当样本容量很大时，样本方差________总体方差．
思考感悟
你能想到哪些措施，可使用样本的数字特征估计总体的数字特征更合理？
提示：(1)改进抽样方法，使样本更具代表性.
(2)适当增加样本容量.
(3)剔除最大值、最小值，减少个别值对总体的影响．
(4)多种数字特征综合应用．
样本数据
样本个数
样本平均数．
方差和标准差
很接近
课堂互动讲练
样本平均数的计算
考点突破
一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：
178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1 cm)
例1
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①已知所有球员的具体身高；
②求球员的平均身高．
解答本题可利用平均数的公式计算；也可建立新数据，再利用平均数简化公式计算．
【名师点评】 (1)平均数公式是一个计算平均数的基本公式，在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用这个公式．
(2)当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，“法二”可以减轻运算量，故此法比较简便，常数a通常取接近这组数据(大约估计)平均数的较“整”的数，以达到简化计算过程的目的，常数a的取法并不唯一，比如本例中取a＝181也可以．
(3)当一组数据中有不少数重复出现时，可用加权平均数公式来计算平均数．
变式训练1 从一批机器零件毛坯中随机抽取20件，称得它们的质量如下(单位：kg)：
210 208 200 205 202 218 206 214 215 207
195 207 218 192 202 216 185 227 187 215
计算样本平均数(结果保留到个位)．
样本方差、标准差的计算
例2
为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表.
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
天数 151～180 181～210 211～240 241～270
灯管数 1 11 18 20
天数 271～300 301～330 331～360 361～390
灯管数 25 16 7 2
【思路点拨】 总体的平均数与标准差往往是很难求的，甚至是不可求的，通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差，只要样本的代表性好，这种做法是合理的．
【解】 (1)各组中平均值可近似取为165,195,225,255,285,315,345,375.
由此可算得平均数约为
165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．
∴估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天．
【名师点评】 (1)在刻画样本数据的分散程度时，方差与标准差是相同的，但在解决实际问题时一般用标准差；
(2)平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指标，当样本的平均数或标准差超过了规定的界限时，就可能出现质量问题．
变式训练2 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差．(标准差结果精确到0.1)
利用样本的数字特征估计总体的数字特征
甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
例3
【思路点拨】 计算出平均数与方差，然后加以比较并作出判断．
【名师点评】 在解答本题的过程中，易出现判断甲机床质量更稳定的错误，导致该种错误的原因是对方差的概念不理解．
变式训练3 某工厂人员及工资构成如下表：
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数；
(2)在这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？
人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒
周工资 2200 250 220 200 100
人数 1 6 5 10 1
合计 2200 1500 1100 2000 100
解：(1)由表格可知：众数为200元；中位数为220元；平均数为(2200＋1500＋1100＋2000＋100)÷23＝6900÷23＝300(元)．
(2)虽然平均数为300元/周，但由表格所列数据可见，只有经理的工资在平均数以上，其余的都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该工厂的工资水平．
方法感悟
1．在实际生活中，总体分布可以为合理决策、解决某些问题提供依据，而研究总体分布则往往通过研究其某个样本的分布而进行．
2．样本的数字特征主要有两方面，即平均数和方差(或标准差)，样本的平均数能反映数据的平均水平，而方差(或标准差)则反映了数据的离散程度，即各个样本数据偏离平均数周围的程度．
知能优化训练
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本章优化总结
本
章
优
化
总
结
专题探究精讲
知识体系网络
章末综合检测
知识体系网络
专题探究精讲
抽样方法的应用
本章学习了三种常用的抽样方法：简单随机抽样法、系统抽样法和分层抽样法．这几种抽样方法的共同特点是：在抽样过程中每一个个体被抽取到的可能性是一样的，体现了抽样方法的客观性和公平性．简单随机抽样法是最简单、最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样法．
一般地，当总体中个体数较多时，常采用系统抽样法，当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样法．通常实现简单随机抽样，使用抽签法或随机数表法．
下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；
(2)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座号为1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，需留下32名听众进行座谈；
例1
(3)某学校有160名教职工，其中教师为120名，行政人员16名，后勤服务人员24名，为了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.
【解】 (1)抽签法．
(2)系统抽样．将每一排40人组成一组，共32组，先在第一排用简单随机抽样方法抽取一名观众，再将其他各排与此观众座位号相同的观众全部取出.
【名师点评】 搞清三种抽样方法的适用范围．
总体分布估计的应用
总体分布反映了总体在各个范围内取值的可能性的大小，我们常常采用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，样本容量越大，这种估计也就越精确．
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民的月用水量标准，用水量不超过该标准的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，如果希望大部分居民的日常生活不受影响，并假设该市即为你所处的市，请设计一个调查方案，制定一个合理的标准用水量．
随机抽取某市100位居民某年的月用水量(单位：t)：
例2
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8
1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2
0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1
1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8
2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1
3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9
0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3
1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3
1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7
2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4
2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7
0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0
1.2 1.8 0.6 2.2
【解】 列出频率分布表如下：
绘出频率分布直方图，如下图．
作出统计结论：从上面的图
表我们可以看出，月均用水
量在区间[2,2.5)内的居民最多
，在[1.5,2)内的次之，大部分
的居民用水量都在[1,3)之间，
因此居民月用水量标准可定
为3 t.
【名师点评】 频率分布表比较确切，频率分布直方图比较直观．
总体的平均数与标准差往往通过样本的平均数、标准差来估计，一般地，样本容量越大，对总体的估计越准确．
(1)从数字特征上描述一组数据的情况．
平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差、极差和标准差描述其波动大小，也可以说方差、标准差和极差反映各个数据与其平均数的离散程度．
用样本特征数估计总体特征数
(2)方差和标准差的运用．
一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原单位相同．
有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12.5,15.5)6，[15.5,18.5)16，[18.5,21.5)18，[21.5,24.5)22，[24.5,27.5)20，[27.5,30.5)10，[30.5,33.5]8.
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图和累积频率分布图；
(3)根据累积频率分布图，估计小于30的数据约占多大百分比．
例3
【解】 (1)样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率 累积频率
[12.5,15.5) 6 0.06 0.06
[15.5,18.5) 16 0.16 0.22
[18.5,21.5) 18 0.18 0.40
[21.5,24.5) 22 0.22 0.62
[24.5,27.5) 20 0.20 0.82
[27.5,30.5) 10 0.10 0.92
[30.5,33.5] 8 0.08 1.00
合计 100 1.00
(2)频率分布直方图如图1，累积频率分布图如图2.
(3)在累积频率分布图中找到横坐标为30的点，然后量出这个点的纵坐标约为0.90，这说明小于30的数据约占90%.
【名师点评】 频率分布表列出的是各个不同区间内取值的频率，相应的直方图是用图形的面积的大小来表示各区间内取值的频率的．
分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归直线方程．利用线性回归方程对两个变量间的线性相关关系进行估计，实际上就是将非确定性的相关关系转化为确定性的函数关系进行研究．
线性回归
(2011年高考安徽卷)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
例4
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量(万吨) 236 246 257 276 286
【解】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份－2006 －4 －2 0 2 4
需求量－257 －21 －11 0 19 29
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
【名师点评】 本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力．
章末综合检测
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§2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布
2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.了解当总体的个体取不同值较多，甚至无限时，学会列频率分布表，画频率分布直方图或频率分布折线图去估计总体分布．
2．会读茎叶图并利用它估计总体分布．
3．体会用样本估计总体的优越性和必要性，培养辩证唯物主义观点，体会数学在生活中的广泛应用．
课前自主学案
收集数据的常用方式：__________、
___________、_____________________
温故夯基
做试验
查阅资料
设计调查问卷．
1．通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用__________________估计总体的分布．另一种是用_________________估计总体的数字特征．
2．在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用
__________________表示，各小长方形的面积总和__________.
知新益能
样本的频率分布
样本的数字特征
各小长方形的面积
等于1
3．连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图，随着____________的增加，作图时所分的__________不断增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映________________________________
4．当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．它不但可以_______________，而且_______________，对数据的________和
______都带来方便．
样本容量
组数
总体在各个区域内取值的规律．
保留所有信息
可以随时记录
记录
表示
思考感悟
将数据的样本进行分组的目的是什么？
提示：从样本中的一个个数字中很难直接看出样本所包含的信息，通过分组，并计算其频率，目的是通过描述样本数据分布的特征，从而估计总体的分布情况．
课堂互动讲练
考查基本概念、绘制统计图形
考点突破
美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：
例1
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率折线图；
(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．
【解】 (1)以4为组距，列表如下：
分组 频数累计 频数 频率
[41.5,45.5)
[45.5,49.5)
[49.5,53.5)
[53.5,57.5)
[57.5,61.5)
[61.5,65.5)
[65.5,69.5]
正
正
正正正
正
2
7
8
16
5
4
2 0.04550.1591
0.1818
0.3636
0.1136
0.0909
0.0455
合计 44 1.00
(2)从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在[50,60)岁之间，45岁以下及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小．
【名师点评】 在列频率分布表时，先求极差(即最大值—最小值)再分组，注意分组不能太多也不能太少，要牢固掌握列频率分布表及画频率分布直方图的步骤与方法．
变式训练1 从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，数据如下(单位：cm)：
168 165 171 167 170 165 170 152 175 174
165 170 168 169 171 166 164 155 164 158
170 155 166 158 155 160 160 164 156 162
160 170 168 164 174 171 165 179 163 172
180 174 173 159 163 172 167 160 164 169
151 168 158 168 176 155 165 165 169 162
177 158 175 165 169 151 163 166 163 167
178 165 158 170 169 159 155 163 153 155
167 163 164 158 168 167 161 162 167 168
161 165 174 156 157 166 162 161 164 166
(1)作出该样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
解：(1)在全部数据中找出最大值180和最小值151，则两者之差为29，确定全距为30，决定以组距3将区间[150.5,180.5]分成10个组．
从第一组[150.5,153.5)开始，分别统计各组中的频数，再计算各组的频率，样本的频率分布表如下：
(2)频率分布直方图如图所示．
画茎叶图
例2
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下．
甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；
乙运动员得分：
49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.
请根据数据画出茎叶图．
【思路点拨】 画茎叶图时，数字8是一位数，十位数字可以写成0.
【解】 如图所示.
【名师点评】 茎叶图保留了原始数据，所有的数据信息都可以很容易的从图中获得．
变式训练2 在某电脑杂志上的一篇文章中，每个句子的字数如下：
10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.
在某报纸的一篇文章中，每个句子中所含的字数如下：
27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.
(1)将这两组数据用茎叶图表示；
(2)将两组数据进行比较分析，能得到什么结论？
解：(1)茎叶图如图．
(2)通过比较分析可见，电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30之间，
中位数为22.5，报纸上每个
句子的字数集中在22～40之
间，中位数为27.5，由此可
得出结论：电脑杂志上每个
句子的平均字数比报纸上每
个句子的平均字数要少．
频率分布直方图的应用
为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3,0.4，第一小组的频数为5.
例3
(1)求第四小组的频率；
(2)问参加这次测试的学生人数是多少？
(3)问在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？
【解】 (1)第四小组的频率＝1－(0.1＋0.3＋0.4)＝0.2.
(2)n＝第一小组的频数÷第一小组的频率＝5÷0.1＝50.
(3)因为0.1×50＝5,0.3×50＝15,0.4×50＝20,0.2×50＝10.
即第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5,15,20,10.
所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内．
【名师点评】 解本题的关键是准确掌握频率、频数、样本容量(数据总数)之间的关系及中位数的概念．
变式训练3 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶10∶2，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？
样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)
为达标，试估计该校全体高一
学生的达标率是多少？
解：(1)第二小组的频率是10×0.008＝0.08，
样本容量是12÷0.08＝150.
(2)达标率为(0.034＋0.030＋0.020＋0.004)×10
＝0.088×10＝88%.
方法感悟
1．当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，如列频率分布表，绘制频率分布直方图以及频率分布折线图等，而当样本数据较少时，则可利用茎叶图来表示数据．
2．频率分布表表示数据的优点是在数量表示上比较确切，缺点是不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便．
3．频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势．
如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么频率分布折线图就趋向于总体分布的密度曲线．
4．用茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的数据都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况．但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．
5．一般地，样本容量越大，估计就越精确．
知能优化训练
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1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示
1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构．
2．能正确选择并运用三种逻辑结构框图表示具体问题的算法．
3．通过训练，在问题解决的过程中，弄清三种基本结构的共同特点及每种结构的各自特点．
4．遇到具体问题要认真分析，选择合适的框图来描述算法．
课前自主学案
程序框图：由一些________________构成一张图来表示算法．
温故夯基
通用图形符号
1．顺序结构描述的是最简单的算法结构，_____________之间，____________之间按____________的顺序进行，它由若干个依次执行的处理步骤组成，它也是任何一个算法都离不开的一种算法结构．
2．条件分支结构是指依据___________选择执行不同指令的控制结构．
注意：条件分支结构的语句与语句之间，框与框之间必须有一个环节是概括条件进行判断的操作．
知新益能
语句与语句
框与框
从上到下
指定条件
思考感悟
1．条件分支结构中的判断框有两个出口，由此说明条件分支结构执行的结果，也就有两种可能，对吗？
提示：不对，判断框虽然有两个出口，但根据条件是否成立，选择的出口是确定的，故执行结果也是唯一的．
3．循环结构是指根据指定条件决定是否重复执行___________________的控制结构称为循环结构．即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过程．
思考感悟
2．循环结构一定包含条件分支结构吗？
提示：在循环结构中需要判断是否继续循环，因此，循环结构一定包含条件分支结构．
一条或多条指令
课堂互动讲练
顺序结构的程序框图
考点突破
已知由梯形两底a，b和高h，设计一个求梯形面积的算法，并画出框图．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①已知梯形两底a，b及高h；②设计求梯形面积的算法；③画出框图．解答本题可先根据题意确定算法步骤，并结合其算法类型选择顺序结构．
例1
变式训练1 用尺规作图，确定线段AB的一个5等分点，写出解决这一问题的程序框图．
解：程序框图如图所示：
条件分支结构的程序框图
例2
【思路点拨】 该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数表达式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求对应的函数值．因为解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断．
【解】 算法如下：
S1 输入x.
S2 如果x＞0，则使y＝－x＋1，并转到S4；否则执行S3.
S3 如果x＝0，则使y＝0；否则y＝x＋3.
S4 输出y.
程序框图如图：
【名师点评】 求分段函数的函数值的程序框图的画法：如果是分两段的函数，只需引入一个判断框，如果分三段，则引入两个判断框，以此类推．
变式训练2 某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出一人加收1.2元．设计一个算法，根据住户的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图．
用循环结构程序框图解决累加、累乘问题
例3
画出计算12＋22＋32＋…＋992＋1002的值的程序框图．
【思路点拨】 本题需一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值设为0，计数变量的值可以从1～100，因此可用循环结构描述算法．
【解】 如图所示．
【名师点评】 本题是典型
的累加问题，设计的关键是
把握好循环结构的三要素，
注意判断框内的条件．
变式训练3 试画出计算13×23×33×…×1003的算
法的一个框图．
解：算法的框图如图所示：
确定循环变量的最值的框图
写出一个求1×3×5×7×…×i＞5000的最小正整数i的算法，并画出相应的程序框图．
【思路点拨】 本题应选择循环结构．
例4
【解】 算法如下：
S1 S＝1；
S2 i＝3；
S3 如果S≤5000，那么
S＝S×i，i＝i＋2，重复
S3，否则，执行S4；
S4 i＝i－2；
S5 输出i.
程序框图如图所示．
【名师点评】 对具有规
律性的重复计算，常用循
环结构．
实际应用
获得学习优良奖的条件如下：
(1)所考五门课成绩总分不低于450分；
(2)前三门(主课)每门成绩都在95分及其以上，其他两门(非主课)每门成绩在88分及其以上．
输入一名学生的五门课的成绩，问他是否符合优良条件，设计算法，并画出这一算法的程序框图．
例5
【思路点拨】 上述两个条件必须同时成立，这个学生才符合获得学习优良奖的条件．因此我们对每一个条件都进行判断．
【解】 设这名学生的五门课成绩分别为a，b，c，d，e，设计算法如下：
S1 输入学生五门课的成绩a，b，c，d，e；
S2 计算学生的总成绩S＝a＋b＋c＋d＋e；
S3 若S≥450，则执行S4，否则执行S10；
S4 若a≥95，则执行S5，否则执行S10；
S5 若b≥95，则执行S6，否则执行S10；
S6 若c≥95，则执行S7，否则执行S10；
S7 若d≥88，则执行S8，否则执行S10；
S8 若e≥88，则执行S9，否则执行S10；
S9 输出“该学生获得学
习优良奖”；
S10 输出“该学生没获
得学习优良奖”．
根据上述算法，其程序框
图如图所示：
【名师点评】 本例是条件分支结构的实际应用，解题的关键是找出所有的判断条件．
变式训练4 某高中男子体育小组的50 m成绩(单位：s)如下：6.4，6.5，7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5，设计一个算法，从这些成绩中搜索小于6.8 s的成绩，并画出程序框图．
解：算法步骤如下：
S1 i＝1；
S2 输入一个数据a；
S3 如果a＜6.8，则输出a，
否则不输出，执行S4；
S4 i＝i＋1；
S5 如果i≤9，则执行S2；
否则结束算法．
程序框图如图所示．
1．程序框图包括顺序结构、条件分支结构和循环结构三种，正确画出算法的程序框图应建立在对算法透彻分析的基础上．
2．仔细审题，在画出程序框图时首先应进行结构的选择，套用公式，若求只含有一个关系式的解析式的函数值时，只用顺序结构就能解决；若是分段函数或被执行时需先判断后才能执行后继步骤的，就必需引入条件分支结构；
方法感悟
如果问题中涉及的运算进行了许多重复的步骤，且数之间有相同的规律，则可引入变量，应用循环结构，当然循环结构中一定用到顺序结构和条件分支结构．
3．具体绘制程序框图时，应注意以下几点：
(1)流程线上要有标志执行顺序的箭头；
(2)判断框后边的流程线应根据情况标注“是”或“否”；
(3)框图内的内容包括累计变量初始值、代数变量初始值、累加值，前后两个变量的差值都要仔细斟酌，不可有丝毫差错；
(4)判断框内内容的填写，有时大于等于，有时大于，有时小于，有时小于等于．它们的含义各不相同，应根据所选循环的类型，正确进行选择．
知能优化训练
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第3章 概 率
课标领航
本章概述
概率是近几年来高中数学新增内容之一，也是近几年高考中热点之一，通过学生熟知的现实例子，能更好激发学生的学习数学的兴趣，也是进一步培养学生学习数学用数学来解决实际问题的能力和创新意识的好素材．
本章内容主要包括事件与概率，古典概型，随机数的含义与应用和概率的应用．
本章重点是随机事件与概率的意义，正确理解随机事件的不确定性及频率的稳定性，理解古典概型的特点是试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，通过实例理解古典概型及其概率的计算公式．了解两个互斥事件的概率加法公式．掌握几何概型，理解从有限到无限的延伸．本章难点是用模拟方法估计概率及了解几何概型的意义.
学法指导
1.本章的知识比较抽象，学习过程中要注意从具体实例和具体情境出发，领会概率形成的背景，逐步由感性认识提高到理性认识，这样有助于知识的理解与掌握．
2．正确理解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性．
3．要学会把一些实际问题转化为古典概型，养成运用计算器和计算机帮助处理数据、进行模拟活动的良好习惯，从而更好地体会统计思想的意义．
4．在学习过程中，要重视教材的基础作用，重视学习的过程，重视基本数学思想、数学方法的形成和发展，注意培养分析问题和解决问题的能力.
§3.1 事件与概率
3.1.1 随机现象
3.1.2 事件与基本事件空间
3.1.2
事
件
与
基
本
事
件
空
间
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.了解随机现象的意义，会联系自身生活和学习经历举出随机现象的例子．
2．了解随机事件、基本事件、基本事件空间的定义，知道它们的联系与区别．
3．通过实例体验随机事件发生的不确定性，能区别随机事件、必然事件与不可能事件．
4．在实际问题中，能正确求出某次试验的基本事件空间中基本事件总数以及某个事件所包含的基本事件个数．
课前自主学案
掷一枚骰子，可以出现1,2,3,4,5,6中的任意一个数字．
温故夯基
1．现象
(1)必然现象
在一定条件下____________________的现象．
(2)随机现象
在相同的条件下__________________，每次观察到的结果______________，事先很难预料哪一种结果会出现的现象．
知新益能
必然发生某种结果
多次观察同一现象
不一定相同
思考感悟
1．连续两周，每周五都下雨，于是有人断言，本周五也下雨，你觉得他说的对吗？这种现象是随机现象还是必然现象？
提示：不对．本周五下雨是一种随机现象．
(3)试验
观察随机现象或为了______________而进行的实验统称为试验；观察的结果或实验的结果称为试验的结果．
2．不可能事件、必然事件、随机事件
(1)不可能事件
在____________下重复进行试验，
________________的结果．
(2)必然事件
在每次试验中__________的结果．
某种目的
同样条件
始终不会发生
一定发生
(3)随机事件(简称事件)
在试验中___________，_______________的结果．通常用大写字母A，B，C，…来表示随机事件．
思考感悟
2．随机事件概念中的“同样的条件下”能否去掉？
提示：不能．因为事件是试验的结果，而在不同条件下试验的结果往往是不一样的，如常温下水是液态的，能流动，加上条件：在零下10 ℃，就是不可能事件，在零上5 ℃，就是必然事件．
可能发生
也可能不发生
3．基本事件、基本事件空间
(1)基本事件
试验中不能________的_________的且其他事件可以用_____________的随机事件称为基本事件．
(2)基本事件空间
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间．通常用大写希腊字母Ω表示．
再分
最简单
它们来描绘
课堂互动讲练
判断现象的类型
考点突破
判断下列现象是必然现象还是随机现象：
(1)掷一枚质地均匀的硬币的结果；
(2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色；
(3)在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出3个检验的结果；
(4)三角形的内角和为180°.
例1
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①给出四种现象；②判断它们是哪种现象．
解答本题可先看给定条件下结果是否发生，若结果无法确定，则此类现象为随机现象，若结果一定发生，则为必然现象．
【解】 (1)掷一枚质地均匀的硬币其结果有可能出现正面，也有可能出现反面，不能确定，因此是随机现象．
(2)行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有可能是绿色，故是随机现象．
(3)抽出的3个产品中有可能全部是正品，也有可能是两个正品一个次品，还有可能一个正品两个次品，故此现象为随机现象．
(4)三角形的内角和一定是180°，是确定的，故是必然现象．
【名师点评】 判断是必然现象还是随机现象关键是看给定条件下的结果是否发生，若一定发生则其为必然现象；若不确定则为随机现象．
变式训练1 判断以下现象是随机现象还是必然现象．
(1)一不透明的袋中装有10个外形完全相同的白球，搅匀后从中任取一球为白球；
(2)一不透明的袋中装有4白、3黑、3红大小形状完全相同的球，搅匀后从中任取一球为白球．
解：(1)因为袋子中装有10个球是完全相同的，任意取出一个，肯定是白球，所以是必然现象；
(2)因为袋子中的10个球虽然形状相同，但颜色不相同，取出的球有可能是白球，有可能是黑球，也有可能是红球，所以取出一球为白球是随机现象．
试验与试验结果
例2
下列随机事件中，一次试验是指什么，它们各有几次试验？
(1)一天中，从北京开往上海的7列火车，全部正点到达；
(2)抛10次质地均匀的硬币，硬币落地时有5次正面向上．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①给出两个随机事件；②判断这两个随机事件的试验的内容和次数．解答本题可先看这两个事件的条件是什么，然后再确定它们各有几次试验．
【解】 (1)一列火车开出，就是一次试验，共有7次试验．
(2)抛一次硬币，就是一次试验，共有10次试验．
【名师点评】 对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验．每次试验的条件和结果都是独立的，结果可能不相同．
变式训练2 试判断下列试验的结果：
(1)先后掷两枚质地均匀的硬币的结果；
(2)某人射击一次命中的环数；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取两个元素构成的A的子集．
解：(1)结果：正面，正面；正面，反面；反面，正面；反面，反面．
(2)结果：0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环．
(3)结果：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．
随机事件、不可能事件、必然事件的判断
指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
(1)在标准大气压下，水在温度达到90 ℃时沸腾；
(2)直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)；
(3)某一天内电话收到的呼叫次数为0；
(4)一个不透明的袋内装有形状大小都相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球．
例3
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①给出四个事件；②判断这四个事件的类型．解答本题可先判断在给定条件下，结果是否一定发生，然后再确定其事件类型．
【解】 根据“在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件”，可知(3)、(4)为随机事件．根据“在一定条件下肯定不会发生的事件叫不可能事件，一定条件下必然会发生的事件叫必然事件”可知，(2)为必然事件，(1)为不可能事件．
【名师点评】 准确掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题的关键，应用时要特别注意，看清条件，在给定条件下判断是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，来确定属于哪一类事件．
变式训练3 试判断下列事件是随机事件、必然事件，还是不可能事件．
(1)我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭；
(2)若x为实数，则x2≥0；
(3)某出租车司机驾车通过10个交通路口都将遇到绿灯；
(4)一个电影院某天的上座率超过50%；
(5)抛一石块，下落；
(6)一个正六面体的六个面分别写上数字1,2,3,4,5,6，将此正六面体抛掷两次，朝上面的数字之和大于12.
解：由题意知(2)、(5)是必然事件；(6)是不可能事件；(1)、(3)、(4)是随机事件．
连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
【思路点拨】 可用列举法表示基本事件及基本事件空间．
基本事件与基本事件空间
例4
【解】 (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．
(2)基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
【名师点评】 在列举基本事件时，不要把(正，正，反)和(反，正，正)看成一种．
变式训练4 从A、B、C、D、E、F六名学生中选出2人参加数学竞赛．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出事件“A没被选中”所包含的基本事件．
解：(1)这个试验的基本事件空间是：Ω＝{(A、B)，(A、C)，(A、D)，(A、E)，(A、F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}．
(2)从6名学生中选出2人，共有15种可能情况，这个试验的基本事件共有15个．
(3)“A没被选中”包含下列10个基本事件：
(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)．
1．判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件时，必须是在同样条件下重复进行试验，能确定试验结果的则是必然事件或不可能事件，可能发生，也可能不发生的事件才是随机事件，叙述随机事件一定要语言精确．
2．基本事件是试验中最简单的不可再分的事件，其他事件均可用基本事件来描述．
3．找一个试验的基本事件空间时，若基本事件总数较少，则可用列举法，但应做到不重、不漏；若较多，则可考虑借用图表帮助解决．
方法感悟
知能优化训练
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2.1.2 系统抽样
2.1.2
系
统
抽
样
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.理解系统抽样的概念．
2．会用系统抽样从总体中抽取样本．
3．提高动手实践能力，培养分析问题和解决问题的能力，增强数学应用意识．
课前自主学案
简单随机抽样的两种抽样方法：___________、______________
温故夯基
抽签法
随机数表法．
1．系统抽样的概念
将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样．在抽样过程中，由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也称作________________
思考感悟
若总体中一共有N个个体，从中抽取n个个体，若用系统抽样，则分几组，间隔为多少？
知新益能
等距抽样．
2．系统抽样的步骤
(1)_______ (在保证编号的随机性的前提下，可以直接利用个体所带有的号码)；
(2)________ (确定分段间隔k，注意在剔除部分个体时要保证剔除的随机性和客观性)；
(3)___________________ (在第1段采用简单随机抽样来确定)；
(4)_____________________________ (通常是将l加上k，得到第2个编号l＋k，再将(l＋k)加上k，得到第3个编号l＋2k，这样继续下去，直到获取整个样本)．
编号
分段
确定起始个体编号
按照事先制定的规则抽取样本
课堂互动讲练
系统抽样的概念
考点突破
为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是( )
A．2 B．4
C．5 D．6
例1
【解析】 因为1252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体．
【答案】 A
【名师点评】 (1)用系统抽样法抽取多少个个体就应将总体均分成多少组；(2)需要剔除个体时，原则上要剔除的个体数应尽量少．
变式训练1 下列抽样中，最适宜用系统抽样的是( )
A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人作为样本
B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个作为样本
C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个作为样本
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个作为样本
解析：选C.A中各区学生有区别，不好分成均衡的几部分，不适宜；B中抽取样本容量太小，不适宜；D中总体数量较少，不适宜．
系统抽样步骤的设计
例2
某单位在岗职工共有624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查．如何采用系统抽样法完成这一抽样？
【思路点拨】 因为624的10%约为62，且624不能被62整除，为了保证“等距”分段，应先随机剔除4人．这样就能使剩余的620人按每段10人“等距”分为62段，然后按照系统抽样的操作步骤确定样本．
【解】 采用系统抽样获取样本的操作过程如下．
第一步：将624名职工按照简单随机抽样的方法进行编号(分别是000,001，…，623)；
第二步：利用抽签法或随机数表法从总体中剔除4人，将剩下的620名职工重新编号(分别是000,001,002，…，619)，并按编号平均分成62段；
第三步：在第一段000,001，…，009这十个编号中，用简单随机抽样抽取一个号码(如002)作为起始号码；
第四步：将编号为002,012,022，…，612的职工抽出，即可组成样本．
【名师点评】 研究系统抽样，首先要看总体容量能否被样本容量整除，如果不能整除，要先利用简单随机抽样剔除部分个体，然后对剔除后剩下的个体进行重新编号，并按号码顺序平均分段．
变式训练2 一个体育代表队有200名运动员，其中两名是种子选手．现从中抽取13人参加某项运动．若种子选手必须参加，请用系统抽样法给出抽样过程．
解：第一步：将198名运动员用随机方式编号，编号为001,002，…，198；
第二步：将编号按顺序每18个一段，分成11段；
第三步：在第一段001,002，…，018这十八个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如010)作为起始号码；
第四步：将编号为010,028,046，…，190的个体抽出，组成除种子选手外的代表队员．
抽样方法的应用
某工厂有工人1021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队参加某项活动，怎样抽样？
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①普通工人1001人抽取40人，总体容量和样本容量都较大．
②高级工程师20人抽取4人，总体容量和样本容量都较小．
例3
解答本题要根据高级工程师和普通工人的总体容量和样本容量的大小选用合适的抽样方法．
【解】 普通工人1001人抽取40人，适宜用系统抽样法；高级工程师20人抽取4人，适宜用抽签法．
(1)将1001名职工用随机方式编号．
(3)在第一段0001,0002，…，0025这二十五个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0003)作为起始号码．
(4)将编号为0003,0028,0053，…，0978的个体抽出．
(5)将20名高级工程师用随机方式编号，编号为01,02，…，20.
(6)将这20个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签．
(7)将得到的号签放入一个容器中，充分搅拌．
(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．
(9)从总体中将与抽号签的编号相一致的个体取出．以上两类方法得到的个体便是代表队成员．
【名师点评】 (1)当问题比较复杂时，可以考虑在一个问题中交叉使用多种方法，面对实际问题，准确合理地选择抽样方法，对初学者来说是至关重要的．
(2)选择抽样方法的规律
①当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．
②当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数表法．
③当总体容量较大，样本容量也较大时，适合用系统抽样法．
变式训练3 某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书检验其质量状况，请你设计一个抽样方案．
第四步：从第一组(编号为0,1，…，8)的书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书，比如说，其编号为k；
第五步：按顺序地抽取编号分别为下面数字的书：k，k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9.这样总共就抽取了40个样本．
方法感悟
剔除多余的个体后并不影响总体中每个个体被抽到的可能性，从而确保了抽样的公平性．
知能优化训练
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本章优化总结
本
章
优
化
总
结
专题探究精讲
知识体系网络
章末综合检测
知识体系网络
专题探究精讲
古典概型
袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求基本事件的个数，并计算下列事件的概率．
(1)三次颜色各不相同；
(2)三次颜色不全相同．
【思路点拨】 利用树形图查找基本事件的个数，既形象又直观．
例1
【名师点评】 解题关键是找准基本事件与所求事件之间的关系．
几何概型
如图，一只蜜蜂在一棱长为60 cm的正方体笼子里飞，求此刻蜜蜂距笼边不超过10 cm 的概率．
【思路点拨】 对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形．利用图形的几何量来求随机事件的概率．
例2
【名师点评】 注意几何概型与古典概型之间的区别．
数学特别是概率正越来越多地应用到我们的生活中，它们已经不是数学家手中的抽象理论，而成为我们认识世界的工具，从彩票中奖到证券分析，从基因工程到法律诉讼，从市场调查到经济宏观调控，概率无处不在．研究概率问题时，一定要研究清楚问题中包含的基本事件数及这些基本事件的特征，这时常用的方法就是分类讨论．分类的关键是不重不漏．
概率中的分类讨论
例3
【思路点拨】 同性分为同为男，同为女，两种情况．
【名师点评】 本题在解二次方程时应注意结果中根的实际意义．
章末综合检测
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§3.3 随机数的含义与应用
3.3.1 几何概型
3.3.1 几
何
概
型
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.初步体会几何概型的意义，了解什么样的试验为几何概型．
2．初步学会用几何概型的概率公式求一些简单的几何概型中事件的概率，并能在求解概率问题时分清是古典概型还是几何概型．
3．学习中初步体验现代信息技术在数学学习和日常生活中的广泛应用，体会随机模拟中的统计思想(用样本估计总体)．
古典概型的特征：(1)__________ ；(2)
_______________
课前自主学案
温故夯基
有限性
等可能性．
1．事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的____________________________成
_______，而与A的____________无关，满足以上条件的试验称为几何概型．
知新益能
几何度量(长度、面积或体积)
正比
位置和形状
2．在几何概型中，事件A的概率定义为__________________，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．
思考感悟
概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件也一定是必然事件吗？
提示：如果随机事件所在区域是一个单点，因单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P＝0)，但它不是不可能事件；
如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1(即P＝1)，但它不是必然事件．
课堂互动讲练
与长度有关的几何概型
考点突破
如图，A、B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？
例1
【思路点拨】 在A、B之间每一位置安装路灯C、D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件．
【名师点评】 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
变式训练1 在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m的概率．
如图，在直角坐标系
内，射线OT落在60°的终边
上，任作一条射线OA，求射
线OA落在∠xOT内的概率．
与“角度”有关的几何概型
例2
【思路点拨】 以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．
变式训练2 在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．
与面积有关的几何概型
在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm、4 cm、6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
例3
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：飞镖落入区域是边长为16 cm的正方形．而要击中区域为三个不同的圆面，故该题型为与面积有关的几何概型问题．解答本题只需分别计算各区域的面积，以公式求解即可．
【解】 S正方形＝16×16＝256(cm2)，
S小圆＝π×22＝4π(cm2)，
S圆环＝π×42－π×22＝12π(cm2)，
S大圆＝π×62＝36π(cm2)，
S大圆外＝16×16－36π＝(256－36π)(cm2)
变式训练3 如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在此海域随意选定一点钻探，则钻到石油的概率是多少？
与体积有关的几何概型
例4
变式训练4 在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？
1．几何概型试验必须满足两个基本特点：
(1)无限性(即一次试验中可能出现的结果有无限个)；
(2)等可能性(每个结果的发生具有等可能性)．
2．几何概型的试验中，事件A发生的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度，面积，体积等)成正比，而与A的位置和形状无关．
方法感悟
3．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域或及整个区域Ω的几何度量，这时常利用数形结合的方法帮助进行，然后代入公式即可求解．
4．利用计算机模拟法与几何概型相结合，可以解决一些与概率有关的复杂问题．
知能优化训练
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2.3.2 两个变量的线性相关
2.3.2
两
个
变
量
的
线
性
相
关
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.了解线性回归的思想方法(即最小二乘法思想)．
2．会求两个具有线性相关关系的变量间的线性回归方程．
课前自主学案
变量与变量之间的关系：①函数关系；②相关关系．
温故夯基
知新益能
1．线性相关关系
____________________表示的相关关系，叫做线性相关关系．如果在散点图中，
___________________________，则称这两个量具有线性相关关系．
2．线性回归方程
一般地，设有(x，y)的n对观察数据如下：
能用直线方程近似
各点都集中在一条直线附近
x x1 x2 x3 … xn
y y1 y2 y3 … yn
当a，b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得最小值时，就称＝bx＋a为拟合这n对数据的________________，将该方程所表示的直线称为_____________
3．线性回归方程的系数计算公式
线性回归方程＝bx＋a中的系数a，b满足：
线性回归方程
回归直线．
思考感悟
回归直线通过样本点中心吗？
4．最小二乘法
通过求Q＝______________________的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做__________________
最小二乘法．
课堂互动讲练
求回归直线方程
考点突破
某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
例1
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
(1)画出散点图，判断变量x与y是否具有线性相关关系；
(2)如果x与y具有线性相关关系，求回归直线方程．
【解】 (1)散点图如图．由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以广告费支出x与销售额y之间有线性相关关系．
【名师点评】 (1)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性．
(2)散点图形象地反映了各对数据的密切程度，并可判断变量间有无相关关系．
(3)求回归直线的方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于a、b的计算量较大，计算时要仔细谨慎、分层进行，避免失误．
(4)注意回归直线方程中一次项系数为b，常数项为a，与一次函数的表示习惯不同．
变式训练1 观察两相关变量得如下数据：
求两变量间的回归直线方程．
x －1 －2 －3 －4 －5 5 4 3 2 1
y －9 －7 －5 －3 －1 1 3 5 7 9
解：列表：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi －1 －2 －3 －4 －5 5 4 3 2 1
yi －9 －7 －5 －3 －1 1 3 5 7 9
xiyi 9 14 15 12 5 5 12 15 14 9
利用回归直线方程进行估计
例2
下面是我国居民生活污水排放量的一组数据：
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
排放量 151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.3
试估计2001年我国居民生活污水排放量，并预测2011年生活污水排放量(单位：108 t)．
【思路点拨】 要估计或预测，可考虑先求出回归直线方程，将年份与污水排放量的相关关系表达出来．
【解】 设2000年为第1年，…，2007年为第8年．列表，用科学计算器进行有关计算：
i 1 2 3 4 5 6 7
xi 1 3 4 5 6 7 8
yi 151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.3
xiyi 151 567.3 779.2 1019 1325.4 1593.9 1858.4
＝4.857，＝202.8，＝200，iyi＝7294.2
【名师点评】 灵活选取数据可以简化运算，当只要求分析两变量相关关系，从而解决实际问题时，可选取恰当的变量进行分析．
第几年 1 2 3 4 5
城市居民年
收入x(亿元) 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1
某商品销售
额y(万元) 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0
变式训练2 在10年期间，一城市居民的收入与某种商品的销售额之间的关系见下表：
第几年 6 7 8 9 10
城市居民年
收入x(亿元) 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
某商品销售
额y(万元) 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
(1)画出散点图；
(2)如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程；
(3)试预测居民年收入50亿元时这种商品的销售额．
解：(1)散点图如图所示．
(2)观察散点图可知各点大
致分布在某条直线附近．
列表，利用计算器进行计算．
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据：
回归直线方程的应用
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
例3
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①甲产品产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的数据统计表．
②要求画出散点图并利用最小二乘法求回归直线方程．
③根据(2)中求出的回归直线方程进行预测．
解答本题可先画出散点图，再利用最小二乘法求回归直线方程，最后进行预测．
【解】 (1)由题设所给数据，可得散点图如下图所示．
(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：
90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
【名师点评】 此类问题求回归直线方程是关键，求回归方程的关键是求系数a，b，注意用公式时要先求b，再求a.
方法感悟
知能优化训练
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本章优化总结
本
章
优
化
总
结
专题探究精讲
知识体系网络
章末综合检测
知识体系网络
专题探究精讲
算法设计
一些问题的解决常常需要设计出一系列可操作步骤，只要按顺序执行这些步骤，就能完成任务，通常把这种解决问题的思想称为程序化思想或者算法思想．
算法设计与一般意义上的解决问题的方法不同，它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，它要借助一般问题的解决方法，又要包含这类问题的所有可能情形，它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时甚至是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．
设计一个算法，将高一某班56名同学中考试成绩不及格者的分数打印出来．
【思路点拨】 首先可输入一个学生的成绩，然后判断成绩是否小于60，如果小于60，则输出，否则不输出，然后继续输入下一个学生的成绩，直到输入56个同学的成绩为止．
例1
【解】 算法步骤如下：
S1 令n＝1；
S2 如果n＞56，则转到S7；
S3 输入一个学生的成绩G；
S4 将G和60比较，如果G＜60，则输出G；
S5 n＝n＋1；
S6 转到S2；
S7 结束．
【名师点评】 该题中实际是用到了算法的条件分支结构和循环结构，条件分支结构用于判断分数是否小于60；循环结构用于控制输入成绩的次数．
程序框图及其画法
程序框图是用规定的图形和连接线来准确、直观、形象地表示算法的图形，一定要分析算法的逻辑结构，根据逻辑结构画出相应的程序框图．
到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费．
例2
设计算法，要求输入汇款额x(元)时，输出银行收取的手续费y(元)，画出程序框图．
【解】 程序框图如图所示.
【名师点评】 处理有关分段函数的问题，常用条件分支结构实现算法．
基本算法语句有输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、条件分支结构、循环结构，用基本语句编写程序时要注意各种语句的格式要求，特别是条件语句和循环语句，应注意这两类语句中条件的表述以及循环语句中有关变量的取值范围．
用基本算法语句编写程序
要求输入20个数，输出其中正数、负数、零的个数，用程序框图和基本算法语句表示其算法．
【思路点拨】 根据题意可知，需要用到上述五种基本语句，循环次数为20次，数与0进行比较．
例3
【解】 程序框图如图所示．
根据程序框图，程序为：
【名师点评】 本题利用了全部基本语句，实现了统计正负数功能．
章末综合检测
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2.1.4 数据的收集
2.1.4
数
据
的
收
集
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.了解收集数据的基本方法及各自的优缺点．
2．知道设计调查问卷的一般要求，争取能设计调查问卷．
3．通过实际操作提高动手实践能力．
课前自主学案
三种抽样方法：________________、
____________、_____________
温故夯基
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样．
1．收集数据的常用方式有_________、查阅资料、__________________
思考感悟
1．用做试验收集样本数据时，应注意哪些事项？
提示：做试验时需要注意的事项：
(1)准备好试验用具或组织好观测的对象；
(2)指定专门的记录人员等．
知新益能
做试验
设计调查问卷．
2．查阅资料有哪些优点和缺点？
提示：优点：(1)查阅资料可以取得不容易直接调查得到的数据资料．
(2)有时可省去大量人力、物力．
(3)有时可以减少破坏性．
缺点：(1)有些数据无法从资料中查找．
(2)有时一些资料带有片面性，与你要调查的情形不十分符合．
2．在调查问卷中，设计题目应注意符合以下要求：
(1)问题要_______，___________，使受调查者能够容易作答．
(2)语言______________，__________，避免出现有歧义或意思含混的句子．
(3)题目不能出现__________________________的语句．
具体
有针对性
简单、准确
含义清楚
引导受调查者答题倾向
课堂互动讲练
用试验法收集数据
考点突破
请设计一个测量全班同学身高的试验．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①设计试验的操作步骤；
②为了使数据准确，需要多次测量求平均值．
解答本题须先做好试验准备，然后进行试验．
例1
【解】 试验的操作步骤设计如下：
(1)准备身高测量仪(为了多次测量求平均值，可以准备多架身高测量仪，比如用3架测量仪)；
(2)安排负责仪器的人，一般每架仪器两人，一人测量一人记录；
(3)组织学生排队依次测量．用每架测量仪各测量一次，将所得数据填入下表；
(4)整理数据，用求平均值的方法算出每位同学的身高.
学生姓名 用仪器1所测数据 所测数据用仪器2 所测数据用仪器3 平均以后的数据
【名师点评】 (1)设计试验时，需将试验用的器材及人员安排都考虑全面．比如本例中的测量仪，记录数据用的表格，负责测量和记录的同学等．
(2)在设计试验时将试验的步骤考虑详细，以保证试验的顺利进行．
调查问卷的设计
例2
请为某出版社出版的系列图书设计一份了解顾客对该系列产品满意程度的调查问卷．
【思路点拨】 该调查问卷可包括以下方面的内容：对该图书文章质量的总体印象；封面设计；价格；购买原因；了解到该图书的渠道等．
【解】 调查问卷设计如下：
姓名________电话________职业________
电子邮件________邮政地址________邮政编码________
所购图书名称
_______________________________________
购买书店
_______________________________________
________月________日购买
请回答以下问题：
(1)您认为本图书的文章质量(只能选其一)( )
A．很好 B．好 C．一般 D．差 E．很差
(2)您认为本图书的封面设计(只能选其一)( )
A．很好 B．好 C．一般 D．差 E．很差
(3)您认为本图书的印刷质量(只能选其一)( )
A．很好 B．好 C．一般 D．差 E．很差
(4)您认为本图书的价格(只能选其一)( )
A．合适 B．偏高 C．偏低
(5)您决定购买本图书的原因是( )
A．文章质量好且价格低廉
B．价格低廉
C．价格无所谓，能读到好文章就行
D．该书的作者知名度高
E．图书封面设计新颖
F．图书印刷质量高
(6)您是通过何种渠道了解到本产品的( )
A．报纸广告(哪家报纸______)
B．朋友介绍
C．书店宣传(书店名称______)
D．在书店偶然发现
E．其他媒体报道
(7)您这是第______次购买该系列图书？
(8)您认为该系列图书的优势在于( )
A．价格优势
B．文章质量优势
C．作者知名度优势
D．宣传优势
(9)您______(是/否)还会购买该系列的产品．
(10)其他感受：______.
【名师点评】 (1)问卷中需要涉及顾客比较关心的、对商场今后的发展起较大作用的问题，如商品的质量、价格、售后服务等方面．
(2)问卷的问题必须设计详细，以便顾客顺利回答．
(3)把比较容易的，不涉及个人的问题排在比较靠前的位置，较难的、涉及个人问题的放在后面．
变式训练1 请设计一份问卷调查你们班同学阅读课外书的情况．
解：调查问卷设计如下：
姓名________ 所在班级________
请回答下列问题：
1．你一般在什么时间阅读课外书？( )
A．每天课间
B．每天放学回家后
C．周末或假期
D．老师安排的阅读课上
2．你喜欢读的课外书有( )
A．散文 B．报告文学
C．小说
D．所学功课的辅导资料
E．其他
3．你最喜欢哪一类课外书？________
4．你的课外书的来源是( )
A．同学介绍的
B．老师推荐的
C．在书店中偶然发现的
D．家长推荐的
E．从宣传资料上看到的
5．你是怎样阅读课外书的？( )
A．粗略阅读
B．详细阅读
C．大部分是精略阅读的
D．大部分是详细阅读的
6．你认为课外阅读和学习的关系是( )
A．能促进学习
B．与学习没多大关系
C．妨碍学习
7．你的家长对你阅读课外书持什么态度？( )
A．支持
B．反对
C．从不过问
8．你在阅读课外书时遇到哪些困难？
________________________________________________________________________.
9．你在这方面有什么打算？
________________________________________________________________________.
实际应用题
如何得到敏感性问题的诚实反应
在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题，例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．
下面我们用一个例子来说明对敏感性问题的调查方法．
例3
某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了两个问题．
问题1：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题2：你是否经常吸烟？
调查者设计一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子．
每个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．
请问：如果在200人中，共有58人回答“是”，你能估计出此地区中学生吸烟人数的百分比吗？
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①随机抽出学生200名；②回答问题有2个；③利用摸球的方式给出答案．解答本题可根据摸出红球和白球的可能性相同，通过运算得结论．
因而在回答第一个问题的100人中，大约有51人回答了“是”，所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有7人回答了“是”．即估计此地区大约有7%的中学生吸烟．
这种方法是不是很巧妙？
在问卷的设计中，不但要考虑“难以启齿”问题本身对调查结果的影响，举例来说，“你在多大程度上喜欢吸烟”与“你在多大程度上不喜欢吸烟”两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．再如，问题的问卷中的位置也会对调查者产生影响．一般地，比较容易的、不涉及个人的问题应当排在比较靠前的位置，较难的、涉及个人的问题放在后面等．
【名师点评】 在统计调查中，通过被调查者摸出1个白球或1个红球的可能性相同；精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们如实回答，否则，不能提供真实情况．
变式训练2 请设计一份调查问卷，就最近结束的一次考试调查学生作弊情况．
解：调查问卷设计如下．
姓名：________ 所在班级：________
为了防止您回答的问题被别人知道，请您先从袋子里摸出一枚棋子．若摸到的是白棋子，就如实回答问题一；若摸到的是黑棋子，就如实回答问题二．
每个问题仅有两个答案：是或否．如您回答的是“是”，请在问题后面的方框内划“√”；如您回答的是“否”，不用做任何标记．
方法感悟
收集数据的方式主要有做试验、查阅资料和设计调查问卷三种，亲身体验是掌握各种方法的有效途径．
知能优化训练
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1.1.2 程序框图
1.1.2 程
序
框
图
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.通过模仿、操作、探索、经历设计程序框图表达解决问题的过程．
2．掌握常用的表示算法步骤的图形符号．
3．理解并掌握画程序框图的规则．
课前自主学案
1．算法的含义．
2．算法满足的条件：_________、________、_______、________、__________
温故夯基
有穷性
确定性
输入
输出
可行性．
1．程序框图又称框图，是用一些通用图形符号构成一张图来表示算法，这种图称做程序框图(简称框图或流程图)．
(1)算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它；
(2)流程图又称____________，是一种用
________的图形、指向线及文字说明来______________地表示算法的图形．
知新益能
程序框图
规定
准确、直观
2．一个流程图包括以下几部分
(1)____________________________ ；
(2)______________________ ；
(3)__________________________
注意：需要提醒的是画流程线时不要忘记画箭头，因为它是反映流程的执行先后次序的，如不画出箭头就难以判定各框的执行次序了．
表示相应的操作的框
带箭头的流程线
框内外必要的文字说明．
3．常见的程序框、流程线及各自表示的功能
图形符号 名称 符号表示的意义
起、止框 图框的________或_________
输入、输出框 数据的_______或者结果的_________
处理框(执行框) 赋值、赋值计算语句、结果的传送
__________ 根据给定条件判断
开始
结束
输入
输出
判断框
图形符号 名称 符号表示的意义
流程线 流程进行的
________
_________ 连接另一页或另一部分的框图
注释框 帮助理解框图
方向
连接点
思考感悟
判断框有两个退出点，是否表示在这里同时执行？
提示：不是，判断框的退出点在任何情况下都是根据条件去执行其中的一种结果，而另一个则不会被执行，故判断框后的流程线应根据情况注明“是”或者“否”．
课堂互动讲练
画出程序框图
考点突破
求两底半径分别为3和
4且高为5的圆台的表面积．
写出该问题的一个算法，并
画出程序框图．
例1
【思路点拨】 对本题来说，算法实际上就是将相关数值代入公式计算的过程．
【名师点评】 对于套用公式求解问题，应写出公式，看公式中的条件是否满足，若不满足先求出需要量，然后将公式中涉及的量全部代入求值即可．
解：S1 a＝7.85，h＝11.29；
S2 计算S＝ah；
S3 输出S.
程序框图如图所示：
根据程序框图判断算法
例2
如图所示的框图表示了一个什么样的算法？
【思路点拨】 框图能够比较清晰、直观地描述算法，我们根据框图可以按顺序从上到下分析．
S1 输入a，b，c三个不同的数；
S2 判断a与b，a与c的大小，如果a同时大于b、c，则输出a，否则执行S3；
S3 判断b与c的大小，因为a已小于b或c，则只需比较b与c的大小就能看出a，b，c中谁是最大的了，如果b>c，则输出b；否则输出c.
通过上面的分析，框图表示一个什么样的问题已经非常清楚了．
【解】 给任意三个不同的数a，b，c，输出最大的一个数．
【名师点评】 针对这种类型的题目，准确理解框图图形符号的定义和作用是解决这类问题的关键；由框图还原出解决问题的算法是解决这类问题的根本．
求解一次方程组的程序框图
例3
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①明确给出了方程组为关于x1，x2的二元一次方程组；②明确了求解所用的软件．
解答本题应先明确用Scilab软件求解二元一次方程组的先后顺序，然后依次写出即可．
解：程序框图如图：
1．程序框图由一些图框和带箭头的流程线组成，其中图框表示各种操作，图框内的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后顺序．
2．运用程序框图表示算法时，必须使用标准的框图符号．在图形符号内描述的语言要非常简炼清楚．
3．运用程序框图表示算法时，要注意掌握程序框图的规则：使用符号要准确，上下左右方向明确，进出点判断清楚，语言简炼还要精确．
方法感悟
4．应先设计算法，再根据算法设计框图．
5．熟练掌握画流程图的规则．
6．画流程图要注意模仿、操作、探索，进一步体会算法思想，提高逻辑思维能力．
知能优化训练
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§3.2 古典概型
3.2 古
典
概
型
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.通过实例，理解古典概率模型及其概率计算公式．
2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
3．初步学会把一些实际问题转化为古典概型．
4．进一步体会互斥事件的概率加法公式．
5．初步体会运用随机观点和随机思想去认识和了解世界．
1．基本事件：基本事件空间．
2．概率的加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．
课前自主学案
温故夯基
1．古典概型是一种特殊的概率模型，其特征是
(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果
_______________；
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是________的．
2．概率的古典定义
在基本事件总数为n的古典概型中
知新益能
只有有限个
相等
(1)每个基本事件发生的概率为_______；
(2)如果随机事件A包含的基本事件数为m，同样地，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝ .
所以在古典概型中
P(A)＝____________________________，这一定义称为概率的古典定义．
思考感悟
古典概型概率的计算公式与前面所学的频率计算公式有什么区别？
3．概率的一般加法公式
积事件：我们把由事件A和B_____________所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．
和事件：若某事件发生____________事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件或和事件，记作A∪B或A＋B.
P(A＋B)＝__________________________
同时发生
当且仅当
P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
课堂互动讲练
古典概型的概念
考点突破
把一颗骰子抛6次，设正面出现的点数为x.
(1)求x的所有可能取值情况(即全体基本事件)．
(2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答)．
①x的取值是2的倍数(记为事件A)；
②x的取值大于3(记为事件B)；
例1
③x的取值不超过2(记为事件C)；
④x的取值是质数(记为事件D)．
(3)判断上述事件是否为古典概型，并求其概率．
【思路点拨】 根据古典概型的定义判断．
【解】 (1)x的点数为1,2,3,4,5,6.
(2)事件A为x的取值是2,4,6；事件B为x的取值是4,5,6；事件C为x的取值是1,2；事件D为x的取值是2,3,5.
【名师点评】 古典概型需满足两个条件：一是对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；二是对于上述所有不同试验结果，它们出现的可能性是相等的．
变式训练1 (1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
(2)射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)，你认为这是古典概型吗？为什么？
解：(1)不是古典概型．因为试验的所有可能结果是圆面内的所有点，试验的所有可能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的“可能性相同”，但是这个试验不是古典概型．
(2)不是古典概型．试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，所以这个试验也不是古典概型．
袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
【思路点拨】 首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A：取出的两球都是白球的总数；事件B：取出的两球一个是白球，而另一个是红球的总数，便可套用公式解决之．
古典概型概率的求法
例2
变式训练2 同时抛掷两颗骰子，计算所得点数之和是偶数的概率．
古典概型的综合应用
甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题．
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
例3
【思路点拨】 甲、乙两人依次各抽一题，显然，题抽出之后不放回．先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法数是10×9＝90，即基本事件总数是90.
【名师点评】 对于条件中含有“至少”等字眼的古典概型，它包含的互斥事件或基本事件的个数往往较多，计数比较麻烦，这时，可考虑其对立事件，减小计算量．
变式训练3 一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率．
解：法一：设A表示“掷3次硬币出现正面”，Ω表示“连续掷3次硬币”，则Ω＝{(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)，(反，反，反)}．
Ω由8个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且A＝{(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)}．
方法感悟
3．基本事件数的探求方法：(1)列举法，此法用于较简单的试验和结果数较少的试验；(2)列表法或坐标法，比列举法更直观、清晰，有效防止重复与遗漏；(3)树状图法，此法是试验结果列举法，适合较复杂的问题中基本事件的探求．
4．求较复杂的古典概型的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先去求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
5．当A、B两事件不互斥时，求P(A∪B)只能利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
知能优化训练
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§3.4 概率的应用
3.4
概
率
的
应
用
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.通过实例，体会概率知识在现实生活中的广泛应用．
2．通过问题的解决，进一步提高对所学知识的掌握与应用．
3．提高运用所学知识分析问题、解决问题的能力与技巧，增加应用意识．
4．通过实例让学生更好的认识生活中诸多现象，提强辨别能力．
1．在古典概型中，P(A)＝
______________________.
2．在几何概型中，P(A)＝______.
课前自主学案
温故夯基
概率在我们的现实生活中有很多应用，比如说，利用投硬币出现__________________________来决定足球比赛两球队谁先开球或谁先选场地，用摇号的方法决定中奖号码等等．实际上，概率的应用已涉及到很多领域，如本节课介绍的程序设计、密码技术、社会技术、社会调查(Warner随机化应答方法等)、估计整体等等．
知新益能
正面和反面的概率一样
课堂互动讲练
概率在现实生活中的应用
考点突破
在一场乒乓球的比赛前，要决定由谁先发球，可用下面的方法：裁判员拿出一抽签器，它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板，一面是红色，一面是绿色，然后随意指定一名运动员，让他猜上抛的抽签器落到球台上时，是红色那面朝上还是绿色那面朝上，如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方发球，试作出解释．
例1
【思路点拨】 就其概率大小作出解释．
【解】 这样做体现了公平性，它使得两名运动员的谁先发球的机会是等可能的．用概率的语言描述，就是两个运动员取得发球权的概率都是0.5，即任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员先发球的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．
【名师点评】 足球比赛中用抛掷硬币的方式来确定场地也是这个原因．
变式训练1 在生活中我们有时要用抽签的方法来决定一件事情，例如5张票中有1张奖票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票，那么，先抽还是后抽(后抽人不知道先抽人抽出的结果)对各人来说公平吗？也就是说，各人抽到奖票的概率相等吗？
假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上试一次密码就能取到钱的概率是多少？
随机事件的概率
例2
【思路点拨】 发生概率为0.0001的事件是小概率事件，通常我们认为这样的事件一次试验中是几乎不可能发生的，也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很小的．但我们知道，如果试验很多次，比如10000次，那么这个小概率事件是可能发生的．所以，为了安全，自动取款机一般允许取款人最多试3次密码，如果第4次键入的号码仍是错误的，那么取款机将“没收”储蓄卡．另外，为了使通过随机试验的方法取到的储蓄卡中的钱的概率更小，现在储蓄卡大多使用6位数字作密码．
变式训练2 某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：
(1)头两位数码都是8的概率；
(2)头两位数码都不超过8的概率．
解：电话号码每位上的数字都可以由0,1,2，…，9十个数字中的任一个数字组成，故试验基本事件总数为n＝108.
(1)记“头两位数码都是8”为事件A，则事件A的一、二两位数码都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A包含的基本事件数为m1＝1×1×106＝106.
几何概型的应用
甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，如果甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是2小时与4小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
例3
【思路点拨】 如图，当甲比乙早到2小时内乙需等待，甲比乙晚到4小时内甲需等待，所以有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间等价于－2≤x－y≤4.
【解】 用x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的充要条件是－2≤x－y≤4，在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的所有可能结果为阴影部分表示．
【名师点评】 要善于利用数形结合，将实际问题转化为数学问题，根据几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概型．
1．处理概率的应用题要精读问题，抓住关键词语，将问题转化为数学问题．
2．涉及随机事件概率时主要向古典概型与几何概型方面的问题靠拢．
3．处理较复杂的问题时，要注意相关事件的互斥性，合理运用概率的加法公式．
4．解决应用题应注意多方面知识的综合运用．
方法感悟
知能优化训练
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1.2.3 循环语句
1.2.3
循
环
语
句
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解循环语句的作用，进一步体会算法的基本思想．
2．掌握while语句和for语句的一般格式及使用规则，在实际问题中能灵活选择合适的循环语句编写Scilab语句．
课前自主学案
条件语句的一般格式：①________________格式；②___________格式．
温故夯基
if－else－end
if－end
1．循环语句用来实现算法中的____________
2．循环语句主要有两种类型，_________和_____________
3．for循环的一般格式为
知新益能
循环结构．
for循环
while循环．
4．while循环的一般格式为
思考感悟
在for循环和while循环中，“end”的作用是什么？
提示：“end”的作用是控制结束一次循环，开始一次新的循环．
课堂互动讲练
for语句的应用
考点突破
例1
【解】 程序为：
【名师点评】 用for循环语句描述某一类问题的程序，其关键是根据问题确定循环变量的初值、步长和终值．
变式训练1 编写一个程序，求13－23＋33－43＋…＋993－1003的值．
解：程序如下：
while语句的应用
例2
写出求满足1＋2＋3＋…＋n＞2011的最小的自然数n的程序，并画出其程序框图．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①已知关于n的不等式．②求适合不等式的最小自然数n.③写出程序语句并画出其程序框图．解答本题的关键是依据题目中的“累加”，用循环语句实现，循环的条件是累加和大于2011.
【解】 程序框图为：
程序为：
【名师点评】 用while语句编写程序时，要注意while后面的条件，只要条件为真就执行循环体．
变式训练2 画出一个计算1＋2＋3＋…＋1000的值的程序框图，并用循环语句编写程序．
解：程序框图如图所示
程序如下：
程序框图与程序的对译
例3
根据以下给出的程
序，画出其相应的程序
框图，并指明该算法的
功能．
【思路点拨】 可以发现这也是一个利用while循环语句编写的程序，从S＝1，n＝1开始，第一次循环求1×1，第二次求1×2，第三次求1×2×3，…，第n次是求1×2×3×…×n，因此该程序是求使1×2×…×n<5000的最大整数．
【解】 该算法的程序框图如图所示．
该算法的功能是求使1×2×…×n<5000的最大正整数．
【名师点评】 由程序语言可知此程序是循环语句，根据程序语言中的循环结构，按顺序画出程序框图．
变式训练3 根据下面的程序，画出其算法的程序框图．
解：该算法的程序框图如图所示．
1．循环语句主要有两种形式，即for语句与while语句，for语句主要适用于预知循环次数的循环结构；而循环次数不确定时，则要用while循环语句．
2．理解for循环的关键是理解计算机如何执行程序语句中第三步“s＝s＋i”，这个执行过程实际上是每次循环赋给s的值都比上一步增加一个“步长”，如此循环直至结束．而while循环则是每次执行循环体之前，都要判断表达式是否为真，这样重复执行，直至表达式为假时跳过循环体部分而结束循环．
方法感悟
3．在Scilab界面内可直接输入程序，for(while)语句可写在同一行，但要在循环条件后用“，”号分开，也可以分行写，但要记住加end.
知能优化训练
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§2.3 变量的相关性
2.3.1 变量间的相关关系
2.3.1
变
量
间
的
相
关
关
系
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.了解变量间的相关关系，会根据变量统计数据画出散点图，并能根据散点图初步判断两个变量是否具有相关关系．
2．从感性认识上升到理性认识，研究相关关系便于我们在实际问题上进行预测估计，体会数学知识与生活的密切联系，强化数学应用意识．
课前自主学案
我们以前学过的函数关系是一种确定的关系．
温故夯基
知新益能
1．变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是___________，这是确定性关系；另一类是___________，这是非确定的关系．
2．变量间确实___________，但又不具备函数关系所需求的__________，它们的关系是
_______________，这种关系叫相关关系．
3．将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫__________
函数关系
相关关系
存在关系
确定性
带有随机性的
散点图．
思考感悟
散点图只描述具有相关关系的两变量所对应点的图形吗？
提示：不是．不论具备还是不具备相关关系，两个变量统计数据所对应的点表示的图形都叫散点图．
课堂互动讲练
相关关系的判断
考点突破
在下列各量之间的关系中：①正方体的体积与棱长间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄；④家庭的支出与收入；⑤某户家庭用电量与水价间的关系．
以上是相关关系的为( )
例1
A．②③ B．③④
C．④⑤ D．②③④
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①本题给出了5组变量；②考查其相关关系．
解答本题可先根据相关关系的概念及与函数关系的区别，再作出判断．
【解析】 由于①是函数关系；⑤用电量与水价间不具有函数关系，也不具有相关关系；②③④中两变量有关系，但不确定．
【答案】 D
【名师点评】 注意函数关系与相关关系的区别，再次强调对于相关关系，自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，当然任意两个变量也可能没有关系．
变式训练1 下列两个变量中具有相关关系的是( )
A．正方形的面积与边长
B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间
C．人的身高与体重
D．人的身高与视力
解析：选C.A、B为函数关系，C是相关关系，D则无相关关系．
散点图的应用
例2
某棉业公司的科研人员在7块并排、大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对棉花产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
棉花产量y 330 345 365 405 445 450 455
(1)画出散点图；
(2)判断是否具有相关关系．
【思路点拨】 用施化肥量x作为横轴，产量y为纵轴可作出散点图，由散点图即可分析是否具有相关关系．
【解】 (1)散点图如图所示．
(2)由散点图知，各组数据对
应点大致都在一条直线附近，
所以施化肥量x与产量y具有
相关关系．
【名师点评】 要判断两个变量之间是否具有相关关系，一种常用的方法就是绘制散点图，如果所绘制的散点图的点从整体上来看，大致分布在一条曲线附近，则这两个变量之间就有相关关系，否则，没有相关关系．
变式训练2 设对变量x，y有如下观察数据：
(1)画出散点图；
(2)判断是否具有相关关系．
x 151 152 153 154 156 157 158 160 160 162 163 164
y 40 41 41.5 41.5 42 42.5 43 44 45 45 46 45.5
解：(1)画出散点图．如图所示．
(2)由图知，图中各点大致都在一条直线的附近，所以两者具有相关关系．
方法感悟
1．判断两变量间是否具有相关关系要画出散点图，看各散点是否分布在同一条直线附近，若是，则二者相关；否则，不相关．
2．相关关系与函数关系的异同点：
关系
异同点 函数关系 相关关系
相同点 两者均是指两个变量之间的关系
不同点 是一种确定的关系 是一种非确定的关系
是两个变量之间的关系 一个为变量，另一个为随机变量或两个都是随机变量
是一种因果关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系
是一种理想关系模型 是更为一般的情况
3．分析变量之间的相关性的关系
(1)定性分析：分析变量之间是否具有相关性的关系，我们可以借助日常生活和工作经验对一些常规问题来进行定性分析，如儿童的身高随着年龄的增长而增长，但它们之间又不存在一种确定的函数关系，因此，它们之间是一种非确定性的随机关系，即具有相关性．但仅凭这种定性分析是不够的．原因：①定性分析有时会给我们以误导；②定性分析无法确定变量之间相互影响的程度有多大，因此，我们还需要进行定量分析．
(2)定量分析：由于变量间的相关性是一种随机关系，因此，我们只能借助统计这一工具来解决问题，也就是通过收集大量数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，并对它们之间的关系作出推断．
知能优化训练
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§1.2 基本算法语句
1.2.1 赋值、输入和输出语句
1.2.1
赋
值、输
入
和
输
出
语
句
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解三种基本算法语句——赋值语句、输入语句和输出语句，进一步体会算法的基本思想．
2．掌握三种语句的定义，了解它们的一般格式和作用．借助三种语句完成算法到程序语句的转化．
3．了解在Scilab软件中，如何使用输入语句来控制输入．
课前自主学案
算法的三种基本逻辑结构：_____________、________________、_____________
温故夯基
顺序结构
条件分支结构
循环结构．
1．赋值语句
用来表明赋给某一个_________一个具体的_________的语句叫做赋值语句．
其格式为：变量名____表达式．
其作用为：先计算出赋值号______表达式的值，然后把该值赋给赋值号______的变量，使该变量的值_______表达式的值．
知新益能
变量
确定值
＝
右边
左边
等于
思考感悟
1．程序中如果连续多次对变量赋值，那么这个变量的值最后是多少？
提示：程序中允许多次给变量赋值，变量的值总是最后一次赋给它的值，例如：
x＝3
x＝x＋5
x＝x－2
则执行完每个语句时，x的值依次为3,8,6.
2．输入语句
在某些算法中，变量的初值要根据情况经常地改变．一般我们把程序和初始数据分开，每次算题时，即使初始数据改变，也不必改变程序部分，只要每次程序运行时，输入相应的数据即可．这个过程在程序语言中，用“输入语句”来控制．不同的程序语言都有自己的输入指令和方法．
一般格式：____________________________
作用：把________和_____________分开．
变量＝input(“提示内容”)．
程序
初始数据
思考感悟
2．输入语句和赋值语句都可给变量赋值，这一点上二者有何不同？
提示：输入语句可使初始数值与程序分开，利用输入语句改变初始数据时，程序不变，而赋值语句是程序的一部分，输入语句可对多个变量赋值，赋值语句只能给一个变量赋值．
3．输出语句
定义：用来________把求解结果在屏幕上显示(或“打印”)的语句．
一般格式：①_________ (%io(2)，表达式)．
②________ (“提示内容”)．
控制
print
disp
课堂互动讲练
计算机中的函数命令和运算符
考点突破
下列程序语言中表达式的值正确的是( )
例1
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：每个选项都是由程序语言书写的表达式．解答本题可先转化为常用的运算式，然后再作出判断．
【答案】 C
【名师点评】 由程序语言书写的表达式，关键是搞清函数及运算符的书写，按要求去书写和计算．
变式训练1 (1)b2－4ac用程序语言表示为________．
(2)2*sqrt(9)+5^2*2的结果为___________.
答案：(1)?b^2-4*a*c (2)56
利用输入、输出语句编写程序
例2
编写一个程序，要求输入两个正数a、b的值，输出ab与ba的值．
【思路点拨】 可以利用input语句输入两个正数，然后将ab和ba的值分别赋给两个变量，然后输出这两个变量的值即可；另一方面ab和ba作为两个幂的值，是把底数和指数进行了交换，故还可以利用赋值语句，采用将两个变量的值互换的办法实现这一程序．
【解】 法一：程序如下：
法二：程序如下：
【名师点评】 法二中通过引进一个变量x实现了变量a和b的值的交换，因此只需一个赋值语句即可实现算法．在一些较为复杂的问题算法中经常需要对两个变量的值进行交换，因此应熟练掌握这种方法．
变式训练2 试编写输入x，y的值输出它们积的程序．
解：程序如下：
利用赋值语句编写程序
例3
某工种按工时计算工资，每月总工资＝每月劳动时间(小时)×每小时工资，从总工资中扣除10%作公积金，剩余的为应发工资，请编写一个输入劳动时间和每小时工资数就能输出应发工资的程序．
【思路点拨】 设出每小时工资、每月劳动时间，先求出每月总工资；再求应发工资．
【解】 算法如下：
S1 输入月劳动时间t和每小时工资a；
S2 求每月总工资y＝每月劳
动时间t×每小时工资a；
S3 求应发工资z＝每月总
工资y×(1－10%)；
S4 输出应发工资z.
程序框图如图：
程序如下：
【名师点评】 赋值语句是最重要的一种基本语句，也是一个程序中必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，一定要注意其格式要求；利用赋值语句可以实现两个变量的互换，方法是引入第三个变量，用三个赋值语句来完成．
变式训练3 已知直线方程为Ax＋By＋C＝0(A·B≠0)，试编写一个程序，要求输入符合条件的A、B、C的值，输出该直线在x轴、y轴上的截距和斜率．
解：A＝input(“A＝”)；
B＝input(“B＝”)；
C＝input(“C＝”)；
M＝(－C)/A；
N＝(－C)/B；
K＝(－A)/B；
print(%io(2)，M，N，K)；
由程序写算法及画程序框图
读用Scilab程序语言编写的程序，根据程序画出程序框图．
x＝input(“x＝”)；
y＝input(“y＝”)；
print(%io(2)，x/4)；
print（%io（2）,2*y）；?
x=x+2；?
y=y-1；?
print（%io（2）,x）；?
print（%io（2）,y）；
例4
【思路点拨】 从程序可以看出，此程序只由input输入语句、赋值语句和print输出语句组成，因此根据程序画框图，只要按顺序从上到下把输入、赋值、输出语句表达的内容填入相应图框即可．
【解】 程序框图如图：
【名师点评】 解决这类问题关键是分析清楚程序中使用了哪些基本算法语句，从而据此将其内容填入各种程序框中即可得到相应的程序框图．
变式训练4 阅读下列程序，并指出当a＝2，b＝－5时的计算结果：
答案：(1)a＝2，b＝－5；
(2)a＝－0.5，b＝－1.25.
1．计算机程序运行必须使用计算机能够理解的程序设计语言，程序设计语言都包含基本的算法语句，编程时往往先写算法，画出程序框图，以便于编写程序．
2．输入、输出语句是任何一个程序必不可少的语句，其功能是实现数据的输入、输出．为了使输入、输出更清楚，可以设计提示信息，用双引号引起来，与变量之间用逗号隔开．
方法感悟
3．赋值语句是最重要的一种基本语句，也是一个程序必不可少的一个组成部分，使用赋值语句，一定要注意其格式要求，如：赋值号右边为表达式而左边只能是变量；赋值号左右不能对换；不能利用赋值语句进行代数式计算；一个赋值语句中不可出现两个或两个以上的赋值号．
4．用赋值语句交换两个变量值在编写程序时经常用到，方法是引入第三个变量，用三个赋值语句完成，这种方法应熟练掌握．
知能优化训练
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2.1.3 分层抽样
2.1.3
分
层
抽
样
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.理解分层抽样的概念．
2．会用分层抽样从总体中抽取样本．
3．提高动手实践能力，培养分析问题和解决问题的能力，增强数学应用意识．
课前自主学案
系统抽样的步骤：(1)编号；(2)分段；(3)确定起始个体编号；(4)按事先制定的规则抽取样本．
温故夯基
1．分层抽样的概念：将总体中各个个体按某种特征分成若干个___________的部分，每一部分叫做_____，在各层中按
_______________________进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．
思考感悟
系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊的分层抽样对吗？
知新益能
互不重叠
层
层在总体中所占比例
提示：不对．因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取是按事先定好的规则进行的，各层编号有联系，不是独立的．故系统抽样不同于分层抽样．
2．当总体是由______________________组成时，往往选用分层抽样的方法．
3．分层抽样的优点是___________________________，而且在各层抽样时，______________________________
差异明显的几个部分
使样本具有较强的代表性
又可灵活地选用不同的抽样法．
课堂互动讲练
分层抽样的概念
考点突破
如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的可能性为( )
例1
【解析】 根据每个个体都等可能入样，所以其可能性为样本容量与总体容量比，故选C.
【答案】 C
【名师点评】 分层抽样的核心是按比例等可能抽样．在抽样时，各层又是随机抽取的，因此每一个个体被抽到的可能性都是相同的．
变式训练1 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )
A．15,5,25 B．15,15,15
C．10,5,30 D．15,10,20
解析：选D.因为300∶200∶400＝3∶2∶4，于是将45分成3∶2∶4的三部分．设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x，由3x＋2x＋4x＝45，得x＝5，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为15,10,20，故选D.
分层抽样的方法设计
例2
一个地区共有5个乡镇，人口共3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，应采取什么样的方法？并写出具体过程．
【思路点拨】 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而宜采用分层抽样的方法．
【名师点评】 若已知总体是由差异明显的几部分组成，为了使样本能充分反映总体情况，通常按照样本容量与总体容量的比例，合理地将其分配到各层，以确保抽样的科学性．当然在解决具体问题的过程中，一定要结合抽样比，考虑到分配的合理性．
变式训练2 一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，并写出过程．
解：法一：三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取的个体数分别为14,2和4.
对112名业务人员按系统抽样分成14个部分，其中每个部分包括8个个体，对每个部分利用简单随机抽样抽取个体．若将160名人员依次编号1,2,3，…，160，那么在1～112名业务人员中第一部分的个体编号为1～8.
从中随机抽取一个号码，如它是4号，那么可以从第4号起，按系统抽样法每隔8个抽取1个号码，这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.
同样可抽出的管理人员和后勤服务人员的号码分别为116,124和132,140,148,156.
将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．
法二：由160÷20＝8，所以可在各层人员中按8∶1的比例抽取，又因为16÷8＝2,112÷8＝14,32÷8＝4，所以管理人员2人，后勤服务人员4人，业务人员14人．以下同法一．
三种抽样方法的比较
选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程：
(1)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；
(2)有甲厂生产的两箱篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样；
(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；
(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．
例3
【思路点拨】 依据总体的特征信息和各种抽样方法使用范围，灵活选择恰当的抽样方法．
第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．
(2)因为都是由甲厂生产的，所以个体差异较小，且总体容量也比较小，因此用抽签法．
第一步：将30个篮球编号，编号为00,01，…，29；
第二步：将以上30个编号分别写在一张大小相同的纸条上，揉成小球，制成号签；
第三步：把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；
第四步：从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
第五步：找出和所得号码对应的篮球组成样本．
(3)个体差异较小，总体容量较大，样本容量较小宜用随机数表法．
第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299；
第二步：在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；
第三步：从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在000～299中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到286,211,234,297,207,013,027,086,284,281这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．
(4)个体差异较小，总体容量较大，样本容量也较大宜用系统抽样法．
第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并按号码顺序分成30段，每段10个编号；
第二步：在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；
第三步：将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本．
【名师点评】 在解决问题的过程中，应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法．
变式训练3 一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，按下述三种方法：
方法1：将160人从1至160编上号，然后用白纸做成形状、大小相同1～160号的签160个放入箱内拌匀，然后从中抽20个签，与签号相同的20个人被选出．
方法2：将160人从1到160编上号，按编号顺序分成20组，每组8人，1～8号，9～16号，…，153～160号，先从第1组中用抽签方法抽出k号(1≤k≤8)，其余组的(k＋8n)号(n＝1,2，…，19)亦被抽到，如此抽取到20人．
方法3：按20∶160＝1∶8的比例，从业务人员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤服务人员中抽取3人，都用随机数表法从各类人员中抽取所需的人数，他们合在一起恰好抽到20人．
上述三种抽样方法，按简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是( )
A．方法1、方法2、方法3
B．方法2、方法1、方法3
C．方法1、方法3、方法2
D．方法3、方法1、方法2
解析：选C.抽签法是简单随机抽样的一种常用方法，显然方法1用的是抽签法；方法2是按一定间隔均分成几组，按一定规则从每组中抽取一个个体，这是系统抽样；方法3是从三类不同职工中按一定比例抽取，这是分层抽样．
方法感悟
知能优化训练
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第2章 统 计
课标领航
本章概述
本章主要包括随机抽样、用样本估计总体、变量的相关性．
本章重点是能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；理解随机抽样的必要性和重要性；学会简单随机抽样的方法；理解分层和系统抽样的方法．正确理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，认识到无论哪一种抽样方法，必须保证在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．通过比较，加深对三者的理解，并在抽样实践中正确地对它们进行选择．本章难点是对样本随机性的理解.
学法指导
1.本章概念很多，知识较抽象，学习过程中要注意知识的衔接和实践，亲自设计一些统计活动．通过问题情境学习随机抽样、用样本估计总体、线性回归的基本方法．内容安排应当是先统计、后频率，展开的线索应当是提出问题、搜集数据、整理数据、解释数据、研究数据特征、做出统计判断．在具体情境中，体会不同抽样方法的优越性和局限性，体会不同统计图的特点和用途，理解不同数字特征的意义；利用散点图直观认识变量间的相关关系，根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．
不应追求严格的形式化定义，应主要关注统计观念的形成和统计意识的培养．另外，应注意挖掘生活中与数据有关的素材．
2.本章内容与实际生活结合密切，学习时应以实际问题为背景，在激发学习兴趣的同时认识到学习统计学知识的必要性和重要性，倡导由自主探索适应不同条件的合理的抽样方法，通过比较，领悟三种抽样方法的操作步骤和适用范围．
在研究估计总体分布、估计总体特征数据及回归直线方程时，注意通过对具体实例的研究，经历数据搜集与处理的全过程，并在这个过程中体验抽样的必要性及统计思想与确定性思想的差异.
§2.1 随机抽样
2.1.1 简单随机抽样
2.1.1
简
单
随
机
抽
样
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.知道总体、样本、个体、样本容量等概念．
2．理解什么是简单随机抽样，了解简单随机抽样(抽签法、随机数表法)的具体操作步骤，能利用简单随机抽样从总体中抽取样本．
3．培养综合分析实际问题的能力以及抽象概括能力和动手实践能力，树立应用数学知识解决实际问题的意识．
课前自主学案
乒乓球比赛前，裁判员通过_________法决定谁先发球．
温故夯基
抽签
1．总体、个体、样本、样本容量
(1)总体：一般把_______________的某一数值指标的全体构成的集合看作总体．
(2)个体：构成________的每一个_______叫做个体．
(3)样本：从总体中抽出若干个_______所组成的_______叫做样本．
(4)样本容量：样本中个体的个数叫做样本容量．
知新益能
所考察对象
总体
元素
个体
集合
2．抽样时要保证每一个个体都可能被抽到，并且每一个个体被抽到的机会是_________，满足这样的条件的抽样方法是_____________
3．一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有_______的可能性被抽到，那么，这种抽样方法叫做简单随机抽样．
4．将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上，然后将这些号签放在同一个不透明的盒子里并搅拌均匀，每次从中抽出一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本，这种方法叫___________
均等的
随机抽样．
相同
抽签法．
5．事先制好数表，表中共出现0,1,2,3，…，9十个数字，且表中每个位置上的数字都是等可能出现的，这种数表称为_____________随机数表并不是唯一的，只要符合各个位置上等可能地出现其中各个数的要求，就可以构成随机数表．
思考感悟
利用随机数表读数时，开始位置和读数方向可以任意选择吗？
提示：可以，但是通常要在抽样前确定好．
随机数表．
课堂互动讲练
简单随机抽样的应用
考点突破
下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？说明道理．
(1)从无限多个个体中抽取100个个体作样本；
(2)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意抽出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
例1
【思路点拨】 具有简单随机抽样四个特点的抽样，就是简单随机抽样．
【解】 (1)不是简单随机抽样，由于被抽取样本的总体的个数是无限的而不是有限的．
(2)不是简单随机抽样，由于它是有放回抽样．
【名师点评】 简单随机抽样有如下特点：
(1)要求总体的个体数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析．
(2)从总体中逐个进行抽取，这样便于在抽取过程中进行操作．
(3)是不放回抽样．由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有广泛的应用，而且所抽取的样本中没有重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算．
(4)是等可能抽样．不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的机会相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
变式训练1 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动．
(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验．
(3)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿出一件，连续玩了5件．
(4)从无限个个体中抽取80个个体作为样本．
解：(1)不是简单随机抽样．因为这不是等可能抽样．
(2)不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
(3)不是简单随机抽样．因为这是有放回抽样．
(4)不是简单随机抽样．因为总体个数不是有限个．
抽签法的应用
例2
某市为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组．请用抽签法设计抽样方案．
【思路点拨】 总体和样本数目较小时可采用抽签法．
【解】 第一步：将18名志愿者编号，号码为：01,02,03，…，18.
第二步：将号码分别写在18张形状、大小、质地都相同的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步：将制好的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅拌．
第四步：从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号．
第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
【名师点评】 用抽签法抽样的关键是将号签搅匀，制作号签时还可以用形状相同的小球或竹签等材料．
变式训练2 现在从20名学生中抽取5名进行阅卷调查，写出抽取样本的过程．
解：①先将20名学生进行编号，从01编到20；
②把号码写在形状、大小均相同的号签上；
③将号签放在某个不透明的箱子中进行充分搅拌，力求均匀；
④然后依次从箱子中抽取5个号签，并记录上面的编号；
⑤按这5个号签上的号码取出对应样品，即得样本．
随机数表法的应用
现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数表法设计抽样方案？
【思路点拨】 本题与其它题的最大区别在于元件的编号位数不一致，不便于直接从随机数表中读取．所以解答本题的关键就成了如何统一题目中的编号．
例3
【解】 法一：第一步：将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600；
第二步：在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，用教材第51页的随机数表，从各组数中任选一个前3位小于或等于600的数作为起始号码，如选第1行第7组数“530”，向右读；
第三步：从数“530”开始，向右读，每次一组5个随机数中读取前三位，后两位不读，舍去．凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到530,415,536,089,483,326；
第四步：以上号码对应的6个元件就是要抽取的对象．
法二：第一步：将每个元件的编号加100，重新编为110,111，…，700；
第二步：在教材第51页的随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第2行第1组数“536”，向右读；
第三步：从数“536”开始，向右读，每次读取一组5个随机数中的前三位，后两位不读，舍去．凡不在110～700中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到536,483,326,349,636,579；
第四步：这6个号码分别对应原来的436,383,226,249,536,479，这些号码对应的6个元件就是要抽取的对象．
【名师点评】 当题目所给的编号位数不一致时，不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整，用调整后的号码抽取以后再对应找出原来的号码，调整时可用如下方法：
(1)在位数少的数前添加“0”，凑齐位数．如1,2，…，15可调整为01,02，…，15；
(2)把原来的号码加上10的倍数．如：1,2,3，…，15，每数加10可调整为11,12，…，25；
90,91，…，100，…，110每数加10可调整为100,101，…，110，…，120，每数加100可调整为190,191，…，200，…，210；
(3)把个体重新编号，按新编号抽取完以后，再对应找出原来的号码．
变式训练3 现有一批零件，其编号为600,601，…，999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检验．若用随机数表法，怎样设计方案？
解：第一步：将零件编号为600,601，…，999.
第二步：在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第2行第3列数“6”开始，向右读；
第三步：从数“6”开始，向右读，每次读取三位，凡不在600～999中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到666,839,616,931,723,919,699,961,901,923；
第四步：以上号码对应的10个零件就是要抽取的对象．
1．对于简单随机抽样概念的理解，应注意以下特点：(1)它要求被抽取样本的总体的个体数有限且不能太多；(2)从总体中逐个地进行抽取；(3)是一种不放回抽样．
2．抽签法适用于总体和样本容量都较小时的抽样，当总体和样本容量相对较大时可用随机数表法进行抽样．
方法感悟
3．本节的一些问题有较强的实践性，应当真正动手去进行操作，这对于深刻理解简单随机抽样的过程与作用，感受统计知识的广泛应用，所抽取样本的随机性，提高动手能力均有十分重要的帮助．
知能优化训练
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3.1.3 频率与概率
3.1.3
频
率
与
概
率
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.在具体情景中，了解随机事件发生的频率的不确定性与概率的确定性．
2．掌握频率与概率的定义，并能加以区别．
3．知道频率与概率的联系，即频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值，在实际问题中能利用求事件发生的频率的方法求事件发生的概率．
课前自主学案
随机事件：在试验中___________，
______________的结果．
温故夯基
可能发生
也可能不发生
1．频率是已进行的n次重复试验中，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为_____.
2．一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率 ，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的______，记作______
知新益能
概率
P(A)．
从定义中，可以看出随机事件A的概率P(A)满足_______________.这是因为在n次试验中，事件A发生的频数m满足0≤m≤n，所以0≤≤1.当A是必然事件时，__________，当A是不可能事件时，__________.
3．概率是可以通过________来“测量”的，或者说频率是概率的一个_______，概率从______上反映了一个事件发生的可能性大小．
思考感悟
如何理解概率与频率的本质区别？
提示：频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象；当试验次数越来越多时，频率逐渐向概率靠近．
0≤P(A)≤1
P(A)＝1
P(A)＝0
频率
近似
数量
课堂互动讲练
概率概念的理解
考点突破
有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续抛掷一枚硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你认为这种说法正确吗？
例1
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5，并不意味着掷一枚硬币两次，一定出现一次正面朝上，一次反面朝上，它只反映随机事件发生的可能性大小．解答本题可分析抛掷两次硬币可能出现的结果，然后再下结论是否正确．
【解】 这种想法显然是错误的，通过具体试验验证便知．用概率的知识来理解，就是：尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反面朝上的概率都是0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次，通过具体的试验可以发现有三种可能的结果：“两次正面朝上”，“两次反面朝上”，“一次正面朝上，一次反面朝上”，而且其概率分别为0.25，0.25，0.5.
【名师点评】 概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生．
变式训练1 解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
解：(1)说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说，100件该厂的产品中大约有90件是合格品．
(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．
李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩．
频率与概率的关系
例2
成绩 人数
90分以上 43
80～89分 182
70～79分 260
60～69分 90
50～59分 62
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率．(结果保留到小数点后三位)
(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．
【思路点拨】 先求出频率，再去估算概率．
用已有的信息可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)得“90分以上”记为事件A，则P(A)≈0.067；
(2)得“60分～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；
(3)得“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
【名师点评】 频率虽然随着试验的次数而变化，但具有一定规律性，因此可以通过频率来估算概率．概率体现了随机事件发生的可能性．
变式训练2 一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数n 5544 9607 13520 17190
男婴数m 2883 4970 6994 8892
概率的实际应用
为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．
贫困地区：
例3
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；
(3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①对贫困地区和发达地区进行六次智力测试．
②计算60分以上频率，分析贫富差距带来人的智力的差别的原因．
解答本题可先分析两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率，然后根据频率的稳定值估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率，进而分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．
【解】 (1)贫困地区：
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率 0.533 0.540 0.520 0.520 0.512 0.503
发达地区：
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550
(2)随着测试人数增加，贫困地区与发达地区得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55，故概率分别约为0.5和0.55.
(3)经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，导致智力出现差别．
【名师点评】 该题的实质是通过试验计算两个地区的儿童得60分以上的概率，进而估计儿童的健康与智力落后是否与经济上的贫困有关．因为概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．所以概率的大小能反映儿童的健康和智力发育与经济贫困有关．
变式训练3 2010年11月17日，在广州亚运会射击赛场上，中国选手王成意发挥出色，获女子50米步枪三种姿势金牌，伊朗美女伊拉希·艾哈迈迪获得银牌．下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
王成意击中10
环以上的次数 9 17 44 92 179 450
击中10环以
上的频率
射击次数n 10 20 50 100 200 500
艾哈迈迪击中
10环以上的次数 8 19 44 93 177 453
击中10环以
上的频率
请根据以上表格中数据回答下列问题：
(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；
(2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员在亚运会上每次击中10环以上的概率．
解：(1)两位运动员击中10环以上的频率：
王成意：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9；
艾哈迈迪：0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906.
(2)根据(1)中的数据可以知道两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9这个数附近，所以两人击中10环以上的概率都约为0.9，也就是说两人的实力相当．
1．事件A发生的概率P(A)的取值范围为0≤P(A)≤1，当A为不可能事件时P(A)＝0，当A为必然事件时P(A)＝1.
2．可以结合物体长度的测量值与真实值之间的关系来理解事件的频率与概率的关系．
3．概率的统计定义给出了求一个事件的概率的一种重要方法，即通过求事件的频率来求事件的概率．
4．概率知识与现实生活中的很多方面有着广泛的联系，应用它可以澄清生活中的许多片面认识．
方法感悟
知能优化训练
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3.1.4 概率的加法公式
3.1.4
概
率
的
加
法
公
式
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.通过实例了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据互斥事件与对立事件的定义辨别一些事件是否互斥，是否对立．
2．掌握互斥事件的概率加法公式，并能用其计算一些事件的概率．
3．了解概率的一般加法公式，能运用该公式解决一些简单问题．
4．培养学生利用一分为二，对立统一的辩证唯物主义观点分析问题和认识世界，提高利用转化思想解决问题的能力．
频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为________
课前自主学案
温故夯基
1．在___________中事件A和事件B不能
______________，那么称事件A与B为互斥事件(或称_________________)．
2．一般地，由事件A和B_________________ (即A发生或B发生，或A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)，记作C＝A∪B.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合．
3．如果事件A，B互斥，那么事件A∪B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即__________________________
知新益能
同一试验
同时发生
互不相容事件
至少有一个发生
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
思考感悟
对任意两个事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？
4．不能同时发生________一个发生的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作 ，对立事件A与 的概率之和等于1，即_____________________
且必有
P(A)＋P( )＝1.
课堂互动讲练
判断事件之间的关系
考点突破
判断下列各对事件是否是互斥事件，如果是，再判断它们是否是对立事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛， 其中：
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生；
例1
(3)至少有1名男生和全是男生；
(4)至少有1名男生和全是女生．
【思路点拨】 判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，不然就不是互斥事件．
【解】 (1)是互斥事件，但不是对立事件．
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但它们不是对立事件，由于还有可能选出2名女生．
(2)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．
“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．
(3)不是互斥事件
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，这与“全是男生”可能同时发生．
(4)互斥事件且是对立事件．
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，这与“全是女生”不可能同时发生，并且它们中必有1个发生．
【名师点评】 互斥事件是概率知识的重要概念，必须正确理解．
(1)互斥事件是对两个事件而言的，若有A、B两事件，当事件A发生时，事件B就不发生；当事件B发生时，事件A就不发生(即事件A，B不可能同时发生)，我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，否则就不是互斥事件．
(2)对互斥事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识．
如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上，表示A，B这两个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．
如果事件A1，A2，A3，…，An中的任何两个都是互斥事件，即称事件A1，A2，…，An彼此互斥，反映在集合上，表示由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．
变式训练1 判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
∵从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
∵从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3) 不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
∵从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
射击运动员张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，计算这个射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数不足8环的概率．
互斥事件的概率加法公式的应用
例2
【思路点拨】 “射中10环”“射中9环”…“射中7环以下”彼此是互斥事件，可运用“事件的并(和)”的公式求解．
【解】 记A＝{射中10环}，B＝{射中9环}，C＝{射中8环}，D＝{射中7环，}E＝{射中7环以下}，则A，B，C，D，E两两互斥．
(1)“射中10环或9环”是事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)“至少射中7环”是事件A∪B∪C∪D，所以P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.
(3)“射中不足8环”为事件D∪E，所以P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中环数不足8环的概率为0.29.
【名师点评】 公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)只有当A，B互斥时才能使用，否则不能使用．
变式训练2 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示.
(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率；
(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率．
年降水量/mm [100,150) [150,200) [200,250) [250,300)
概率 0.12 0.25 0.16 0.14
解：记这个地区的年降水量在[100,150)、[150,200)、[200,250)、[250,300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D.这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式．
(1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.
对立事件概率的求法
一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，…，9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？
【思路点拨】 从9张票中任取2张，要弄清楚取法种数为36，“号数至少有一个为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”，用对立事件的性质求解非常简单．
例3
【解】 从9张票中任取2张，有
(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；
(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；
(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；
…
(7,8)，(7,9)；
(8,9)，共计36种取法．
记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共6种取法．
【名师点评】 (1)求复杂事件的概率通常有两种方法：
一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率．
(2)涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解．
方法感悟
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第1章 算法的初步
课标领航
本章概述
算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问题要用算法，在日常生活中做任何事情也都有算法．
本章主要包括算法与程序框图，基本算法语句，中国古代数学中的算法案例．
本章重点是算法的概念和特征，算法、程序框图以及三种基本逻辑结构，算法基本语句，经典算法案例．
本章难点一是会用自然语言描述解决一类问题的算法；二是用程序框图表示算法的三种基本逻辑结构；三是将具体问题的程序框图转化为程序语言；四是代数学中算法案例的编程.
学法指导
1.通过具体实例，体会、感受算法思想，理解算法的特点．
2.结合对具体数学实例的分析，通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程.
§1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
1.1.1 算
法
的
概
念
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.通过对具体问题解决过程与步骤的分析，体会算法是解决问题的“机械”程序，并能在有限步内完成及算法思想．
2．通过对具体问题解决过程的步骤的探索和研究，掌握算法步骤，了解算法与求解一个具体问题的方法的区别，明确算法的要求．
3．初步学会为解决某具体问题设计算法．
课前自主学案
初中学过的求解一元二次方程组时消元的方法有代入消元法和加减消元法．
温故夯基
1．算法的含义
算法可以理解为由_____________及
___________________所构成的
____________________，或看成按要求设计好的__________、_____________计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决___________
2．算法的规则序列满足的条件
(1)____________ 、(2)___________ 、
(3)_________ 、(4)___________ 、(5)
_____________
基本运算
规定的运算顺序
完整的解题步骤
有限的
确切的
一类问题．
有限性
确定性
输入
输出
可行性．
知新益能
3．描述算法的常用方式
描述算法可以有不同的方式，可以用____________________加以叙述，也可以借助_________________________给出精确的说明，也可以用_________直观地显示算法的全貌．
4．算法的要求
(1)写出的算法，必须能解决____________，并且能够_______________
(2)算法过程要能_______________，每一步执行的操作，必须________，不能
____________，而且经过__________能得出结果．
自然语言和数学语言
形式语言(算法语言)
框图
一类问题
重复使用．
一步一步执行
确切
含混不清
有限步
思考感悟
算法与数学问题的解法有何区别和联系呢？
提示：(1)算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系，算法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决．
(2)算法是解决某一问题所需要的程序和步骤的统称．也可以理解为数学中的“通法通解”，可以重复使用；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．
课堂互动讲练
算法的概念
考点突破
下列语句中是算法的有( )
①解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
②方程x2－1＝0有两个实根；
③求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最终结果是10.
例1
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①给出四个与算法有关的语句；
②判断各语句是否为算法语句．
解答本题可先正确理解算法的概念及其特点，然后逐一验证每个语句是否正确．
【解析】 ①中给出了一元一次方程这一类问题的解决方式；③中给出了求1＋2＋3＋4的一个过程，最终得出结果；对于②，并没有说明如何去算，故①③是算法，②不是算法．
【答案】 B
【名师点评】 算法在中学课程中是一个新概念，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法，它通常指向某一个或一类问题，而解决的过程是程序性和构造性的．算法又可以看成解决问题的特殊的有效方法，中学课程中的算法更强调具体算法所蕴涵的算法思想，重点在于培养学生的算法意识．
变式训练1 下列说法不正确的是( )
A．算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤
B．算法可以看成按要求设计好的、有限的、明确的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题
C．算法只是在计算机产生之后才有的
D．描述算法有不同的方式，可以用日常语言和数学语言等
解析：选C.计算机只是解决算法的工具之一，生活中有些问题不是计算机能够求解的．
解方程(组)、不等式的算法
例2
【思路点拨】 由A1B2－A2B1≠0可知两个二元一次方程组表示的直线不平行且不重合，即两条直线必有一个交点也就是方程组必有一组解，可以用代入消元法或加减消元法解此方程组．
【解】 算法如下：
第一步：①×A2，得A1A2x＋A2B1y＋A2C1＝0；③
第二步：②×A1，得A1A2x＋A1B2y＋A1C2＝0；④
第三步：④－③，得(A1B2－A2B1)y＋A1C2－A2C1＝0；⑤
因此给出一个系数为常数的二元一次方程组，求它的解，除了根据本题的算法以外，还可以把它当作公式使用，就有了解二元一次方程组的公式法．在我们看来记忆非常麻烦，而作为计算机来讲只要有了相关的存储单元，将各系数输入就可直接输出方程组的解．
数值型问题的算法
写出计算S＝1＋2＋3＋4＋6＋…＋100的算法．
【思路点拨】 i称作计数变量，每一次循环它的值增加1，由1变到100，S是一个累加变量，每一次循环得到一个新的结果，然后新的结果代替原值．
例3
【解】 第一步，令S＝1；
第二步，令i＝2；
第三步，使S＋i的和变为S，即为S＝S＋i；
第四步，使i的值加1，即i＝i＋1；
第五步，若i≤100，则返回第三步，重新执行第三步、第四步、第五步，否则输出S，算法结束．
【名师点评】 对于有规律的数学问题(如累加、累乘等)，我们可以通过归纳概括，由已知条件作为递推和迭代的基础，推出一般情况．
变式训练3 写出求1×3×5×7×9×11的值的一个算法．
解：S1 求1×3，得到结果3；
S2 将S1得到的乘积3再乘以5，得到结果15；
S3 将15再乘以7，得到105；
S4 将105再乘以9，得到945；
S5 将945再乘以11，得到10395.
任意给不等三个数a，b，c，设计一个算法，将a，b，c按从小到大的顺序排列出来．
【思路点拨】 只需将这三个数两两进行比较，并将最小的数赋给a，将最大的数赋给c，然后按a，b，c的顺序输出即可．
【解】 算法步骤为：
S1 输入三个数a，b，c；
S2 如果a>b，则将a，b两个数交换(t＝a，a＝b，b＝t)；否则转到下一步；(经过这一步，a储存的数就不超过b储存的数了)
非数值型计算问题的算法
例4
S3 如果a>c，则将a，c两个数交换(t＝a，a＝c，c＝t)；否则转到下一步；(此时a储存的数就不超过c储存的数了)
S4 如果b>c，则交换b，c两数(t＝b，b＝c，c＝t)；否则，转到下一步；(此时b储存的数就不超过c储存的数了)
S5 输出a，b，c.
【名师点评】 本例需三次比较，而每次比较时都引入第三个变量t，它只是起到“中转站”的作用，经过t把a，b中的数据进行交换，这个道理类似于用一盘空磁带把两盘内容不同的磁带A、B进行转录(交换磁带A、B的内容)．
变式训练4 现在有三个油瓶，分别能装8 kg、5 kg、3 kg的油，当8 kg的瓶子装满时，设计一个用这三个瓶子倒油的算法，怎样倒能使这些油被平分到两个瓶子里．
解：S1 先规定8 kg的大油瓶为A、5 kg和3 kg的油瓶分别为B、C；
S2 从A往C倒3 kg，将C装满，此时A中剩下5 kg的油；
S3 将C中的3 kg油倒进B；
S4 再从A往C内倒3 kg的油；
S5 从C往B倒2 kg，即将B装满；
S6 将B中油全部倒入A；
S7 将C中油全部倒入B；
S8 从A往C倒油，将C装满，此时A中的油为4 kg；
S9 将C中油全部倒入B，则B中油也为4 kg.
1．正确理解算法的概念．一个程序的算法要本着方便、简洁的原则，还应讲究科学性，算法的步骤是按一定顺序进行的，不具有可逆性．
2．在设计算法的过程中要牢固把握住算法的五个特征：有限性、确定性、可行性、不唯一性、普遍性．
方法感悟
3．给出一个问题，设计算法时应注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般方法；
(2)综合考虑此类问题的所有可能涉及的情况；
(3)将解决问题的过程分为若干个步骤；
(4)用简炼语言将各个步骤表示出来．
4．设计数值型问题算法时，如果有公式可用，应尽量应用公式来设计算法，如果有数学结论可用，应尽量应用数学结论来设计算法．
5．对于非数值型问题，在设计算法时，应当先建立过程模型，再把它细化为具体步骤即可．
知能优化训练
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§1.3 中国古代数学中的算法案例
1.3
中国古代数学中的算法案例
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.通过阅读课本中的算法案例，体会其中蕴涵的算法思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平，并能利用它们解决具体问题．
2．对本节涉及的几种算法——等值算法、割圆术、秦九韶算法，应在理解的基础上掌握其程序及算法步骤，体会古代数学中的算法思想．
课前自主学案
1．编写算法常用的语句有输入语句、___________、赋值语句、___________、循环语句，对应着_______结构、条件结构、
______结构．
2．在两个正数的所有公约数中最大的一个公约数为它们的______________
温故夯基
输出语句
条件语句
顺序
循环
最大公约数．
1．等值算法在我国古代也称为
_________________，它是用来求两个正整数____________的算法，其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到__________________为止，则所得数就是____________________
2．割圆术是我国魏晋时期的数学家________在注《九章算术》中采用________________逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的一种方法．
知新益能
更相减损之术
最大公约数
所得的两数相等
所求的最大公约数．
刘徽
正多边形面积
3．秦九韶算法是我国南宋数学家________在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算多项式的值的方法．
思考感悟
如果多项式中按x的降幂排列时“缺项”，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么问题？
提示：所缺的项应添零补齐，即将所缺的项补上，写成系数为零．
秦九韶
课堂互动讲练
最大公约数的求法
考点突破
例1
分别用辗转相除法和等值算法求319和261的最大公约数．
【思路点拨】 使用辗转相除法可依据m＝nq＋r，反复执行，直到r＝0为止；用等值算法是根据m－n＝r，直到n＝I为止．
【解】 辗转相除法：319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)．
所以319与261的最大公约数是29.
等值算法：319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29.
即(319,261)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)．
所以319与261的最大公约数是29.
【名师点评】 可以发现辗转相除法和等值算法求得的最大公约数是相同的，但用辗转相除法的步骤较少，而等值算法运算简单、但步骤较多，在解题时应灵活运用．
求多项式的值
例2
用秦九韶算法计算f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6在x＝2时的值．
【思路点拨】 可根据秦九韶算法原理，先将所给的多项式进行改写，然后由内向外逐次计算即可．
【解】 先将f(x)化为
f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6
＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6.
v1＝1×2＋2＝4，
v2＝v1×2＋3＝11，
v3＝v2×2＋4＝26，
v4＝v3×2＋5＝57，
v5＝v4×2＋6＝120.
故多项式f(x)在x＝2时的值f(2)＝120.
【名师点评】 利用秦九韶算法计算多项式的值，关键是能否正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于下一次计算需用到上一次的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．另外，当多项式有几项不存在时，可将这几项的系数看作0.
变式训练1 求多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7当x＝5时的值．
解：f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7
＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x＋7，
v1＝2×5－5＝5，
v2＝5×5－4＝21，
v3＝21×5＋3＝108，
v4＝108×5－6＝534，
v5＝534×5＋7＝2677.
所以f(5)＝2677.
实际应用
例3
【思路点拨】 根据题意，每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求任意两个数的最大公约数，然后再求这个数与第三个数的最大公约数．
【名师点评】 将生活中的问题转化为数学模型，利用数学思想中的算法解决，较为简便．
变式训练2 有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g、343 g、133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？
解：由题意，每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求147与343的最大公约数：
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49.
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数：
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公约数是7.
∴每瓶最多装7 g.
1．用等值算法求两数最大公约数时，当大数减去小数的差恰好等于小数时停止减法，这时小数就是要求的两数的最大公约数．
2．求三个或三个以上的数的最大公约数时，可依次通过求两数的最大公约数与第三个数的最大公约数求得．
3．用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外逐层计算求得．
方法感悟
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3.3.2 随机数的含义与应用
3.3.2
随
机
数
的
含
义
与
应
用
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.了解随机数的含义，能利用随机模拟方法(包括用计算机产生随机数模拟)估计事件的概率．
2．学习中初步体验现代信息技术在数学学习和日常生活中的广泛应用，体会随机模拟中的统计思想(用样本估计总体)．
几何概型中，事件A的概率为____________，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域的几何度量．
课前自主学案
温故夯基
1．随机数就是在一定范围内_____________的数，并且得到这个范围内的每一个数的_______一样．
2．用函数型计算器产生随机数的方法：
按一次 键产生一个0～1之间的随机数，若需要多个，则__________________
3．计算机中用软件产生的随机数(本书用Scilab产生随机数)．
知新益能
随机产生
机会
重复按键．
3．计算机中用软件产生的随机数(本书用Scilab产生随机数)．
(1)Scilab中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数，______________________，就产生一个随机数；
(2)若要产生a～b之间的随机数，可以
__________________________________
每调用一次rand( )函数
使用变换rand( )*(b－a)＋a得到．
思考感悟
利用随机模拟法获得的事件发生的可能性与频率有什么区别？
提示：利用随机模拟法获得的事件发生的可能性的大小数据也是一种频率，只能是随机事件发生的概率的一种近似估计．但是，由于随机数产生的等可能性，这种频率比较接近概率．并且，有些试验没法直接进行(如下雨)，故这种模拟法在科学研究中具有十分有益的作用．
课堂互动讲练
用随机模拟估计长度型几何概率
考点突破
取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
【思路点拨】 在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意实数，并且每一个实数被取到的可能性相等，因此在任意位置剪断绳子的所有结果(即基本事件)对应
例1
[0,3]上的均匀随机数，其中[1,2]上的均匀随机数就表示剪断位置与端点的距离在[1,2]内，也就是剪得两段的长都不小于1 m．这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内的随机数个数之比就是事件A发生的概率．
【解】 法一：(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数，a1＝rand()．
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．
法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．
【名师点评】 用随机模拟的方法解决与长度有关的几何概型，关键在于将对应的区域长度转化为随机数的范围[a，b]，进而在[a，b]上产生随机数．
变式训练1 在区间[0,3]内任取一个实数，用随机模拟法求该实数不小于2的概率．
解：(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数，a＝rand( )．
(2)经过伸缩变换a＝a1*3，得到一组[0，3]上的均匀随机数。
(3)统计出[2，3]内随机数的个数N1 和[0,3]内随机数的个数N.
(4) 计算频率， 即为所求概率．
利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积(如图所示)，并估计π的近似值．
用随机模拟估计面积型几何概率
例2
【解】 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝rand()，b1＝rand( )．
(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝(b1－0.5)*2，得到两组[－1,1]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1(满足a2＋b2≤1的点(a，b)的数)．
【名师点评】 用随机模拟的方法估计几何概型的维数，以确定随机数的组数，其次由对应区域的长度确定随机数的范围，同时，对于A组变量的随机试验还要正确处理变量间的函数关系．
变式训练2
如图所示，向边长为4的正方
形内投入飞镖，求飞镖落在中
央边长为2的正方形内的概率．
先计算其概率，并用计算机随
机数模拟试验估计其概率，写出算法步骤．
S2 用变换rand()*4－2产生两个－2～2的随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标．
S3 判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|＜1，|y|＜1，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变．
S4 表示随机试验次数的计数器n值加1，即n＝n＋1.如果还需要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积
利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积.
【思路点拨】 解答本题可先
计算与之相应的规则多边形的
面积，而后由几何概率进行面积估计．
例3
【解】 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，
a1＝rand( )，b1＝rand( )．
(2)经过平移和伸缩变换a＝a1]N1,N)就是点落在阴影部分的概率的近似值．
【名师点评】 本题在解答过程中易犯如下错误：认为阴影部分的点满足条件b＞2－2a－a2，导致错误的原因是没有验证而直接给出．
变式训练3
利用随机模拟法近似计
算图中阴影部分(曲线
y＝log3x与x＝3及x轴围
成的图形)的面积．
解：如图所示，作矩形，设事件A表示“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
S1 用计数器n记录做了多少次投点
试验，用计数器m记录其中有多少次
(x，y)满足y＜log3x(即点落在阴影部
分)．首先置n＝0，m＝0；
S2 用变换rand()*3产生0～3之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用函数rand( )产生0～1之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；
S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y＜log3x.如果是，则计数器m的值加1，则m＝m＋1.如果不是，m的值保持不变；
S4 表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1.如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．
1．利用随机模拟方法求概率，其实质是先求频率，用频率近似代替概率，其关键是设计好具体的步骤，并找到各数据满足的条件．
2．用模拟试验法计算不规则图形的面积，实质上就是利用模拟法求二维型几何概率的一个延伸性的应用，它相当于给定概率求面积的问题．
方法感悟
知能优化训练
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1.2.2 条件语句
1.2.2
条
件
语
句
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
学习目标
1.经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解条件语言及条件语言在程序语言中的作用，进一步体会算法的基本思想．
2．掌握两种条件语句的一般格式，并能在实际中根据问题灵活使用条件语句编写Scilab程序．
课前自主学案
1．赋值语句格式：_________________
2．输入语句一般格式：变量＝input(“提示内容”)．
3．输出语句一般格式：①
________________________；②_______ (“提示内容”)．
温故夯基
变量名＝表达式．
print(%io(2)，表达式)
disp
1．概念：处理___________________的算法语句，叫做条件语句．
2．条件语句的一般格式有两种，一种是____________格式，其形式为
；另一种是if end格式，其形式为
.
知新益能
条件分支逻辑结构
if else end
思考感悟
if语句中两种格式对应的程序框图分别是什么？
提示：两种格式对应的程序框图分别是：
3．作用
(1)一般格式：如果表达式结果为_____，则执行表达式后面的语句序列1；如果表达式结果为_____，则执行else后面的语句序列2.
(2)最简单格式：如果表达式结果为_______，则执行表达式后面的语句序列1，否则
_________________.
真
假
真
跳过语句序列1
课堂互动讲练
应用条件语句编写程序
考点突破
运用Scilab程序语言中的条件语句写出求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的程序．
例1
【解】 程序如下：
【名师点评】 (1)disp也是Scilab的输出语句，运行后在界面窗口上显示双引号中间的文字．
(2)这个程序运行后，第一步：要求你输入方程中的常数a、b、c.第二步：计算d.第三步：用if语句对d进行判断，如果d＜0，用语句disp输出方程无解信息．第四步：否则(else)也就是d≥0，则计算并输出．
变式训练1 编写程序，输入一个x值，要求输出它的绝对值．
解：程序如下：
应用复合if语句编写程序
例2
以下给出一个算法：
S1 输入x；
S2 若x<0，则y＝x＋1；否则执行S3；
S3 若x＝0，则y＝0；否则y＝x；
S4 输出y.
(1)指出该算法的功能；
(2)将该算法用程序框图表示出来；
(3)写出该算法的程序．
【思路点拨】 该问题提供的是一个问题的算法的自然语言的表述，它是一个分段函数模型．解决此问题可先由条件入手分析，再依次画出框图，并写出程序语句．
(2)程序框图如图所示．
(3)程序为：
【名师点评】 求分段函数的函数值的数学模型，在求值时，由于自变量的值不同，其函数值的求法不同，故先对x的值进行判断，根据具体数值选择不同的计算方法，故用条件语句进行设计．
变式训练2 试设计一个程序，对于输入的任意两个实数a，b，求出其差的绝对值，并画出程序框图．
解：当a≥b时，其差的绝对值为a－b，否则等于b－a，可以利用条件语句来描述这个算法．程序框图如图所示．
程序为：
条件语句的嵌套
例3
某商场实行优惠措施，若购物金额x在800元以上含800元，打8折；若购物金额x在500元以上含500元，则打9折，否则不打折，设计程序框图，要求输入购物金额x能输出实际交款额，并写出相应程序．
【思路点拨】 重点应用条件语句，注意多重判断的应用．
【解】
程序如下：
【名师点评】 条件语句使程序框图中的条件分支结构能让计算机执行．其中if后的“条件”表示判断的条件，放在判断框中，语句序列1表示满足条件时执行的操作内容，放在判断框中“是”后的执行框中，语句序列2表示不满足条件时执行的操作内容，放在判断框中“否”后的执行框中．
变式训练3 乘火车从A地到B地的票价为50元，某儿童欲随父母从A地到B地去旅游，铁路部门规定：儿童乘火车时，若身高不超过1.1 m，则无需购票；若身高超过1.1 m，但不超过1.4 m，可以买半票；
若超过1.4 m，应买全票．试就该儿童买票的票价情况，设计一个购票算法，要求先画出程序框图，再写程序．
解：该儿童购票的算法步骤为：
S1 测量儿童身高h；
S2 如果h≤1.1，那么免费乘车；否则，如果h≤1.4，则购半票乘车；否则购全票．
S3 输出结果．
程序框图如图所示．
程序如下：
由程序画框图
画出下面的程序所描述的一个程序框图．
例4
【思路点拨】 依程序可知，输入的是两个点的坐标，求出的是斜率．
【解】 程序框图如图所示．
变式训练4 根据下面的程序，画出其对应的程序框图．
1．条件语句用来实现算法中的条件分支结构，在一些需要按给定条件进行比较、判断的问题中，如判断一个数的正负，比较两个数的大小等，常用条件语句设计程序．
2．求分段函数的函数值时，往往需要用到条件语句，有时还需要用到条件语句的嵌套．
3．条件语句主要有两种格式，(1)if－else－end格式，它有两个语句序列；(2)if－end格式，它仅有一个语句序列，使用时应根据情况灵活选用．
方法感悟
4．程序语句并不是孤立的，它与算法、程序框图密切相关，找到其联系与区别，是学好本部分知识的关键．
知能优化训练
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