24.1.4圆周角自学学案

24．1.4圆周角自学学案
学习目标:理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理、推论的内容和圆内接四边形的性质及简单应用；
学习重点:圆周角的概念和圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质。
学习过程:学习课本84—86页内容，完成下列目标：
一、了解圆周角概念，知道它的两个特征：1、顶点在圆上；2、两边都与圆相交
二、证明、理解圆周角定理。
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO=2∠ABO
∴∠ABC=∠AOC
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径BD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？
（提示：试一试能否证明出∠AOD与∠ABO的关系，∠COD与∠CBO的关系，从而证明出∠AOC与∠ABC的关系）
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径BD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？
（提示：试一试能否证明出∠AOD与∠ABO的关系，∠COD与∠CBO的关系，从而证明出∠AOC与∠ABC的关系）
由此可得圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
理解并掌握圆周角定理的推论。
（1）填一填：半圆或直径所对的圆心角是 度，所对的圆周角就是 度；90°的圆周角所对的圆心角是 度，所对的弦就是
由此可得圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（2）试着证明圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。（提示：根据圆周角定理以及圆心角与弧的关系定理）
四、掌握圆内接四边形及其性质。
1、了解圆内接四边形的定义；
2、通过例2上面的证明过程，理解并掌握圆内接四边形的性质。
五、练习
1.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？（ ）
2．在⊙O中，同弦所对的圆周角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
3．下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
5．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
6．如图，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
7．如图6，AB是⊙O的直径，=，∠A=25°，则∠BOD= ．
8. 如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
9．如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．