人教版数学 九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教案

《垂直于弦的直径》教学设计
教材分析：
垂直于弦的直径是在学生学习了轴对称图形、直角三角形、圆的有关概念的基础上进行的。在学习本节之前已通过折纸、对称、平移、旋转推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了一定的空间与图形的经验。
垂径定理是圆的一个重要的性质定理，它对线段的计算、证明线段相等、弧相等等问题提供了十分简便的方法。
学情分析：
学生数学学习状况分析 :
1. 学生的数学学习无目的、无计划、无标准要求。对学了什么, 应掌握什么,有什么作用是茫然的。
2. 学生对数学学习不主动、自觉性差, 对学习内容的理解和学习任务的完成是被动消极的,所以同学间常出现抄作业现象,学习具有依赖性。
3.部分好学生有上进的心理,但缺乏勤奋刻苦的学习精神,学习兴趣不浓，学习中思想常常走神或学习时间内干其他事情, 具有学习意志不坚定性。
4．学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。
教学目标 ：
一、 知识与技能：
1.知道圆是轴对称图形.
2.明白垂径定理的题设和结论及定理的推理过程.
3.能初步应用垂径定理进行计算和证明
二、 过程与方法：
经历圆是轴对称图形、垂径定理的探究过程，发 展合情
推理能力，体会转化、数形结合的思想.
三、情感态度与价值观：
1、通过对赵州桥历史的了解，渗透爱国教育，感受数学在 生活中的运用，激发学习热情.
2.在探究活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探究的结果.
【重难点】
重点：垂径定理及应用.
难点：垂径定理的证明及应用.
教学过程
教学环节 教师活动
预设学生行为
设计意图
一、创设问题情境，
激发学生兴趣，引出本节内容
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，
问题探究1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
探索圆的
对称性
通过动手折叠，培养学生的动手操作能力，使学生在解决问题的过程中不断探究、学习新知识.
二、
问题
引申，
探究
垂直
于弦
的直
径的
性质，
培养
学生
的探
究精
神
三、学以致用：（多媒体展示）
问题探究2：在纸上的圆中任意画一条弦ＡＢ 作直径ＣＤ垂直弦ＡＢ于Ｅ(垂直于弦的直径) 垂足为E.想一想：
（1）此图是轴对称图形吗？如果是对称轴是什么？
（2）你能发现哪些相等的线段和弧？为什么？
图1
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？
在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理 ：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC 与弧BC 重合．因此AM=BM， 弧AC =弧BC ，同理得到 弧AD =弧BD．
图2
让学生经历知识的形成过程，并围绕问题情景探究思考.使学生明白轴对称图形的性质在证明题时的应用.体验用“叠合”法推证问题的过程，形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神. 多媒体演示进一步帮助理解，规范学生证明步骤。
探索
垂径定理
做一做：利用垂径定理
（1）你能平分一条弧吗？
（2）算一算
现在你能解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗？
变式训练：（多媒体展示）
改变赵州桥问题中的条件
1）已知跨度、半径求拱高。
2）已知半径、拱高求跨度
3）已知弦心距半径求跨度
判断：
1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分( )
4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条( )
学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．
融合课本88页练习第2题、95页习题第8题 .揭示弦、弦心距、半径、拱高四者之间的关系。引导学生把圆的问题转化为直角三角形的问题来解决。
设计判断题是为了消除对垂径定理的认识误区；
四、巩固提高：（多媒体展示）
1、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
2、 已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC弧等于BD弧
根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．
通过寻找
一段弧的
中点,进一
步理解垂
径定理．巩固提高和课堂检测目的是进一步巩固定理，利用定理进行计算、证明。使学生明确解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
五、当堂训练：（多媒体展示）
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径
六、
归纳小结、
布置作业
小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
已知：在半径为5cm的⊙O中，两条平行弦AB,CD 分别长8cm、6cm.求：两条平行弦间的距离
培养学生的归纳能力，巩固新知．
板书设计
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。