上海2020-2021学年曹杨二中高三上学期期中仿真密卷
数学学科
（满分150分，考试时间120分钟）
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分.
已知集合则
．
已知复数满足为虚数单位），则
．
函数的最大值为
．
设函数的反函数是，则
．
二项展开式中第三项的系数是
．
在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为
．
已知定义在上的偶函数为，在上单调递增，则不等式的解集是
．
已知中，角的对边分别为，且，则的值是
．
已知直线交抛物线于两点，若该抛物线上存在点，使得为直角，则实数的取值范围是
．
若直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值集合是
．
平面上有相异的11个点，每两个连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是
．
设都是不为零的实数，且，则，利用此性质，可求得函数的值域是
．
选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.
某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，期中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（
）
84
B.
78
C.81
D.96
已知a、b均为不等式1的正实数，则是的（
）
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
设函数若是的最小值，则a的取值范围为（
）
B.
C.
D.
某同学对函数进行研究后，得出以下结论：
①函数的图像是轴对称图形；
②对任意实数，均成立；
③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④当常数k满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点。其中真命题的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
三、解答题（本大题满分76分）
17、（第一问6分，第二问8分，共14分）
如图，在长方体中，AB=2，AD=1，=1。
证明：直线平行于平面;
求平面与长方体底面所成的锐角（用反三角函数值表示）
（第一问6分，第二问8分，共14分）
在平面直角坐标系中，已知动点到两定点的距离之和为.直线是过点的任意一条直线.
求动点所在曲线的轨迹方程；
若直线与曲线交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
（第一问6分，第二问8分，共14分）
如图，是折线型海岸线，，海岸线含的部分是大海。现用长为的栏网围成一个三角形游泳场所，其中.
若，证明：三角形游泳场所面积的最大值为；
若，由于人数的增加需要扩大游泳场所面积，现在折线内选点，现用长为，的栏网围成一个四边形游泳场所，使（单位：百米），求四边形游泳场所的最大面积.
（第一问4分，第二问5分，第三问7分，共16分）
设
若数列是常数列，求实数的值；
若，证明数列是等差数列，并求的通项公式；
若，问是否存在实数使得对所有成立？若存在，求出的值，并证明；若不存在，说明理由。
（第一问4分，第二问6分，第三问8分，共18分）
已知函数.
判断函数的奇偶性和单调性，并说明理由；
设，证明：；
设数列中，，求的取值范围，使得对任意成立。
第17页，共18页上海2020-2021学年曹杨二中高三上学期期中仿真密卷数学学科
答题
一、填空题（本大题共有
12
小题，第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分）
1．
2．
3．2
4．-2
5．60
6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．
二、选择题（本大题共有4小题，每题5分，共
20
分）
13．B
14．D
15．D
16．C
三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20题16分，21题18分，共76分）
17．解：（1）证明：因为,所以直线平行于平面
（2）
平面与长方体底面所成的角为.
18．解：（1）由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，长半轴为的椭圆，所以，，，则椭圆方程为
由题意，直线是过点的任意一条直线，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时易得，（设点位于第一象限），此时；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立直线与曲线的方程，，得到，设，
则，所以
原点到直线的距离，所以
由，得到，此时无最大值；
综合两种情况得，所以面积最大值为。
19、解：（1）设，在中利用余弦定理和面积公式，得到
，
所以
所以三角形游泳场所面积的最大值为；
由（1）得，面积最大为，
此时，所以两点为定点，又为定值且大于，
根据椭圆的定义知，点轨迹是以为焦点，长半轴的椭圆在海水中的部分，
椭圆半焦距，所以，
所以当点位于椭圆上顶点时，面积最大为，
所以四边形游泳场所的最大面积为。
20．解：（1）由题意得
所以，经检验符合题意；
（2）因为，所以，可得，
所以，又，
所以数列是以1为等差，以0为首项的等差数列，
所以，所以
设，则.
令，即，解得.
下面用数学归纳法证明加强命题.
当时，，所以，成立；
假设时结论成立,即
易知在上为减函数
从而
再由在上为减函数得到
故，因此，所以当时结论成立.
综上，符合条件的存在，其中一个值为.
21．解：（1）根据函数，求出定义域，即
奇偶性：，所以为奇函数；
单调性：，且
则
因为，所以，所以，所以，即，所以函数为上的增函数
令，在上是增函数，
又，
即
.
（3）
当为奇数时，
当为偶数时，
设，则在上是增函数，
在上是增函数。
对任意成立，恒成立
即解得：，即
解得：.
第16页，共21页2020-2021学年曹杨二中高三上学期期中仿真密卷数学学科
答题
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.
[A]
[B]
[C]
[D]
14.
[A]
[B]
[C]
[D]
[A]
[B]
[C]
[D]
16.
[A]
[B]
[C]
[D]
三、解答题：（本大题满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内，写出必要的步骤．
17．（本题第一问6分，第二问8分，共14分）
（本题第一问6分，第二问8分，共14分）
19、（本题第一问6分，第二问8分，共14分）
20、（本题第一问4分，第二问5分，第三问7分，共16分）
21．（本题第一问4分，第二问6分，第三问8分，共18分）
12
C
B
C
A
B
