上海2020-2021学年高三上学期期中仿真密卷数学学科
答题
一、填空题：（本大题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
二、选择题：
(本大题满分20分)
本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对5分，否则一律
得零分．
13.
[A]
[B]
[C]
[D]
14.
[A]
[B]
[C]
[D]
15.
[A]
[B]
[C]
[D]
16.
[A]
[B]
[C]
[D]
三、解答题：（本大题满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内，写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）
18.
（本题满分14分）
19．（本题满分14分）
20．（本题满分16分）
21．（本题满分18分）
12上海2020-2021学年高三上学期期中仿真密卷
数学学科
参考答案
一、填空题
1．若，则方程的解为
．
【答案】或
【解析】原式
2．设函数，若函数存在两个零点，则
实数的取值范围是
.
【答案】
【解析】存在两个零点，即与有两个交点，由图像数形结合可知的取值范围是
3．阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为，那么运行相应程序，输
出的的值为
．
【答案】
【解析】，不是奇数，否，以此类推，得
4．设的内角的对边分别为，且
则
.
【答案】
【解析】
由正弦定理可知
5．已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相同，若圆柱与球的表面积相等，则它们的体积之比
．
【答案】
【解析】
已知数列的通项公式为，则的最简表达式为
．
【答案】
【解析】
已知正方形的四个顶点分别为，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是
．
【答案】
【解析】设
联立得
消去得
已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，都有，当的时，，在区间上的反函数为，则=
．
【答案】
【解析】
9．现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张，从中任取张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张，不同取法的种数为
．
【答案】
【解析】
10.已知是内部一点，，记的面积分别为，则=
．
【答案】
【解析】延长到,，延长到，
11.
函数,对任意的都有成立，则的最小值为___________
【答案】
【解析】，由题意和图像可得，即求相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值
12.
设数列是首项为的递增数列，函数.若满足：对于任意的总有两个不同的根，则数列的通项公式为
.
【答案】
【解析】
二、选择题
13.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为
（
）
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】
【解析】
14．已知函数.若存在，使成立，
则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有（
）
【A】个
【B】个
【C】个
【D】个
【答案】
【解析】
15．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（
）
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】A
【解析】由题意知，在以为圆心，为半径的圆上，为圆的切线
为右顶点，，故选A
16.
关于曲线：的下列说法：①关于原点对称；②关于直线对称；③是封闭图形，面积大于；④不是封闭图形，与圆无公共点；⑤与曲线D：的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的个数是（
）
【A】个
【B】个
【C】个
【D】个
【答案】
【解析】①②将方程换成换成，方程不变，所以曲线关于轴、轴、原点对称
对于③，互换原方程发生变化，③错;
,点在圆外，④对
三、解答题：
17．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，垂足在上，且
，，是的中点，四面体的体积为.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求点到平面的距离.
【答案】
【解析】(1)由已知,,在平面ABCD内，过C做
交AD于点H，连接PH，则就是所求角.在中，
由余弦定理可得,所以异面直线所成夹角为.
(2)因为,所以两个平面相互垂直，在平面ABCD内过D做,交BF延长线于K,则平面,的长就是所求点到平面的距离.
,中，到平面的距离为.
18．如图所示，某人在斜坡处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高米，塔所在山高米，
米，观测者所在斜坡近似看成直线，斜坡与水平面夹角为，
（1）以射线为轴的正向，为轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡所在直线方程；
（2）当观察者视角最大时，求点的坐标（人的身高忽略不计）.
【答案】
【解析】(1)由题意可知,点的坐标为
，所以直线的斜率为
所以直线方程为:
(2)设,
为锐角，
等号成立条件此时，，所以P点坐标为
19．数列满足,且，是的前和.
（1）求；
（2）猜想.
【答案】见解析
【解析】（1）由题可得同理，
（2）
用数学归纳法证明：由（1）可知
假设猜想成立，则，
即,,即，
，即
即
所以当时猜想成立.
20．如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点
的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）求证：点的横坐标为定值.
【答案】(1)
(2)(3)有定值1
【解析】
短轴长4，焦距为2，
解得
即椭圆方程为
(2)解设
，
即Q的轨迹方程为
(3)证明：设直线AC方程为：
设直线BD方程为：
联立消去
又三点共线，
代入整理得
21．已知函数，为常数，且.
（1）证明函数的图象关于直线对称；
（2）当时，讨论方程解的个数；
（3）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，则是否有两个二阶周期点，说明理由.
【答案】（1）见解析（2）当
方程有两个解；有三个解；
有四个解
有两个解
（3）
【解析】
(1)设点
则
所以函数的图像对称关于
（2）
如图所示，所以，当
方程有两个解
有三个解，
有四个解
有两个解
(3)
若
若
同理
所以有四个解：
所以二阶周期点有两个：
哈佛北大精英创立上海2020-2021学年高三上学期期中仿真密卷
数学学科
（满分150分，考试时间120分钟）
一.
填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．若，则方程的解为
．
2．设函数，若函数存在两个零点，则
实数的取值范围是
.
3．阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为，那么运行相应程序，输
出的的值为
．
4．设的内角的对边分别为，且
则
.
5．已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相同，若圆柱与球的表面积相等，则它们的体积之比
．
已知数列的通项公式为，则的最简表达式为
．
已知正方形的四个顶点分别为，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是
．
已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，都有，当的时，，在区间上的反函数为，则=
．
9．现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张，从中任取张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张，不同取法的种数为
．
10.已知是内部一点，，记的面积分别为，则=
．
11.
函数,对任意的都有成立，则的最小值为___________
12.
设数列是首项为的递增数列，函数.若满足：对于任意的总有两个不同的根，则数列的通项公式为
.
二.
选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为
（
）
【A】
【B】
【C】
【D】
14．已知函数.若存在，使成立，
则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有（
）
【A】个
【B】个
【C】个
【D】个
15．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（
）
【A】
【B】
【C】
【D】
16.
关于曲线：的下列说法：①关于原点对称；②关于直线对称；③是封闭图形，面积大于；④不是封闭图形，与圆无公共点；⑤与曲线D：的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的个数是（
）
【A】个
【B】个
【C】个
【D】个
三.
解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，垂足在上，且
，，是的中点，四面体的体积为.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求点到平面的距离.
18．如图所示，某人在斜坡处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高米，塔所在山高米，
米，观测者所在斜坡近似看成直线，斜坡与水平面夹角为，
（1）以射线为轴的正向，为轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡所在直线方程；
（2）当观察者视角最大时，求点的坐标（人的身高忽略不计）.
19．数列满足,且，是的前和.
（1）求；
（2）猜想.
20．如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点
的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）求证：点的横坐标为定值.
21．已知函数，为常数，且.
（1）证明函数的图象关于直线对称；
（2）当时，讨论方程解的个数；
（3）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，则是否有两个二阶周期点，说明理由.
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