上海2020-2021学年进才中学高三上学期期中仿真密卷数学学科
答题卷
一.填空题（本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共
54
分）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
二、选择题：（本大题共有4题，每题5分，共
24
分）
13.
[A]
[B]
[C]
[D]
14.
[A]
[B]
[C]
[D]
15.
[A]
[B]
[C]
[D]
16.
[A]
[B]
[C]
[D]
三、解答题：（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内，写出必要的步骤．
17.
（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
18.
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
19.
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
20.
（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
21.
（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
12
B上海2020-2021学年进才中学高三上学期期中仿真密卷
数学学科
（满分150分，考试时间120分钟）
一.填空题（本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共
54
分）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.①③
12.
二.选择题（本大题共有4题，每题5分，共
24
分）
13.
C
14.
D
15.
B
16.
C
三.解答题（本大题共5小题，共76分）
17.
（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
【解析】（1）∵底面，底面，∴．
又底面是正方形，∴，
∵，∴平面，
∵，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴，∴平面．
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
由（1）可设，则，
设是平面的法向量，则即
可取，
∴，
设与平面所成角为，则，
∵，当且仅当时等号成立，
∴与平面所成角的正弦值的最大值为．
18.
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
【解析】（1）证明：
由正弦定理可得：
所以
（2）由（1）可得：
所以，所以或
当时，；
当时，.
19.
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
【解析】（1）联结，则在中，
由，得：，
∴的长约为163米.
（2）方法一：设，则，
在中，由，
得：，
∴，
∴当时，取得最大值，
此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为千米，约为631米
方法二：设千米，千米（），
在中，由，得，
∴，
又由，得，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，
∴围成该施工区域所需的板材长度最长为千米，约为631米.
20.
（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
22.（1）；（2）；（3）；
已知函数；
（1）当时，若，求的取值范围；
（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，
求在上的反函数；
（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
【解析】（1）原不等式可化为，
，得
（2）是奇函数，，得
当时，，
此时
当时，，
此时
（3）在上恒成立
当时，，所以
当时，，所以
所以
21.
（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
【解析】（1）
（2）若则，不合题意
，
若，则
的原像且
，矛盾
所以
（3）因为是单调递增函数，所以对任意
所以，同理，
若存在，使得，则
于是，记
所以同理，，由
得
对任意，取中的自然数，
则
综上或
或，其中
或，其中上海2020-2021学年进才中学高三上学期期中仿真密卷
数学学科
（满分150分，考试时间120分钟）
一.填空题（本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共
54
分）
1.
不等式的解为
2.
已知集合，，则
3.
若，则的最小值为
4.
在无穷等比数列中，，，则
5.
正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角
的大小为，则正四棱柱的侧面积为
6.
若行列式的第1行第2列的元素的代数余子式为，则实数的取值集合为
7.
方程的解为
8.
从集合中任取两个数，要使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则
9.
若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是
已知，点、分别是函数（）图像和线段上的动点，其中，，且轴，若恒成立，则的最大值是
11.
对于函数，有下列4个命题：
①
任取，都有恒成立；
②
，对于一切恒成立；
③
函数有3个零点；
④
对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是；
则其中所有真命题的序号是
12.
已知函数存在实数，且有，使得，则的最小值是
二.选择题（本大题共有4题，每题5分，共
24分）
13.
若，，则下列不等式成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
14.
设、、是三个不重合的平面，是直线，给出下列命题：
①
若，，则；②
若上两点到的距离相等，则∥；
③
若，∥，则；④
若∥，，且∥，则∥；
其中正确的命题是（
）
A.
①②
B.
②③
C.
②④
D.
③④
15.
已知函数（为常数，且），对于定义域内的任意两个实数
、，恒有成立，则正整数可以取的值有（
）个
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
16.
方程所有的正数解之和为（
）
A.
B.
C.
D.
三.解答题（本大题共5小题，共76分）
17.
（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为.
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与
平面所成角的正弦值的最大值.
18.
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知△的三个内角、、所对应的边分别为、、，复数，（其中是虚数单位），且.
（1）求证：，并求边长的值；
（2）判断△的形状，并求当时，角的大小.
19.
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离，现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区，经测量，边界与的长都是200米，，.
（1）若，求的长；（结果精确到米）
（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）
20.
（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知函数；
（1）当时，若，求的取值范围；
（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，
求在上的反函数；
（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
21.
（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，其中、是非空数集且，设
，.
（1）若，，求；
（2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由；
（3）若且，，单调递增，求集合、.
