上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷
数学学科
参考答案
一.
填空题
1.
2.
3.
4.
（）
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
选择题
13.
B
14.
C
15.
C
16.
B
三.解答题
17．
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；
（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.
【详解】
证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以
又，，平面，因此平面；
（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为，所以，
所以，，
设是平面的法向量，
所以，
设是平面的法向量，
所以，
二面角的余弦值的绝对值为，
所以二面角的正弦值为.
【点睛】
本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a因此，
所以，
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得万元到万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的.
（1）请分析函数是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若华为公司采用模型函数作为奖励函数模型，试确定正整数的取值集合.
【答案】（1）不符合，原因见解析（2）的取值集合为
【解析】
【分析】
（1）根据题意，总结奖励模型需要满足的条件①在定义域上是增函数；②恒成立；③恒成立；判断单调性及最值，即可求解；
（2）由题意，依此判断分段函数的单调性，最大值和，即可求解参数范围，由为正整数，即可确定取值集合.
【详解】
（1）设奖励函数模型为，按公司对函数模型的基本要求，函数满足:当时，①在定义域上是增函数；②恒成立；③恒成立.对于函数模型.当时，是增函数，所以不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.
（2）对于函数模型，当时，在定义域上是增函数，且恒成立；当时，，只有时，在定义域上是增函数；要使在恒成立，，即；要使恒成立对恒成立，即，即恒成立，所以；
综上所述，，所以满足条件的正整数a的取值集合为
【点睛】
本题结合实际问题，考查了（1）函数的单调性，最值和恒成立问题；（2）由函数的单调性最值和不等式确定参数的取值范围；考查计算能力，考查数学建模思想，属于中等题型.
20．已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）设直线和的斜率分别为和，求证:为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据离心率和代入椭圆方程可求得和，进而求得，方程可得；
（2）由题意显然直线方程为，联立直线与椭圆的方程消去得.因为直线与椭圆交于不同的两点，，∴，可得，再用坐标表示出，即可求取值范围.
（3）由（2）用坐标表示出化简即可.
【详解】
（1）由题意得，解得，.∴椭圆的方程为.
（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得.?
∵直线与椭圆交于不同的两点，，
∴，解得.
设，的坐标分别为，，则，，
又，，
，
∵，∴，
∴的范围为.
（3）由（2）得
所以为定值，
【点睛】
本题考查主要考查椭圆的标准方程求解，运用韦达定理解决直线与椭圆相交问题，椭圆定点问题，考查逻辑推理能力和计算求解能力，综合性较强，有一定难度.
21．已知定义在上的函数和数列满足下列条件:，当且时，且，其中均为非零常数.
（1）数列是等差数列，求的值；
（2）令，若，求数列的通项公式；
（3）证明:数列是等比数列的充要条件是.
【答案】（1）1（2）（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意知，，得，再由等差数列，即可求解值；
（2）由，可得，因此，由此可知，数列是一个公比为的等比数列.
（3）先进行充分性证明：若则数列是等比数列；再进行必要性证明：若数列是等比数列，则.
【详解】
（1）由已知，，
得，
由数列是等差数列，得，
所以，，，
得.
（2）由，可得，
且当时，
，
所以，当时，，
因此，数列是一个公比为的等比数列.
故通项公式为
（3）是等比数列的充要条件是，
充分性证明:若，则由已知，
得，所以，是等比数列.
必要性证明:若是等比数列，由（2）知，，
，
.
当时，.上式对也成立，
所以，数列的通项公式为:.
所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列.
所以，.
当时，.?上式对也成立，
所以，.
所以，.
即，等式对于任意实数均成立.
所以.
【点睛】
本题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题.
第16页，共21页上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷
数学学科
（满分150分，考试时间120分钟）
一.
填空题
1.
已知集合，，则
2.
若，则
3.
若是等差数列的前项和，，，则
4.
函数（）的反函数是
5.
数列的前项和，则的通项公式
6.
已知等比数列的各项均为正数，且，则
7.
已知等差数列的首项及公差均为正数，令（，），
当是数列的最大项时，
8.
如图，有一壁画，最高点处离地面，最低点
处离地面，若从离地高的处观赏它，
则离墙
时视角最大
9.
已知数列中，其中，，那么
10.
记为不大于的最大整数，设有集，，
11.
已知函数，上有两个不同的零点，则的取值范围
12.
已知数列满足：（），其中表示不超过实数的最大整数，设为实数，且对任意的正整数，都有（其中符号为连加号，如），则的最小值是
二.
选择题
13.
设，
则“”是“”的（
）条件
A.
充分而不必要
B.
必要而不充分
C.
充要
D.
既不充分也不必要
14.
设点、、不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
15.
已知函数（，，）是奇函数，且的最小
正周期为，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所
得图像对应的函数为，若，则（
）
B.
C.
D.
2
16.
已知是数列的前项和，且，若，则的最小值（
）
A.
B.
4
C.
D.
三.解答题
17．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得万元到万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的.
（1）请分析函数是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若华为公司采用模型函数作为奖励函数模型，试确定正整数的取值集合.
20．已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）设直线和的斜率分别为和，求证:为定值.
21．已知定义在上的函数和数列满足下列条件:，当且时，且，其中均为非零常数.
（1）数列是等差数列，求的值；
（2）令，若，求数列的通项公式；
（3）证明:数列是等比数列的充要条件是.
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