上海2020-2021学年松江二中高三上学期期中仿真密卷数学学科
答题
一、填空题：（本大题满分54分）本大题共有12题，直接将答案填写在答题纸上，其中第1-6小题每小题4分，第7-12小题每小题5分．
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
一、选择题：
(本大题满分20分)
本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律
得零分．
13.
[A]
[B]
[C]
[D]
14.
[A]
[B]
[C]
[D]
15.
[A]
[B]
[C]
[D]
16.
[A]
[B]
[C]
[D]
三、解答题：（本大题满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内，写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
18.
（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
21．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
12上海2020-2021学年松江二中高三上学期期中仿真密卷
数学学科
参考答案
一、填空题（1-6，每个4分，7-12每个5分，合计54分）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
二、选择题（每个5分，合计20分）
13、A
14、C
15．A
16.
B
三、解答题
17．
解：（1）由题意，得OA＝2，PO＝6，
∴
………………………2分
∴圆锥的侧面积为；……………………4分
体积为
；………………6分
（2）取PO的中点E，连接DE，CE，
则∠CDE或其补角即为所求，如图所示；………………
8分
因AO⊥EO，AO⊥CO，EOCO=O知，AO⊥平面ECO又，∴DE⊥平面ECO，∴DE⊥EC，
∴是
………………
10分
由，
………………
11分
………………
13分
∴，即异面直线AB与CD所成的角为．…………14分
18.（1）当时，由得，…………………2分
令，则，即，…………………4分
即，则所求的不等式的解为.……………………6分
（2）任取，因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
………………2分
则恒成立，
即，，…………………4分
又，则，
即对恒成立，…………………………6分
又，即，
则所求的实数的取值范围为.………………………………8分
19.(1)因为两点关于直线对称，所以点的坐标是，又点恰在平衡位置，为最低点，得，将带入得，再结合为最低点得，所以段的函数解析式为
(2)由对称性可知的解析式为：
，若股价至少是买入价的两倍，则解得，所以买入天后股价至少是买入价的两倍。
20．（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，
…………………3分
解得，，则所求双曲线的方程为.……………………………4分
（2）设，，由，得，
则，，且，
………………………………………………………………2分
又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，
即，即，
则，
……………………………4分
即，则或，
即实数的取值范围.
…………………6分
（3）线段在轴上的射影长是.
设，由（1）得点，
又点是线段的中点，则点，
……………2分
直线的斜率为，直线的斜率为
，又，
则直线的方程为，即，
又直线的方程为，联立方程，
消去化简整理，得，又，
代入消去，得，
即，则，
即点的横坐标为，
……………5分
则.
故线段在轴上的射影长为定值.
……6分
说明：看作是在或方向上投影的绝对值，请相应评分.
21.（1）显然时，存在正整数使得成立符合题意时，对任意的存在正整数使得成立
（2）因为是等差数列，首项，公差
所以对任意的存在正整数使得成立
当时，，公差，所以正整数只能是1，所以
验证：时，对任意的存在正整数使得成立
（3）由（2）知，可以构造一个回归的等差数列
验证：
时，是奇数，是偶数，是偶数
是奇数，所以
对任意的存在正整数，使得成立
对任意的一个等差数列
一定得到
是常数，是等差数列，首项为0
对任意的，它的前项和，假设它是回归数列，则存在正整数使得成立
成立
解得
，
令，，随着的增大而增大
当为奇数时，在奇数集上单调递减，，
当为偶数时，在偶数集上单调递增，，
，，，,即的最小值是
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数学学科
（满分150分，考试时间120分钟）
一．填空题(本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分,
7-12题每个空格填对得5分)
1.
设集合，，则
．
2.
若复数满足，则
．
3.
已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点
在函数的图像上，则实数
．
4.
已知等差数列的前项和为，则
．
5.
若增广矩阵为的线性方程组无解，则实数的值为
．
6.
已知双曲线标准方程为，则其焦点到渐近线的距离为
．
7.
若向量，满足，且，，则向量与夹角为
．
8.
在△中，内角、、所对的边分别是、、，若，，
则△的面积
．
9.
若，则图像上关于原点对称的点共有
对.
10.
已知、、是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值
是
．
11．已知，均是等差数列，，若的前三项是，则＝
．
12．设，我们可以证明对数的运算性质如下：
①
我们将①式称为证明的“关键步骤”．则证明（其中）的“关键步骤”为
．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．已知点，曲线的方程，曲线的方程，则“点
在曲线上”是“点在曲线上”的（
）
A.充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分又非必要条件
14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
15．若展开，则展开式中的系数等于
（
）
A.在1,2,3,4,5中所有任取两个不同的数的乘积之和；
B.在1,2,3,4,5中所有任取三个不同的数的乘积之和；
C.在1,2,3,4,5中所有任取四个不同的数的乘积之和；
D.以上结论都不对．
16．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，.下列判断错误的是（
）
A.当时，辅助角.
B.当时，辅助角.
C.当时，辅助角.
D.当时，辅助角.
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．
（1）求圆锥的侧面积与体积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.
(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
在股票市场上，投资者常根据股价(每股的价格)走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点:每日股价(元)与时间(天)的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述(如右图)，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.
老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且段与段关于直线对称，点的坐标分别是，
（1）请你帮老张确定的值，并写出段的函数解析式；
（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍?
20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；
（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称数列是“回归数列”．
（1）前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；
（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；
（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由．
第17页，共18页
