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第五章
三角函数
第4节
三角函数的图象与性质
基础巩固
1．（2020·湖南茶陵三中高一月考）函数的最小正周期为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·广东中山·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·上海市七宝中学）函数，的最小正周期是（
）
A．12
B．6
C．
D．
4．（2020·平凉市庄浪县第一中学期中）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·辽宁沈河·沈阳二中其他（理））如果函数的图象关于直线对称,那么取最小值时的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·江西期末（理））已知函数的部分图象如图所示，则（
）
A．
B．1
C．
D．
7．（2020·河南濮阳·高一期末（文））下列函数中，为偶函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·陕西临渭·高一期末）设函数，则下列结论正确的是（
）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点是
D．在单调递增
9．（2020·大庆市第十中学高一期末）函数（x∈R）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x＝0
B．
C．
D．
10．（2020·全国高一专题练习）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·山东省五莲县第一中学月考）函数的值域是
（
）
A．0
B．
C．
D．
12．（2020·江西省信丰中学高一期末）函数的图象
（
）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于点对称
D．关于直线对称
13．（2020·六盘山高级中学高一期末）在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（
）．
①在上单调递增，②以为周期；③是奇函数．
A．
B．
C．
D．
14．（2020·广东濠江·金山中学期中（理））已知函数，，则下列说法正确的是（
）
A．与的定义域都是
B．为奇函数，为偶函数
C．的值域为，的值域为
D．与都不是周期函数
15．（2018·浙江全国·高三一模）若函数，，则是（
）
A．最小正周期为为奇函数
B．最小正周期为为偶函数
C．最小正周期为为奇函数
D．最小正周期为为偶函数
16．（多选题）（2020·福建三明一中月考）（多选）下列命题中，真命题的是（
）
A．的图象与的图象关于轴对称
B．的图象与的图象相同
C．的图象与的图象关于轴对称
D．的图象与的图象相同
17．（多选题）（2020·山东淄博·高一期末）对于函数，下列四个结论正确的是（
）
A．是以为周期的函数
B．当且仅当时，取得最小值-1
C．图象的对称轴为直线
D．当且仅当时，
18．（多选题）（2020·江苏苏州·高一期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的可能值为（
）
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）（2020·江苏海安高级中学高二期末）关于函数，如下结论中正确的是（
）．
A．函数的周期是
B．函数的值域是
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上递增
20．（多选题）（2020·陕西渭滨·高一期末）函数的一个对称中心是（
）
A．
B．
C．
D．
拓展提升
1．（2020·天津红桥·高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数取得最大值时的集合.
2．（2020·武功县普集高级中学高一月考）用五点法作出函数在内的图像.
3．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数
的值域.
4．（2020·湖南茶陵三中高一月考）已知，，.
（1）求的解析式；
（2）求的最小正周期和最大值.
5．（2020·北京期末）已知函数，其，_____.
（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，
注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.
求出、的值；若不存在，请说明理由．
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第五章
三角函数
第4节
三角函数的图象与性质
基础巩固
1．（2020·湖南茶陵三中高一月考）函数的最小正周期为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：,故选B.
2．（2020·广东中山·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A选项，的定义域为，故A不满足题意；
D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；
B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；
C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.
3．（2020·上海市七宝中学）函数，的最小正周期是（
）
A．12
B．6
C．
D．
【答案】A
【解析】函数的最小正周期为：.
4．（2020·平凉市庄浪县第一中学期中）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：由，得，
所以函数的定义域为，故选：C
5．（2020·辽宁沈河·沈阳二中其他（理））如果函数的图象关于直线对称,那么取最小值时的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解:
函数的图象关于直线对称,
所以,
即,
取最小值时.
6．（2020·江西期末（理））已知函数的部分图象如图所示，则（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数的部分图象知，
，，解得，
∴；
又，
可得，，
解得，，
∵，∴可得，
∴，
∴.
7．（2020·河南濮阳·高一期末（文））下列函数中，为偶函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A,函数关于对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；
对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误；
对于C,，则函数是偶函数，满足条件，故C正确；
对于D,由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D错误.
8．（2020·陕西临渭·高一期末）设函数，则下列结论正确的是（
）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点是
D．在单调递增
【答案】B
【解析】因为，所以选项A错误；
因为，所以选项B正确；
因为，所以选项C错误；
的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.
9．（2020·大庆市第十中学高一期末）函数（x∈R）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x＝0
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】的对称轴方程由得：，
当时，即为其一条对称轴的方程，故选B．
10．（2020·全国高一专题练习）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得，函数的周期为，只有C,D满足题意，
对于函数在上为增函数，
函数在上为减函数，故选D.
11．（2020·山东省五莲县第一中学月考）函数的值域是
（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，所以
当
时，
，所以
，所以值域为
综上，所以
12．（2020·江西省信丰中学高一期末）函数的图象
（
）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．关于点对称
D．关于直线对称
【答案】A
【解析】对于函数，令，得，，
令，得，，
所以，函数的图象的对称中心坐标为，对称轴为直线，
令，可知函数图象的一个对称中心坐标为，故选A.
13．（2020·六盘山高级中学高一期末）在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（
）．
①在上单调递增，②以为周期；③是奇函数．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对A，周期为，不满足②，故排除A；
对B，在上单调递减，且为偶函数，故排除B；
对C，满足条件.
对D，在上单调递减，且周期为，故排除D.
14．（2020·广东濠江·金山中学期中（理））已知函数，，则下列说法正确的是（
）
A．与的定义域都是
B．为奇函数，为偶函数
C．的值域为，的值域为
D．与都不是周期函数
【答案】C
【解析】．与的定义域都是，故错误，
．，则是偶函数，故错误，
．，，的值域为，，的值域，，故正确，
．则是周期函数，故错误，
15．（2018·浙江全国·高三一模）若函数，，则是（
）
A．最小正周期为为奇函数
B．最小正周期为为偶函数
C．最小正周期为为奇函数
D．最小正周期为为偶函数
【答案】A
【解析】由题意，函数，
又由
可得是奇函数，且最小正周期，
16．（多选题）（2020·福建三明一中月考）（多选）下列命题中，真命题的是（
）
A．的图象与的图象关于轴对称
B．的图象与的图象相同
C．的图象与的图象关于轴对称
D．的图象与的图象相同
【答案】BD
【解析】对于A，是偶函数，而为奇函数，故与的图象不关于轴对称，故A错误；
对于B，，即其图象相同，故B正确；
对于C，当时，，即两图象相同，故C错误；
对于D，，故这两个函数图象相同，故D正确，
17．（多选题）（2020·山东淄博·高一期末）对于函数，下列四个结论正确的是（
）
A．是以为周期的函数
B．当且仅当时，取得最小值-1
C．图象的对称轴为直线
D．当且仅当时，
【答案】CD
【解析】解：函数的最小正周期为，
画出在一个周期内的图象，
可得当，时，
，
当，时，
，
可得的对称轴方程为，，
当或，时，取得最小值；
当且仅当时，，
的最大值为，可得，
综上可得，正确的有．
故选：．
18．（多选题）（2020·江苏苏州·高一期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的可能值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】解：因为，所以，
所以在单调递增，所以，解得，
所以的取值范围是
19．（多选题）（2020·江苏海安高级中学高二期末）关于函数，如下结论中正确的是（
）．
A．函数的周期是
B．函数的值域是
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上递增
【答案】ACD
【解析】A．∵，
∴，
∴是周期为的周期函数，A正确，
B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错；
C．∵，
∴函数的图象关于直线对称，C正确；
D．由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确．
20．（多选题）（2020·陕西渭滨·高一期末）函数的一个对称中心是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为；；
；当时，
.
所以、是函数的对称中心.
拓展提升
1．（2020·天津红桥·高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数取得最大值时的集合.
【解析】(1)在上的增区间满足:,,
∴,解得:,,
所以单调递增区间为,,
单调递增区间为,.
(2)，
令：,，解得：,，
函数取得最大值的集合为:.
2．（2020·武功县普集高级中学高一月考）用五点法作出函数在内的图像.
【解析】列表：
0
1
0
－1
0
1
5
3
1
3
5
描点得在内的图像（如图所示）：
3．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数
的值域.
【解析】(1)由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数的值域为：.
4．（2020·湖南茶陵三中高一月考）已知，，.
（1）求的解析式；
（2）求的最小正周期和最大值.
【解析】（1）
∴
（2）由（1）可得，
∵
∴的最大值为
5．（2020·北京期末）已知函数，其，_____.
（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，
注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.
【解析】解：选①，（1）因为，
，
故函数的周期；
（2）因为，所以，
当即时，函数取得最小值，当即时，函数取得最大值，
选②，（1）
，
，
故函数的一个周期，
（2）由可得，
时即时，函数取得最大值，
当时即时，函数取得最小值.
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