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第五章
三角函数
第1节
任意角和弧度制
基础巩固
1．（2020·南昌县莲塘第二中学期末）下面与角终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：因为.所以与的终边相同.
2．（2020·山东省五莲县第一中学月考）化为弧度是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
3．（2020·辽宁大连·高一期末）若，则点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】由知：
∴，
故，P位于第三象限
4．（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm，圆心角为，则此扇形的面积为（
）．
A．8cm2
B．10cm2
C．12cm2
D．14cm2
【答案】A
【解析】解：设扇形的半径为cm，
∵扇形的周长为12cm，圆心角为，
∴，得，
∴此扇形的面积（cm2）
5．（2019·新疆高一期末）若，则角的终边在（
）
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第一、四象限
D．第二、四象限
【答案】B
【解析】由可得
或当时，角的终边位于第一象限，当时，角的终边位于第三象限.
6．（2020·河南商丘·月考（理））中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（
）
A．7点36分
B．7点38分
C．7点39分
D．7点40分
【答案】B
【解析】设7点分时针与分针重合.
在7点时，时针与分针所夹的角为，
时针每分钟转，分针每分钟转，
则分针从到达需旋转，时针从到达需旋转，
于是，解得（分）
7．（2020·安徽省泗县第一中学开学考试）已知角α终边过点P(1，－1)，则tanα的值为（
）
A．1
B．－1
C．
D．－
【答案】B
【解析】因为角α终边过点P(1，－1)，
所以由正切函数定义知＝－1.
8．（2020·天水市第一中学期中）如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆的半径为，则有，可得，所以这个圆心角所对的弧长为，故选A．
9．（2020·广东高一期末）下列说法正确的是（
）
A．终边相同的角一定相等
B．是第二象限角
C．若角，的终边关于轴对称，则
D．若扇形的面积为，半径为2，则扇形的圆心角为
【答案】D
【解析】A：两个角的终边相同，但是这两个角不相等，故本说法错误；
B：，而，所以是第三象限角，故本说法错误；
C：当时，两个角的终边关于轴对称，而，故本说法错误；
D：设扇形的弧长为，因为扇形的面积为，半径为2，所以有，因此扇形的圆心角为.
10．（2020·湖北黄冈·高一月考）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（
）
A．6.33平方寸
B．6.35平方寸
C．6.37平方寸
D．6.39平方寸
【答案】A
【解析】连接OC，设半径为r，寸，则
在直角三角形中，
即，解得
则
，所以
则
所以扇形的面积
三角形的面积
所以阴影部分面积为
11．（2020·安徽高三月考（文））达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得
12．（2020·永州市第四中学高一月考）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
根据三角函数的定义可知，，
所以点的坐标是.
13．（2020·广东梅州·高三其他（理））在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个坐位的宽度()，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，为弯管，为6个座位的宽度，
则
设弧所在圆的半径为，则
解得
可以近似地认为，即
于是，长
所以是最接近的，其中选项A的长度比还小，不可能，
因此只能选B，260或者由，
所以弧长.
14．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）设是第一象限角，且，则是第（
）象限角
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】B
【解析】∵是第一象限角，∴，，
∴，，
∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，
∵，∴，∴是第二象限角.
15．（2020·上海高三专题练习）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示：
由题意可知，小圆总与大圆相内切，且小圆总经过大圆的圆心，
设某时刻两圆相切于点，此时动点所处的位置为点，
则大圆圆弧与小圆转过的圆弧相等，
以切点在如图上运动为例，记直线与此时小圆的交点为，
记，则，
所以，
所以大圆圆弧的长为，小圆圆弧的长为，
所以，
所以小圆的圆弧与圆弧的长相等，
所以点与点重合，即动点在线段上运动，
同理可知，此时点在与垂直的线段上运动，
点在其它位置类似可得，、的轨迹为互相垂直的线段.
观察四个选项可知，只有选项符合.
16．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列与角的终边相同的角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】因为，
所以与角的终边相同角为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，选项A、C、D正确.
17．（多选题）已知是第三象限角，则可能是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】BD
【解析】因为是第三象限角，所以，，
，，
当为偶数时，是第二象限角；当为奇数时，是第四象限角
18．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（
）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的，的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
【答案】ABC
【解析】由题意，对于A中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以是正确的；
对于B中，周角为，所以的角是周角的，周角为弧度，所以的角是周角的是正确的；
对于C中，根据弧度制与角度制的互化，可得，所以是正确；
对于D中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D项是错误的.
19．（多选题）（2020·重庆高一月考）设是第三象限角，则所在象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】BD
【解析】是第三象限角，
，，
则，，
令，
有，；在二象限；
，，
有，；在四象限；
拓展提升
1．（2020·浙江课时练习）若点在角的终边上，求的值．
【解析】由题意，知点在第二象限，
且．
故，
，
．
2．（2020·全国高一课时练习）已知如图．
（1）写出终边落在射线、上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
【解析】（1）终边落在射线上的角的集合是，
终边落在射线上的角的集合；
（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是.
3．（2020·全国高一课时练习）写出终边在直线上的角的集合.
【解析】直线的倾斜角为，
所以终边在直线上的角为或，
，
综合得终边在直线上的角为，
所以终边在直线上的角的集合为.
4．（2020·南昌县莲塘第二中学期末）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度.
（1）求这个圆心角所对的弧长；
（2）求这个扇形的面积.
【解析】∵扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角2弧度，∴扇形半径为．
（1）这个圆心角所对的弧长为．
（2）扇形面积为．
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三角函数
第1节
任意角和弧度制
基础巩固
1．（2020·南昌县莲塘第二中学期末）下面与角终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·山东省五莲县第一中学月考）化为弧度是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·辽宁大连·高一期末）若，则点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm，圆心角为，则此扇形的面积为（
）．
A．8cm2
B．10cm2
C．12cm2
D．14cm2
5．（2019·新疆高一期末）若，则角的终边在（
）
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第一、四象限
D．第二、四象限
6．（2020·河南商丘·月考（理））中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（
）
A．7点36分
B．7点38分
C．7点39分
D．7点40分
7．（2020·安徽省泗县第一中学开学考试）已知角α终边过点P(1，－1)，则tanα的值为（
）
A．1
B．－1
C．
D．－
8．（2020·天水市第一中学期中）如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·广东高一期末）下列说法正确的是（
）
A．终边相同的角一定相等
B．是第二象限角
C．若角，的终边关于轴对称，则
D．若扇形的面积为，半径为2，则扇形的圆心角为
10．（2020·湖北黄冈·高一月考）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（
）
A．6.33平方寸
B．6.35平方寸
C．6.37平方寸
D．6.39平方寸
11．（2020·安徽高三月考（文））达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·永州市第四中学高一月考）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·广东梅州·高三其他（理））在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个坐位的宽度()，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）设是第一象限角，且，则是第（
）象限角
A．一
B．二
C．三
D．四
15．（2020·上海高三专题练习）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列与角的终边相同的角是（
）
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）已知是第三象限角，则可能是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
18．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（
）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的，的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
19．（多选题）（2020·重庆高一月考）设是第三象限角，则所在象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
拓展提升
1．（2020·浙江课时练习）若点在角的终边上，求的值．
2．（2020·全国高一课时练习）已知如图．
（1）写出终边落在射线、上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
3．（2020·全国高一课时练习）写出终边在直线上的角的集合.
4．（2020·南昌县莲塘第二中学期末）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度.
（1）求这个圆心角所对的弧长；
（2）求这个扇形的面积.
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