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第五章
三角函数
第2节
三角函数的概念
基础巩固
1．（2020·北京延庆·期末）若角终边经过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·江西省奉新县第一中学月考（理））若是第四象限角，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·江苏高三月考）若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·山西忻府·忻州一中高二开学考试）若角的终边上有一点，则（
）
A．3
B．
C．1
D．
5．（2020·江西省信丰中学高一期末）已知点落在角的终边上，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·西藏日喀则·高三其他（文））已知，则
A．
B．
C．
D．
7．（2020·玉门市第一中学高三月考（文））若，则的值为（
）
A．-
B．-
C．
D．
8．（2020·四川射洪中学高二开学考试）设角的终边与单位圆相交于点，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·江西高一期末（文））若角的终边过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·湘乡市第二中学高二开学考试）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2019·河南中牟·期末（文））已知，则的值为
（
）
A．－4
B．4
C．－8
D．8
12．（2019·河南中牟·期末（文））若，且为第四象限角，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·洮南市第一中学月考（文））若是第二象限的角，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·江西省万载中学高二开学考试）已知，是方程的两个根，则（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2020·福建高三其他（理））如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数.
中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
16．（多选题）（2020·全国高一课时练习）给出的下列函数值中符号为负的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
17．（多选题）（2020·山东临沂·高一期末）对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（
）
A．①③
B．①④
C．④⑥
D．②⑤
18．（多选题）设角的终边上一点P的坐标是，则的值不可能为（
）、
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）（2020·海南临高二中高二期末）下列结论正确的是（
）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
20．（多选题）（2019·福建三明·高一期中）下列说法错误的是（
）
A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度
B．若，则
C．若角的终边过点，则
D．当时，
拓展提升
1．（2020·全国高一课时练习）在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα－3cosα＋tanα的值.
2．（2020·浙江课时练习）若点在角的终边上，求的值．
3．（2020·启东市吕四中学高三开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
（1）若点B的横坐标为－，求tan
α的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
（3）若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
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第五章
三角函数
第2节
三角函数的概念
基础巩固
1．（2020·北京延庆·期末）若角终边经过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为角终边经过点，
则.
2．（2020·江西省奉新县第一中学月考（理））若是第四象限角，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：因为，所以，即，
因为，
所以，即，
因为是第四象限角，所以
3．（2020·江苏高三月考）若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以，即，
解得.
4．（2020·山西忻府·忻州一中高二开学考试）若角的终边上有一点，则（
）
A．3
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
5．（2020·江西省信丰中学高一期末）已知点落在角的终边上，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，即，，
所以.
6．（2020·西藏日喀则·高三其他（文））已知，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
所以，
所以.
7．（2020·玉门市第一中学高三月考（文））若，则的值为（
）
A．-
B．-
C．
D．
【答案】C
【解析】.
8．（2020·四川射洪中学高二开学考试）设角的终边与单位圆相交于点，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由三角函数的定义，知，，所以.
9．（2020·江西高一期末（文））若角的终边过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为角的终边过点，可得，
所以.
10．（2020·湘乡市第二中学高二开学考试）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因此.
11．（2019·河南中牟·期末（文））已知，则的值为
（
）
A．－4
B．4
C．－8
D．8
【答案】C
【解析】
故选C
12．（2019·河南中牟·期末（文））若，且为第四象限角，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵sina=,且a为第四象限角,
∴，
则
13．（2020·洮南市第一中学月考（文））若是第二象限的角，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：是第二象限的角，所以，∴
所以是第一或第三象限的角，又，是第一象限的角，
所以，由二倍角公式可得.
14．（2020·江西省万载中学高二开学考试）已知，是方程的两个根，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，是方程的两个根，
可得，
，
得，解得
15．（2020·福建高三其他（理））如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数.
中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】解：设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，
∵每个顶点都是三个面的公共点，
∴，又，解得，
∴共有20个六边形；
又由题意得，，，
∴，解得，
∵，
∴，
16．（多选题）（2020·全国高一课时练习）给出的下列函数值中符号为负的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】BCD
【解析】A为正，∵，∴是第一象限角，∴；B为负，，∴是第三象限角，∴；C为负，∵，是第二象限角，∴；D为负，∵，5弧度是第四象限角，∴；E为正，因为是第四象限角，∴.
17．（多选题）（2020·山东临沂·高一期末）对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（
）
A．①③
B．①④
C．④⑥
D．②⑤
【答案】BC
【解析】若为第二象限角，则，，.
所以，为第二象限角或或.
18．（多选题）设角的终边上一点P的坐标是，则的值不可能为（
）、
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】因为角的终边上一点P的坐标是，
则，，
所以角第一象限角，
所以，
所以，，
当时，为第一象限的角，
所以的值可能为，
和不可能为的值，
而不是第一象限的角．
所以A，B，C都不能取到．
19．（多选题）（2020·海南临高二中高二期末）下列结论正确的是（
）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
【答案】BC
【解析】选项A：终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；
选项B：设扇形的半径为，
扇形面积为，所以B正确；
选项C：角的终边过点，根据三角函数定义，
，所以C正确；
选项D：角为锐角时，，所以D不正确.
20．（多选题）（2019·福建三明·高一期中）下列说法错误的是（
）
A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度
B．若，则
C．若角的终边过点，则
D．当时，
【答案】ABC
【解析】对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，命题错误；
对于B，若，则，命题错误；
对于C，若角的终边过点，则，命题错误；
对于D，当时，，命题正确.
拓展提升
1．（2020·全国高一课时练习）在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα－3cosα＋tanα的值.
【解析】当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sinα＝＝＝－，cosα＝＝，
tanα＝＝－.
所以sinα－3cosα＋tanα＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sinα＝＝，cosα＝＝－，
tanα＝＝－.
所以sinα－3cosα＋tanα＝－3×－＝＋－＝.
综上，sinα－3cosα＋tanα的值为－或.
2．（2020·浙江课时练习）若点在角的终边上，求的值．
【解析】由题意，知点在第二象限，
且．
故，
，
．
3．（2020·启东市吕四中学高三开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
（1）若点B的横坐标为－，求tan
α的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
（3）若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
【解析】（1）由题意可得B，
根据三角函数的定义得tan
α＝＝－.
（2）若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为.
（3）若α∈，则S扇形＝αr2＝α，
而S△AOB＝×1×1×sin
α＝sin
α，
故弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sin
α，α∈.
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