八年级数学实数复习指导（含三套试题）

《实数》复习与回顾
一、知识梳理
1.平方根
（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的________.0的算术平方根是_____。
（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于，即_____，那么这个数x就叫做的_______。
（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。
（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。
2.立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于，即_____，那么这个数x就叫做的立方根。
（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。
（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。
3.实数
（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。
（2）实数的定义： _____和_____统称实数。
（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。
（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。
（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。
4.实数的运算：
（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。
（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为__________；__________。
二、考点例析
考点1 平方根、立方根的定义与性质
例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。
①625 ②（-2）2 ③（-1）3
（2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。
① ②-343 ③-22
分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。
解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±=±25；②因为（-2）2=4>0，故其平方根有两个，即±=±2；③因为（-1）3=-1<0, 故其不存在平方根。
（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。①； ② ；
③-22的立方根。
说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。
考点2 实数的分类与性质
例2 下列各数中：
－，，3.14159, －π,,－,0,0.,,,2.121122111222…
其中有理数有__________________________；无理数有__________________________。
　　分析：对于、等应先化简再判断。
解：有理数：－，3.14159,0,0.3,,
无理数有：,－π,,－,2.12112111222……
说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。
例3 的相反数是 ；的绝对值是 ；-的倒数是 。
分析：如果表示一个正实数，那么－就表示一个负实数，与－互为相反数；0的相反数依然是0。一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。非零实数a的倒数是。
解：的相反数是1-；的绝对值是；-=-，所以-的倒数是-。
说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是一样的。
考点3 实数的运算
例4 （1）计算：
（2）化简得（ ）
（A）-2 （B） （C）2 （D）
分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。
解：（1）原式=0.2×=；
（2）=－2。故选（A）。
说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。
考点4 非负数
例5 已知，为实数，且，则的值为（ ）.
（A）3 （B）－3 （C）1 （D）－1
分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常重要的性质：若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。利用这个性质可解本题，
解：由题意，得，，即，，所以。故选（D）。
说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。
考点5 数形结合题
例6 已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a-b｜－｜a＋b｜
分析：要化简｜a-b｜－｜a＋b｜，需根据数轴上a、b的位置判断a-b和a+b的符号。
解：因为a>0，b<0，且∣a∣<∣b∣，所以a-b>0，a+b<0，
所以原式=（a-b）+（a+b）=a-b+a+b=2a
说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。
考点6 探究题
例7 阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
（1）、观察上面的解题过程，请直接写出式子：
（2）、利用上面所提供的解法，请化简：
分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。
解：（1）。
（2）原式==。
说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。
三、易错点例析
1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透
理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“”成了平方根等等。
例1 （1）求6的平方根 （2）求的算术平方根
错解：（1）；（2）的算术平方根是9
错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中=9，的算术平方根其实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。
正确解法：（1）；（2）的算术平方根是3。
例2 求64与-27的立方根。
错解：64的立方根是±4，-27没有立方根。
错解分析：64的立方根是4，只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；-27的立方根是-3，错误地认为-27没有立方根是与负数没有平方根相混淆。
正确解法：因为43=64，所以64的立方根是4。因为（-3）3=-27，所以-27的立方根是-3。
2、忽略平方根成立的条件
只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。
例3 当m取何值时，有意义？
错解：不论m取何值时，都无意义。
错解分析：考虑不全，漏掉了m=0时的情况。
正确解法：当m=0时，-m2=0，此时有意义。
3、实数分类时只看表面形式
对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。
例4 下列各数－2、、3.14159、-、、（-）2、、中无理数有 ．
错解：无理数有、-、、（-）2、。
错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。其实能化简的应先化简，-=-3，（-）2=7，=2，所以它们是有理数。
正确解法：无理数有、。
4、运算错误
在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。
例5 化简（1）5 （2）
错解：（1）5=5=2；
（2）==（-3）×（-5）=15
错解分析：（1）中合并同类二次根式时丢掉了从而出错；（2）中忽略了公式的应用条件，即a≥0，b≥0，因为负数没有平方根，虽然最后结果正确，但解法是错误的。
正确解法：（1）5=5=2；
（2）===3×5=15。
四、考点链接
　　中考中对于实数一章的考查，其题型主要有选择题、填空题、解答题。近几年题型变化比较大，创设了一些新的情境，考查学生灵活运用所学知识的能力，这也是近几年考查的热点和趋势。下面是2007年各省市关于实数的中考题的归类说明。
1、利用平方根、算术平方根、立方根的定义与性质解题
（1）（资阳市）如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．
（2）（安顺市）的平方根是 ．
（3）(南京市)的算术平方根是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（4）(遵义市)的立方根是 ．
（5）(永州市)＝________。
（6）（南宁市）若，则的值等于（ ）
A． B． C．或2 D．0或
分析：本组题目主要考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，其中（6）小题与方程相结合，可由得（x+1）2=1，又由（±1）2=1得x+1=±1，再进一步求出x即可。
解：（1）36；（2）±2；（3）选B；（4）2；（5）0.1；（6）选D
2、考查实数的有关概念及实数大小的比较
（7）(金华市)的相反数是 ．
（8）（旅顺口）如图，在数轴上，两点之间表示整数的点有 个．
（9）（江西省）在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 ．
（10）(河北省)比较大小：7 ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
（11）(广州市)下列各数中，最小的数是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．
(12)(中山市)在三个数0.5、、中，最大的数是（ ）。
A、0.5 B、 C、 D、不能确定
分析：涉及数轴、相反数、绝对值、无理数等实数的有关概念及实数大小的比较历来是中考考查的基本内容。实数进行大小比较的基本原则是：数轴上右边的数总是大于左边的数。
解：（7）；（8）4；（9）；（10）＜；（11）A；(12) B
3、考查非负数的性质及其应用
（13）（成都市）已知，那么的值为 ．
分析：先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入代数式求解即可。
解：由题意，得a-2=0，b+5=0，即a=2，b=-5，所以=2+(-5)=-3。故的值为-3。
4、考查实数的化简与运算
（14）（潍坊市）化简的结果是（ ）
A．10 B．2 C．4 D．20
（15）（江西省）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（16）（南京市）下列各数中，与的积为有理数的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（17）（荆门市）下列计算错误的是( )
A． B．
C． D.
（18）（青岛市）计算：＝ .
（19）（黄冈市）计算：（+2）（-2）=
（20）（临沂市）计算的结果是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．12
（21）（嘉兴市）计算：＋(－1)3－2×．
分析：中考中，有关实数运算的题目一般难度不大。要注意：化简时把能开得尽方的因数都开出来，使结果成最简形式；运算时一定要注意运算顺序，另外，应用乘法公式可简化计算，如（19）小题可使用平方差公式。
解：（14）B；（15）D；（16）D；（17）D（18）1；（19）1；（20）D；（21）原式=2
《实数》随堂小测（A 卷）
（本试卷满分100分） 班级_______ 姓名_______ 分数_______
一、仔细选一选：（每题4分，共24分）
1．16的平方根是
A、4 B、-4 C、±4 D、±2
2．立方根等于3的数是（　 　）
A、9　　　　　　B、　　　　　　C、27　　　　　D、
3、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根。其中正确的有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
4、下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
5、估计 的大小应在( )
A.7～8之间 B.8.0～8.5之间 C. 8.5～9.0之间 D. 9.0～9.5之间
6、下列计算中，正确的是（ ）
A.2+3=5 B.（+）·=·=10
C.（3+2）（3－2）=－3 D.（）()=2a+b
二、细心填一填：（每题5分，共30分）
1、的相反数是 ；绝对值是 。
2、下列各数：、、、-、、0.01020304…中是无理数的有_____________________.
3、比较大小，填＞或＜号： 11； ．
4、利用计算器计算≈ ；≈ （结果保留4个有效数字）。
5、一个正数x的平方根是2a3与5a，则a的值为____________．
6、绝对值小于的整数有____________．
三、用心解一解：（共46分）
1、求下列各式中未知数x的值（每小题4分，共8分）
（1） （2）
2、化简（每小题5分，共20分）
（1）-3 （2）×+5
（3） (2-) （4）
3、（8分）用铁皮制成一个封闭的正方体，它的体积是1.331立方米，需要多大面积的铁皮才能制成？
4、（10分）观察
， 即；
即；猜想：等于什么，并通过计算验证你的猜想。
随堂小测（A卷）答案：一、CCBDCC
二、1、2-； 2、、、0.01020304… 3、＜；＞ 4、1.773；4.344 5、-2 6、-2、-1、0、1、2
三、1、（1）x=±（2）x=3
2、（1）原式=
（2）原式=；
（3）原式=2；
（4）原式=6-3
3、设正方体的边长为x米，则x3=1.331，x=1.1，1.12×6=7.26平方米。
4、猜想：=5。验证==5。
《实数》随堂小测（B 卷）
（本试卷满分100分） 班级_______ 姓名_______ 分数_______
一、仔细选一选：（每题4分，共20分）
1、的平方根等于（　　　）
（A）9 （B）±9 （C）3 （D）±3
2、下列说法正确是（　　　）
A　不存在最小的实数　　 　B　有理数是有限小数
C　无限小数都是无理数　　 D　带根号的数都是无理数
3、下列计算正确的是（ ）
A．=±4 B．3-2=1 C．24÷=4 D．·=2
4、若m是9的平方根，n=（）2，则m、n的关系是（ ）
（A）m=n （B）m=-n （C）m=±n （D）｜m｜≠｜n｜
5、已知，，则a的值为（　　　）
（A）0.528 （B）0.0528 （C）0.00528 （D）0.000528
二、细心填一填：（每题5分，共25分）
1、请你任意写出三个无理数： ；
2、满足的整数是 ．
3、化简得
4、若,则x=________，y=________.
5、观察下列式子，根据你得到的规律回答：=3；= 33；=333；…….请你说出的值是 ．
三、用心解一解：（共55分）
1、计算：（1）（6分）
（2）（7分）
2、（10分）若xy=－,x－y=5－1,求(x+1)(y－1)的值。
3、（10分）已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的平方根是±4，求a+2b的平方根.
4、（1）计算（12分）,,
,,,。
（2）（6分）根据（1）中的计算结果可知，一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来。
（3）（4分）利用上述规律计算：= 。
随堂小测（B卷）答案：一、DADCC
二、1、答案不唯一，如π等。 2、-1 0 1. 3、. 4、－1，3. 5、33…3(共n个3)
三、1、（1）原式=3。
（2）原式==1。2、(x+1)(y－1)=xy-x+y-1= xy-(x-y)-1=－-(5－1)-1=－-5+1-1=-6
3、由2a-1的平方根是±3得2a-1=9，故a=5；由3a+b-1的平方根是±4得3a+b-1=16，故3×5+b-1=16，得b=2。所以a+2b=5+2×2=9，它的平方根是±3.
4、（1）3，0.7，6，，0.28，0. （2）不一定等于a.规律：当a≥0时=a，当a≤0时=-a. （3）由3.14-≤0得=-（3.14-）=-3.14.
第2章《实数》实战演练
（本试卷满分100分） 班级_______ 姓名_______ 分数_______
考场秘诀：谁沉着、冷静、认真、细心，谁就一定能够在考场上赢得最大的胜利！！祝你成功！！
仔细选一选：（每题3分，共30分）
1．下列实数: ，，,，，，， 0．020020002……中,无理数有( )个．
A.2 B.3 C.4 D.5
2．表示的意义是( )
A.25的立方根 B.25的平方根 C.25的算术平方根 D.5的算术平方根
3．下列语句正确的是( )
A. －2是－4的平方根; B. 2是(－2)2的算术平方根;
C. (－2)2的平方根是2; D. 8的立方根是±2．
4．下列各数中，互为相反数的是( )
A.－2与； B.-2与； C.-2与； D.与2．
5.算术平方根等于它本身的数是（ ）
A .和 B . C . D . 和
6. 某位老师在讲“实数”时，画了一个图（如图1），即“以数轴的单位线段为边做一个正方形，然后以O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴上于一点A”。则OA的长就是个单位长度，想一想：作这样的图可以说明什么？
A.数轴上的点和有理数一一对应
B.数轴上的点和无理数一一对应
C.数轴上的点和实数一一对应
D.不能说明什么
7．实数a、b、c在数轴上的位置如图2: 则化简 的结果是( )
A.a－b－c; B.a－b+c; C.－a+b+c; D.－a+b－c．
8．绝对值小于5的所有实数的积为 ( )
A.24; B.576; C.0; D. 10
9、若实数x满足｜x｜+x=0，则x是（ ）。
A. 零或负数 B. 非负数 C. 非零实数 D.负数．
10. 的整数部分为a，小数部分为b，则b2为( )
A．2 B．20 C．20-6 D．20+6
二、细心填一填（每题4分，共32分）
1、-的倒数是________，绝对值是________
2．9的平方根是 的算术平方根是______
3．若=-2，则的值是
4、如果=3，那么（a+3）2的值为
5、计算：＝
6、 .
7、若三角形的三边a、b、c满足a2－4a+4+=0,则笫三边c的取值范围是_____________
8、计算: =_____,=_____,=
____;……．通过以上计算,试用含n(n为正整数)的式子表示上面运算揭示的规律:__________________
三、解答题：（共38分）
1、（6分）求下列各式的值：（1）；（2）；（3）-
2、（6分）化简:（1） （2）
3、（6分）已知=x－1，求x的值
4、（6分）一个长方体的长为5 cm，宽为2 cm，高为3 cm，而另一个正方体的体积是它的3倍，求这个正方体的棱长(结果精确到0.01 cm).
5、(7分) 已知三角形的三边a、b、c的长分别为cm、cm、cm，求这个三角形的周长和面积.
6、（7分）．如图3所示，某计算装置有一数据入口A和一运算
结果的出口B，下表给出的是小红输入的数字及所得的运算
结果：
A 0 1 4 9 16 25 36
B -1 0 1 2 3 4 5
若小红输入的数为48，输出的结果应为多少？若小红输入的数字为a,你能用a表示输出结果吗？
第17章《实数》实战演练参考答案
一、BCBAA，CCCAC
二、1、- 2、±3； 3、-5 4、81 5、 6、4；72 7、1三、1、（1）7 （2） （3）-0.3 2、（1）原式= （2）原式=6-3。 3、因为立方根等于它本身的数是1,－1,0，所以有x－1=1, x－1=－1或x－1=0,所以x=2,0或1 4、=≈4.48cm 5、周长=++=12cm； 因为（）2+（）2=125=（）2，所以三角形是直角三角形，故面积=××=30cm2 6、（1）经观察易得出规律： （2）
b
a
0
Ａ
Ｂ
图2
图3