陕西省交大附中、龙岗中学2021届高三上学期第一次联考文科数学试题 Word版含答案

2020～2021学年第一学期
交大附中、龙岗中学第一次联考数学（文）试题
注意：本试题共4页，三道大题.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（
）条件
A.必要不充分
B.充分不必要
C.充要
D.既不充分也不必要
3．已知三条不重合的直线，两个不重合的平面，则下列说法正确的是（
）
A.若，，且，则
B.若，，则
C.若，，，，则
D.若，，，则
4．2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有只，则经过（
）天能达到最初的16000倍．
（参考数据：）
A.197
B.198
C.199
D.200
5．设实数满足约束条件，则的最大值是
A.
B.
C.
D.
6．若双曲线的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
7．已知，且，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
8．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（
）
A.
B.
C.
D.
9．在直三棱柱中，，，则该直三棱柱的外接球的体积是（
）
A.
B.
C.
D.
10．设的内角的对边分别为，且，则是（
）
A．等腰三角形
B.直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
11．已知数列前项和是,且满足,,,，则（
）
A.
B.
C.
D.
12．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（
）
①的解集是；②是极大值，是极小值；
③没有最大值，也没有最小值；
④有最大值，没有最小值；
⑤有最小值，没有最大值.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“，”的否定是
.
14．一块外表面均被涂为红色的正方体被分成64个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀混合，则从中任意取出一块小正方体仅有一面涂成红色的概率是
．
15.函数，对于任意的，存在，使，则实数的取值范围是
.
16.已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆相切，则当取得最小值时，双曲线的实轴长为
.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：共60分.
17.（本题满分12分）已知函数，．
（I）求函数的最小正周期和对称轴；
（Ⅱ）设的内角的对边分别为，满足，，且的面积为，求的值．
18.（本题满分12分）已知数列的前项和为，满足，.
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设（），求数列的前项和.
19.（本题满分12分）
定义椭圆（）的“蒙日圆”方程为.已知抛物线的焦点是椭圆的一个短轴端点，且椭圆的离心率为.
（I）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（Ⅱ）若斜率为的直线与“蒙日圆”相交于两点，且与椭圆C相切，为坐标原点，求的面积.
20.（本题满分12分）如图，已知正方体中，点分别是棱的中点.
（I）证明：四点共面；
（Ⅱ）证明：平面平面；
（Ⅲ）若正方体的棱长为2，点是线段上的一个动点，且动直线与平面所成的角记为，求的最大值.
（本题满分12分）已知函数.
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，求证：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，曲线的方程为.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为，为参数，.
（I）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（Ⅱ）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于两点，求的值.
23.（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（I）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
数学（文）试题参考答案
选择题（12×5分=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
A
C
A
A
C
B
B
D
C
B
填空题（4×5分=20分）
13..，；
14.
15.
16.6
解答题（5×12分+10分=70分）
17.（12分）（I）解：
（3分）
则函数的最小正周期为；
（4分）
令，则函数的对称轴为：.
（6分）
（Ⅱ），且，则，
（7分）
由，可知，
（9分）
由余弦定理及，可知；
（11分）
所以：.
（12分）
18.（12分）（I）当时，，所以；
（2分）
当时，，所以，
于是；
（5分）
所以，是首项为3，公比是3的等比数列，于是，.
（7分）
（Ⅱ），
（8分）
，.
（12分）
19.（满分12分）（I）抛物线的焦点为，则，
（1分）
又，且，所以，
（3分）
于是椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”方程为.
（5分）
（Ⅱ）设直线：，
由可得：，令可得：，.
（7分）
方法1：
“蒙日圆”方程为，圆心为，半径，
则圆心距离，
（8分）
（10分）
于是，.
（12分）
方法2：
由，可得：，即
则，，
（7分）
（9分）
则圆心距离，
（10分）
于是，.
（12分）
20.（满分12分）证明：（I）连接，
因为，所以四边形是平行四边形，所以：；
又因为是中点，所以；
又因为是中点，所以；
所以，所以四边形平行四边形，
所以四点共线.
（3分）
（Ⅱ）因为是中点，所以，
又因为，所以；
（4分）
又因为在正方体中，平面，所以，
又，且平面，
所以平面，又平面，
（6分）
所以平面平面；
（7分）
（Ⅲ）方法1：设点到平面的距离为，则，
当最小值时，最大，
又由于是等腰三角形，所以当移动到中点时，，此时最小；
（9分）
在中，，，则记线段的中点为时，；
又，
又，所以，所以；
所以，.
（12分）
方法2：如图，平面平面，则过作，交线段的延长线于点，
又由（1）知平面平面，，所以；
（8分）
所以动直线在平面上的射影为，则，于是，
当最小值时，最大，又由于是等腰三角形，所以当移动到中点时，，此时最小，所以.
（10分）
由于是线段的四等分点，则在平面中可知；
又由于中，，，则；
于是.
（12分）
21.（满分12分）（I）
（1分）
①当时，，所以在上递增；
（2分）
②当时，令，则，
当时，；当时，，
所以在区间上递增，在上递减.
（4分）
（Ⅱ）方法1：构造函数
①当时，由（Ⅰ）在上递增，又，不符合题意，舍；
（5分）
②当时，由（Ⅰ）知在区间上递增，在上递减；
所以，解得：.
（7分）
综上：
方法2：分离参数
恒成立，等价于，
（5分）
设，，，令，，则
当时，；当时，，
所以在区间上递增，在上递减；
所以，所以：
（7分）
（Ⅲ）由（I）知，当时，恒成立，即（仅当时等号成立）
（8分）
①当时，，即；
所以，，，，……，；
上述不等式相加可得：，
即：，
即：，；
（10分）
②当时，，即，即
所以，，，，……，；
上述不等式相加可得：，
即：，
即：，；
（12分）
综上：当时，.
22.（满分10分）（I）因为曲线的极坐标方程为，
所以：；
又因为：，
所以：，即曲线的直角坐标方程.
（3分）
曲线的参数方程为，消去参数，可得曲线的普通方程；
（5分）
（Ⅱ）由于曲线的直角坐标方程，则，且倾斜角为，
（6分）
设曲线的参数方程为，为参数，且两点的参数分别为，则将曲线的参数方程代入曲线的普通方程可得：，
由韦达定理可知：，，
（8分）
.
（10分）
23.（满分10分）（I）当时，，
当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
综上：不等式的解集为：.
（5分）
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，即：
不等式恒成立，只需要
（7分）
由于，当且仅当时等号成立；
即：，所以：，
（8分）
解得：或.
（10分）