2020-2021学年格致中学高一上数学10月月考卷
一.填空题
1.
若，，用列举法表示
.
【答案】
【解析】
【分析】
解决该试题的关键是对于t令值，分别得到x的值，然后列举法表示.
【详解】因为集合，而集合B中的元素是将集合A中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即，
；；,
，
那么用列举法表示.
本试题主要是考查了集合的描述法与列举法的准确运用，属于基础题.
2.
方程组的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由二元一次方程，应用消元法或逆矩阵解方程组求解即可.
【详解】法一：由，得，
∴两式相加得：，，
代入，得，
法二：由原方程组知：，，，
∴，即可逆，
∴，有
∴，
故答案：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，分别可用消元法、逆矩阵求解，属于简单题.
3.
，，___________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合绝对值和二次函数的性质分别求出两函数的值域，从而可求出两集合的交集.
【详解】解：因为，所以，即，
因为，所以，所以，
故答案为:
.
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.本题的关键是分别化简两集合.
4.
写出的一个必要非充分条件___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据必要非充分条件的定义，知：，而不一定有，即是的一个必要非充分条件.
【详解】∵，而?，
∴是的一个必要非充分条件.
故答案为：
【点睛】本题考查了必要非充分条件，根据定义法写出一个必要非充分条件，属于简单题.
5.
已知全集，，，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合交集的定义，结合集合元素的互异性、集合并集和补集的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】因为，所以有或或，
当时，解得，此时，，而，这与已知矛盾，故不符合题意，舍去；
当时，解得，此时，，符合题意，故；
当时，此方程无实根，综上所述：，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了已知集合交集的结果求参数问题，考查了集合并集和补集的运算，考查了数学运算能力.
6.
不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
对不等式移项通分，利用公式可得出不等式的解集．
【详解】等价于，即
化简得不等于7
则原不等式的解集为
故答案为：
【点睛】本题考查分式不等式的解集，考查学生计算能力，属于基础题．
7.
已知集合，其中，若，则a的取值集合为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据得到之间的关系，由此确定出可取的的值.
【详解】因为，所以，
当时，；
当时，若，则，所以；若，则.
综上可知：的取值集合为，
故答案为：.
【点睛】本题考查根据集合间的包含关系求解参数，难度一般.分析集合间的子集关系时，注意分析空集的存在.
8.
已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知－，－是方程的两根，求出，再解不等式得解.
【详解】由题意知－，－是方程的两根，
所以由根与系数的关系得,
解得.
不等式即为，
所以
所以解集为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据一元二次不等式的解集求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9.
若关于x的不等式的解集是，则m的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，，由此求得的值．
【详解】解：关于的不等式的，即，它解集是，
故，，求得，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查含参数的一次不等式的解法，属于中档题．
10.
已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
由题意知中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论是否相等即可求实数.
【详解】由题意知：中元素，即为的解，
∴或，可知：或
∴当时，；当时，，
∴或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了集合的性质，根据集合描述及元素之和，结合互异性讨论求参数，属于基础题.
11.
若三个关于x的方程，，中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合判别式求出当三个方程都没有实根时的实数a的取值范围，进而可求出所求答案.
【详解】解：若三个方程都没有实根，则，解得，
所以当至少有一个方程有实根时，或，
故答案为:
.
【点睛】本题考查了方程的实数解的问题，将至少有一个方程转化为都没有实根再求解是解题的关键.
12.
设数集，，且集合M?N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据“长度”定义确定集合的“长度”，由“长度”最小时，两集合位于集合左右两端即可确定结果.
【详解】由“长度”定义可知：集合的长度为，集合的长度为；
若集合的“长度”最小，则与分别位于集合的左右两端，
的“长度”的最小值为
若集合的“长度”最大，则与分别重合的部分最多，
的“长度”的最大值为
则集合的“长度”的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查集合中的新定义运算问题的求解，解题关键是能够确定“长度”最小时，两集合的位置.
二.选择题
13.
若，且，则“”是“”的
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义分别进行判断即可．
【详解】当时，不成立；当时，不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．
【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题．
14.
如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．
【详解】图中阴影部分是：
M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集,即是CUS的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(?US).
故选C．
【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．
15.
直角坐标平面中除去两点?可用集合表示为（
）
A.
B.
或
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直角坐标平面中除去两点?，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点?，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．
16.
已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
分析】
求出第一个不等式的解，讨论的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组只含有一个整数得出第二个不等式解的端点的范围，从而得出的范围．
【详解】解：解不等式得或，
解方程得，．
（1）若即时，不等式的解集是，
若不等式组只有1个整数解，则，解得：，
（2）若即时，不等式的解集是，，
若不等式组只有1个整数解，则，解得：，
综上，的取值范围是，，，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，借助数轴可方便得出区间端点的范围，属于中档题．
三.解答题
17.
已知集合.
（1）若A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A；
（2）若A至多有两个子集，试求实数k的取值范围.
【答案】（1），；，；（2）．
【解析】
【分析】
（1）当时，易知符合题意，当时，利用即可求出的值；
（2）由至多有两个子集，可知集合中元素个数最多1个，再分和两种情况讨论，即可求出实数的取值范围．
【详解】（1）①当时，方程化为：，解得，
此时集合，满足题意；
②当时，方程有一个根，
，
解得：，
此时方程为，解得，
集合，符合题意，
综上所述，时集合；时集合；
（2）至多有两个子集，集合中元素个数最多1个，
①当时，一元二次方程最多有1个实数根，
，
解得，
②当时，由（1）可知，集合符合题意，
综上所述，实数的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，属于基础题．
18.
已知，求关于x的不等式的解集.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
当时，求解一次不等式，当时，求出对应方程的根，，从而对分类讨论一元二次不等式的解集.
【详解】当时，，∴，则的解集为
当时，解，得，
①当时，，则的解集为.
②当时，（1），即，则可化简为，无解；
（2），即，则的解集为；
（3），即，则的解集为；
综上：（1）时，解集为；
（2）当时，解集为；
（3）当时，无解；
（4）当时，解集为；
（5）当时，解集为.
【点睛】本题考查含参不等式的求解，涉及一元一次不等式，含参数的一元二次不等式分类讨论，属于基础题.
19.
已知集合，.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若，求C的所有子集中所有元素的和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据集合的包含关系求m的取值范围即可；（2）首先确定子集的个数为，根据元素与集合的关系判断每一个元素存在于多少个子集中，即可求和.
【详解】（1）由，知：
当时，，解得；
当时，，解得；
∴综上，有
（2），由C的所有子集的个数为，而对于任意元素子集：在任意子集中存在或不存在，即每一个元素都存在于64个子集中，
∴
【点睛】本题考查了根据集合包含关系求参数，由元素个数求所有子集中元素之和，利用元素与集合的关系判断元素存在的子集个数，属于基础题.
20.
设二次函数，其中a?b?.
（1）若，，且关于x的不等式的解集为，求a的取值范围；
（2）若a?b?，且?均为奇数，求证：方程无整数根；
（3）若，，，求证：方程有两个大于1的根的充要条件是.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据不等式解集为，结合分式、二次函数的性质即可求参数a的范围；（2）利用反证法，分类讨论都为整数、为整数，不为整数，结合、的奇偶性即可证明；（3）根据二次方程根的分布列条件求解证明即可.
【详解】（1）由知：且解集为，
∴即，解得：.
（2），均为奇数，知：为偶数，
∴有两根为，则，，
1、当、为偶数时，若都为整数，则、必须同时可被整除，显然不成立；若为整数，不为整数，都为偶数，则与题设矛盾；
2、当、为奇数时，若都为整数，必为奇数，则必有一奇一偶，必为偶数，而为奇数，不成立；若，整理得，当为奇数时，为偶数，则为偶数，与题设矛盾；当为偶数时，为奇数，则为偶数，与题设矛盾；
综上，知：方程无整数根；
（3）由题意，知：，
若有两个大于1的根时，有，解得；
若时，有开口向上且对称轴为，，，所以有两个大于1的根；
综上，有：方程有两个大于1的根的充要条件是.
【点睛】本题考查了根据分式不等式、二次函数的性质求参数范围，应用反证法证明存在性问题，以及定义法证明条件间的充要性.2020-2021学年格致中学高一上数学10月月考卷
一.填空题
1.
若，，用列举法表示
.
2.
方程组的解集为___________.
3.
，，___________
4.
写出的一个必要非充分条件___________.
5.
已知全集，，，若，则___________.
6.
不等式的解集为___________.
7.
已知集合，其中，若，则a的取值集合为___________.
8.
已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
9.
若关于x的不等式的解集是，则m的值为___________.
10.
已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
11.
若三个关于x的方程，，中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为___________.
12.
设数集，，且集合M?N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为___________.
二.选择题
13.
若，且，则“”是“”的
A
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
14.
如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（
）
A.
B.
C.
D.
15.
直角坐标平面中除去两点?可用集合表示为（
）
A.
B.
或
C.
D.
16.
已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
三.解答题
17.
已知集合.
（1）若A只有一个元素，试求实数k值，并用列举法表示集合A；
（2）若A至多有两个子集，试求实数k的取值范围.
18.
已知，求关于x的不等式的解集.
19.
已知集合，.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若，求C的所有子集中所有元素的和.
20.
设二次函数，其中a?b?.
（1）若，，且关于x的不等式的解集为，求a的取值范围；
（2）若a?b?，且?均为奇数，求证：方程无整数根；
（3）若，，，求证：方程有两个大于1根的充要条件是.
