山东省临清市高中数学全套教案必修4：2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
文档属性
| 名称 | 山东省临清市高中数学全套教案必修4：2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 31.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-10-14 18:09:03 | ||
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文档简介
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、教材分析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
二．教学目标
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点
重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细
五、教学方法
1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
（三）合作探究，精讲点拨
探究一：数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos
（2）定义说明：
①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
（4）学生讨论，并完成下表：
的范围 0°≤<90° =90° 0°<≤180°
·的符号
例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.
解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴·＝｜｜·｜｜cos0°＝3×6×1＝18；
若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴·＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，
∴·＝０；
③当与的夹角是60°时，有
·＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9
评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能.
变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。
探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
记做：OB1=︱││︱cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影
︱︱cos 的乘积。
3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。
探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：
比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质
3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
预测：学生可能会提出以下猜想：
·= ·
（·）= (·)
③（ + ）· =· + ·
（2）、分析猜想：
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。
（3）、明晰：数量积的运算律：
例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：（+2 ）·（-3）=.-3.+2.-6.
=36-3×4×6×0.5-6×4×4
= -72
评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律
变式：（1）(+)2=2+2·+2
（2）(+ )·(-)= 2—2
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和
几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
S
F
α
设和b都是非零向量，则
1、⊥ ·=0
2、当与同向时，︱·︱=︱︱︱︱；当与反向时，
︱·︱= -︱︱︱︱， 特别地，·=︱︱2或︱︱=
3、︱·︱≤︱︱×︱︱
已知向量、 、和实数λ，则：
（1）·= · （2）（λ）·=λ（·)= ·（λ）
（3）（ + ）·=· + ·
平面向量数量积的物理背景及其含义
数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高
概念： 例1：
概念强调 （1）记法 例2：
（2）“规定” 三、数量积的运算律
3、几何意义：
4、物理意义：
一、教材分析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
二．教学目标
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点
重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细
五、教学方法
1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
（三）合作探究，精讲点拨
探究一：数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos
（2）定义说明：
①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
（4）学生讨论，并完成下表：
的范围 0°≤<90° =90° 0°<≤180°
·的符号
例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.
解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴·＝｜｜·｜｜cos0°＝3×6×1＝18；
若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴·＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，
∴·＝０；
③当与的夹角是60°时，有
·＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9
评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能.
变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。
探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
记做：OB1=︱││︱cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影
︱︱cos 的乘积。
3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。
探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：
比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质
3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
预测：学生可能会提出以下猜想：
·= ·
（·）= (·)
③（ + ）· =· + ·
（2）、分析猜想：
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。
（3）、明晰：数量积的运算律：
例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：（+2 ）·（-3）=.-3.+2.-6.
=36-3×4×6×0.5-6×4×4
= -72
评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律
变式：（1）(+)2=2+2·+2
（2）(+ )·(-)= 2—2
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和
几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
S
F
α
设和b都是非零向量，则
1、⊥ ·=0
2、当与同向时，︱·︱=︱︱︱︱；当与反向时，
︱·︱= -︱︱︱︱， 特别地，·=︱︱2或︱︱=
3、︱·︱≤︱︱×︱︱
已知向量、 、和实数λ，则：
（1）·= · （2）（λ）·=λ（·)= ·（λ）
（3）（ + ）·=· + ·
平面向量数量积的物理背景及其含义
数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高
概念： 例1：
概念强调 （1）记法 例2：
（2）“规定” 三、数量积的运算律
3、几何意义：
4、物理意义：