山东省临清市高中数学全套教案必修4：1.2.1 任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数
【教学目标】
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；
（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
（4）掌握并能初步运用公式一；
（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
【教学重难点】
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
【教学过程】
一、【创设情境】
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾.
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;
; .
思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
; ; .
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
二、【探究新知】
1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即；
（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；
（3）叫做的正切(tangent),记做,即.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,
.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：
三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
角度制 弧度制
5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系
终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
(其中)
6.三角函数线
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
7.例题讲解
例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。
解：
变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
解：,,.
例2．求下列各角的三个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0
（2）
（3）
变式训练2：求的正弦、余弦和正切值.
例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值.
解析：计算点到原点的距离时应该讨论a的正负.
变式训练3： 求函数的值域.
解析：分四个象限讨论.
答案：{2，-2，0}
例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1.与 2.tan与tan
三、【学习小结】
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗
(3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 你在解题时会准确熟练应用公式一吗
(5)三角函数线的做法.
四、【作业布置】
作业：习题1.2 A组第1,2题．
五、【板书设计】
1.2.1任意角的三角函数（一）复习引入概念形成 1.三角函数定义 2.三角函数线（三）例题讲解 小结：
y
P（a，b）
r
O M
a的终边
P(x,y)
O
x
y
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅳ）
（Ⅲ）