人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课件(共张PPT)

24.1.4 圆周角
一. 复习引入:
1.圆心角的定义?
.
O
B
C
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
顶点在圆心的角叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
A
.
O
B
C
.
O
B
C
A
.
O
B
C
A
圆周角
探索1:
二、探索新知：
3
.
.
.
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？
角的两边和圆是什么关系？
探索2:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
.
O
B
C
A
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
叫圆周角.
4
练习：
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
5
图１
图２
图３
图４
图５
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧,所对弦也相等.
在同圆或等圆中,圆周角又有怎样的性质定理呢?
为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
实验:
在练习１的圆中画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角.
思考1：一条弧所对的圆周角有多少个?圆心角呢?
思考2：虽然一条弧所对的圆周角有无数个,但它们与圆心的位置有几种情况?
O
A
B
C
.
.
O
A
B
C
.
O
A
B
C
.
Ｂ
Ｃ
O
6
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
猜想:
?
思考1:圆心与圆周角的位置有哪些关系?
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
三、验证新知：观察图形、探索证明圆周角与圆心角的关系
A
O
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
7
猜想:圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的关系

BC
⌒
∠BOC
思考:圆周角∠BAC所对的弧是: ,BC所对的圆心角是:
⌒
证明猜想结论:
（1）圆心在∠BAC的一边上.
已知：在⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角∠BOC。
求证：∠BAC=1/2 ∠BOC

A
O
B
C
证明：(1)图中，圆心O在∠BAC的一边上，
(1)
∵OA=OC
∴∠C=∠BAC
又∵∠BOC=∠C +∠BAC
∴∠BAC=1/2 ∠BOC
8
（2）圆心在∠BAC的内部.
D
已知：在⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角∠BOC。
求证：∠BAC=1/2 ∠BOC
证明： (2)图中，圆心O在∠BAC的内部，
利用(1)的结果，过点A作直径AD，有
∠BAD= 1/2 ∠BOD
∠DAC= 1/2 ∠DOC
∴ ∠BAD+ ∠DAC = 1/2 ∠BOD+1/2 ∠DOC
∴∠BAC=1/2 ∠BOC
(2)
9
（3）圆心在∠BAC的外部.
O
A
B
C
D
已知：在⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角∠BOC。
求证：∠BAC=1/2 ∠BOC
(3)
证明： (3)图中，圆心O在∠BAC的内部，
利用(1)的结果，作直径AD，有
∠BAD= 1/2 ∠BOD
∠DAC= 1/2 ∠DOC
∴ ∠DAC—∠BAD = 1/2 ∠DOC — 1/2 ∠BOD
∴∠BAC=1/2 ∠BOC
10
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
归纳圆周角定理：由以上三种情况得到同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
动脑筋
11
练习：
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
O
A
B
C
B
A
O
.
70°
x
1.求圆中角X的度数
A
O
.
X
120°
130°
12
A
O
.
X
120°
C
C
D
B
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
证明：
∠ACB= ∠AOB
1
2
∠BAC= ∠BOC
2
∠AOB=2∠BOC
A
O
B
C
∠ACB=2∠BAC
四、新知应用：
13
1

规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
分析:AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB= ∠AOB.
BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= ∠BOC
⌒
⌒
2
1
___
2
1
___
练习:AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，
求∠BOC的度数。
∠BOC =140°
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB
分别是什么角？
它们
有何共同点？
∠ADB与∠ACB有什么关系？
同弧 所对的圆周角相等.
(等弧)
思考:
相等的圆周角所对的弧相等吗?
在同圆或等圆中
都等于这条弧所对的圆心角的一半.
圆周角定理:
相等的圆周角所对的弦相等吗?
在同圆或等圆中
A
B
C
D
在同圆或等圆中
相等的圆周角所对的弧相等,
所对的弦也相等.
则 ∠ D=∠A
∴AB∥CD
如图, 若 AC = BD
⌒
⌒
A
B
O
C
如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿＿＿
90 度
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90度的圆周角所对的弦是直径。
圆周角定理的推论:
三、应用举例
解
例1　如图23.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
因为AB是⊙O的直径，而直径所对的圆周角是直角，所以
∠ABC＝180°－∠A－∠ACB
　　　＝180°－80°－90°
＝10°
例2: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm,
弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
10
6
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠2=∠7
∠1=∠4
∠3=∠6
∠5=∠8
2：已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
O
A
B
圆心角为60度
圆周角为 30 度
或 150 度。
3.如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
A
B
O
C
D
40°
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