人教版 八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径 同步培优（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版 八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径 同步培优（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 629.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-02 10:29:23 | ||
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文档简介
人教版 八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径 同步培优
一、选择题
1. 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点P处建一个服务中心，使PA＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是( )
2. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为( )
A．10 B．11 C．11.5 D．13
3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，P是AD边上的一动点，要使PC＋PB的值最小，则点P应满足( )
A．PB＝PC B．PA＝PD
C．∠BPC＝90° D．∠APB＝∠DPC
4. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为( )
A．130° B．120° C．110° D．100°
5. 如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案( )
6. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
7. 如图，点P，Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形:△O1PQ，△O2PQ，…，△OnPQ，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长 ( )
A.不断变大 B.不断变小
C.先变小再变大 D.先变大再变小
8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
9. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为 ( )
A.80° B.90° C.100° D.130°
10. 如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6 cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6 cm，则∠ABC的度数为 ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
二、作图题
11. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(－4，5)，(－1，3)．
(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；
(3)P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最短的点P，直接写出点P的坐标．
12. 如图，在河岸l的同侧有两个居民小区A，B，现欲在河岸边建一个长为a的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小.在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程.
13. 河岸l同侧的两个居民小区A，B到河岸的距离分别为a米，b米(即图①中所示，AA′＝a米，BB′＝b米)，A′B′＝c米．现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．
在图②中画出绿化带的位置，并写出画图过程．
14. 如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．
15. 如图，已知牧马营地在点M处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水.
(1)求到河边饮水的最短路线;
(2)如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线.
三、解答题
16. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．
(1)如图①，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使PA＋PE的值最小；
(2)如图②，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使PA＋PE的值最小，并求出这个最小值．
17. 如图①所示，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A地到B地的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
[思考1]如图②，如果A，B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的路径呢？
[思考2]如图③，如果A，B两地之间有三条平行的河流呢？
[拓展]如图④，如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行的，又该如何建桥呢？
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用实线画出来．
人教版 八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】A
2. 【答案】A [解析] ∵直线m垂直平分AB，∴B，C关于直线m对称．设直线m交AB于点D，∴当点P和点D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC的周长的最小值是6＋4＝10.
3. 【答案】D
4. 【答案】B [解析] 如图，分别作点A关于BC，DC的对称点A1，A2，连接A1A2交BC于点M，交DC于点N，则此时△AMN的周长最小．∵∠A1AA2＝120°，∴∠A1＋∠A2＝60°.∵MA＝MA1，NA＝NA2，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠A1＋∠A2)＝2×60°＝120°.
5. 【答案】C [解析] 如图，作PP′垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于点N，将P′N沿竖直方向向上平移河宽个单位长度，得到PM，PM－MN－NQ即所求．根据“两点之间，线段最短”，QP′最短，即PM＋NQ最短．观察选项，选项C符合题意．
6. 【答案】D
7. 【答案】C [解析] 如图，作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'Q交直线AB于点O.
∵两点之间线段最短，且PQ的长为定值，
∴当点O运动到此点时三角形的周长最短.
∴这些三角形的周长先变小再变大.
8. 【答案】D [解析] 如图，连接AD，MA.
∵△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴S△ABC=BC·AD=×4AD=24，
解得AD=12.
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC.
∴MC+DM=MA+DM≥AD.
∴AD的长为MC+MD的最小值.
∴△CDM的周长的最小值为(MC+MD)+CD=AD+BC=12+×4=14.故选D.
9. 【答案】C [解析] 如图，延长AB到点A'，使得BA'=BA，延长AD到点A″，使得DA″=AD，连接A'A″与BC，CD分别交于点M，N.
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，A'关于BC对称，点A，A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小.
∵BA=BA'，MB⊥AB，
∴MA=MA'.
同理NA=NA″.
∴∠A'=∠MAB，∠A″=∠NAD.
∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A'，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″).
∵∠BAD=130°，
∴∠A'+∠A″=180°-∠BAD=50°.
∴∠AMN+∠ANM=2×50°=100°.
10. 【答案】C [解析] 如图，
将△ABD和△DBC分别沿着AB和BC向外翻折，得△ABG和△HBC，
连接GH，分别交AB，BC于点E，F，
此时△DEF的周长最小，即为GH的长，
∴GH=6 cm.
∵BD=6 cm，∴BG=BH=BD=6 cm=GH.
∴△BGH是等边三角形.
∴∠GBH=60°.
∴2∠ABD+2∠DBC=60°.
∴∠ABD+∠DBC=30°.
∴∠ABC=30°.故选C.
二、作图题
11. 【答案】
解：(1)如图所示．
(2)△A′B′C′如图所示，点B′的坐标为(2，1)．(3)如图所示，点P的坐标为(－1，0)．
12. 【答案】
解:如图，作线段AP∥l，使AP=a，且点P在点A的右侧;作点P关于直线l的对称点P'，连接BP'交l于点D;在l上点D的左侧截取DC=a，则CD就是所求绿化带的位置.
13. 【答案】
解：如图，作线段AP∥l，使AP＝s，且点P在点A右侧，取点P关于l的对称点P′，连接BP′交l于点D，在l上点D左侧截取DC＝s，则CD即为所求绿化带的位置．
14. 【答案】
解：如图，作点A关于l1的对称点E，作点B关于l2的对称点F，连接EF，分别交l1，l2于点C，D，则折线ACDB是所求的最短路线．
15. 【答案】
解:把河流抽象成直线a，把草地抽象成直线b.
(1)如图①，过点M作MP⊥直线a于点P，则MP即为最短路线.
(2)如图②，分别作点M关于直线a，b的对称点A，B，连接AB与直线a，b分别交于点C，D，则最短的牧马路线为M→C→D→M.
三、解答题
16. 【答案】
解：(1)如图①，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF交CD于点P，点P即为所求．
(2)如图②，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE⊥AC交CD于点P，则此时PA＋PE的值最小，PA＋PE的最小值为线段EF的长．
∵CD是角平分线，∠BAC＝∠DFC＝90°，
∴DA＝DF.
又∵DC＝DC，∴Rt△ADC≌Rt△FDC.
∴CF＝AC＝10.
∵∠ACB＝30°，∴EF＝CF＝5，即PA＋PE的最小值为5.
17. 【答案】
如图①所示，MN即为所求．
[思考1] 如图②所示，折线AMNEFB即为所求．
[思考2] 如图③所示，折线AMNGHFEB即为所求．
[拓展] 如图④所示，折线AMNEFB即为所求．
一、选择题
1. 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点P处建一个服务中心，使PA＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是( )
2. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为( )
A．10 B．11 C．11.5 D．13
3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，P是AD边上的一动点，要使PC＋PB的值最小，则点P应满足( )
A．PB＝PC B．PA＝PD
C．∠BPC＝90° D．∠APB＝∠DPC
4. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为( )
A．130° B．120° C．110° D．100°
5. 如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案( )
6. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
7. 如图，点P，Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形:△O1PQ，△O2PQ，…，△OnPQ，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长 ( )
A.不断变大 B.不断变小
C.先变小再变大 D.先变大再变小
8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
9. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为 ( )
A.80° B.90° C.100° D.130°
10. 如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6 cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6 cm，则∠ABC的度数为 ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
二、作图题
11. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(－4，5)，(－1，3)．
(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；
(3)P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最短的点P，直接写出点P的坐标．
12. 如图，在河岸l的同侧有两个居民小区A，B，现欲在河岸边建一个长为a的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小.在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程.
13. 河岸l同侧的两个居民小区A，B到河岸的距离分别为a米，b米(即图①中所示，AA′＝a米，BB′＝b米)，A′B′＝c米．现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．
在图②中画出绿化带的位置，并写出画图过程．
14. 如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．
15. 如图，已知牧马营地在点M处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水.
(1)求到河边饮水的最短路线;
(2)如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线.
三、解答题
16. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．
(1)如图①，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使PA＋PE的值最小；
(2)如图②，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使PA＋PE的值最小，并求出这个最小值．
17. 如图①所示，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A地到B地的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
[思考1]如图②，如果A，B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的路径呢？
[思考2]如图③，如果A，B两地之间有三条平行的河流呢？
[拓展]如图④，如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行的，又该如何建桥呢？
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用实线画出来．
人教版 八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】A
2. 【答案】A [解析] ∵直线m垂直平分AB，∴B，C关于直线m对称．设直线m交AB于点D，∴当点P和点D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC的周长的最小值是6＋4＝10.
3. 【答案】D
4. 【答案】B [解析] 如图，分别作点A关于BC，DC的对称点A1，A2，连接A1A2交BC于点M，交DC于点N，则此时△AMN的周长最小．∵∠A1AA2＝120°，∴∠A1＋∠A2＝60°.∵MA＝MA1，NA＝NA2，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠A1＋∠A2)＝2×60°＝120°.
5. 【答案】C [解析] 如图，作PP′垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于点N，将P′N沿竖直方向向上平移河宽个单位长度，得到PM，PM－MN－NQ即所求．根据“两点之间，线段最短”，QP′最短，即PM＋NQ最短．观察选项，选项C符合题意．
6. 【答案】D
7. 【答案】C [解析] 如图，作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'Q交直线AB于点O.
∵两点之间线段最短，且PQ的长为定值，
∴当点O运动到此点时三角形的周长最短.
∴这些三角形的周长先变小再变大.
8. 【答案】D [解析] 如图，连接AD，MA.
∵△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴S△ABC=BC·AD=×4AD=24，
解得AD=12.
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC.
∴MC+DM=MA+DM≥AD.
∴AD的长为MC+MD的最小值.
∴△CDM的周长的最小值为(MC+MD)+CD=AD+BC=12+×4=14.故选D.
9. 【答案】C [解析] 如图，延长AB到点A'，使得BA'=BA，延长AD到点A″，使得DA″=AD，连接A'A″与BC，CD分别交于点M，N.
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，A'关于BC对称，点A，A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小.
∵BA=BA'，MB⊥AB，
∴MA=MA'.
同理NA=NA″.
∴∠A'=∠MAB，∠A″=∠NAD.
∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A'，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″).
∵∠BAD=130°，
∴∠A'+∠A″=180°-∠BAD=50°.
∴∠AMN+∠ANM=2×50°=100°.
10. 【答案】C [解析] 如图，
将△ABD和△DBC分别沿着AB和BC向外翻折，得△ABG和△HBC，
连接GH，分别交AB，BC于点E，F，
此时△DEF的周长最小，即为GH的长，
∴GH=6 cm.
∵BD=6 cm，∴BG=BH=BD=6 cm=GH.
∴△BGH是等边三角形.
∴∠GBH=60°.
∴2∠ABD+2∠DBC=60°.
∴∠ABD+∠DBC=30°.
∴∠ABC=30°.故选C.
二、作图题
11. 【答案】
解：(1)如图所示．
(2)△A′B′C′如图所示，点B′的坐标为(2，1)．(3)如图所示，点P的坐标为(－1，0)．
12. 【答案】
解:如图，作线段AP∥l，使AP=a，且点P在点A的右侧;作点P关于直线l的对称点P'，连接BP'交l于点D;在l上点D的左侧截取DC=a，则CD就是所求绿化带的位置.
13. 【答案】
解：如图，作线段AP∥l，使AP＝s，且点P在点A右侧，取点P关于l的对称点P′，连接BP′交l于点D，在l上点D左侧截取DC＝s，则CD即为所求绿化带的位置．
14. 【答案】
解：如图，作点A关于l1的对称点E，作点B关于l2的对称点F，连接EF，分别交l1，l2于点C，D，则折线ACDB是所求的最短路线．
15. 【答案】
解:把河流抽象成直线a，把草地抽象成直线b.
(1)如图①，过点M作MP⊥直线a于点P，则MP即为最短路线.
(2)如图②，分别作点M关于直线a，b的对称点A，B，连接AB与直线a，b分别交于点C，D，则最短的牧马路线为M→C→D→M.
三、解答题
16. 【答案】
解：(1)如图①，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF交CD于点P，点P即为所求．
(2)如图②，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE⊥AC交CD于点P，则此时PA＋PE的值最小，PA＋PE的最小值为线段EF的长．
∵CD是角平分线，∠BAC＝∠DFC＝90°，
∴DA＝DF.
又∵DC＝DC，∴Rt△ADC≌Rt△FDC.
∴CF＝AC＝10.
∵∠ACB＝30°，∴EF＝CF＝5，即PA＋PE的最小值为5.
17. 【答案】
如图①所示，MN即为所求．
[思考1] 如图②所示，折线AMNEFB即为所求．
[思考2] 如图③所示，折线AMNGHFEB即为所求．
[拓展] 如图④所示，折线AMNEFB即为所求．