人教版 九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 同步培优（word，含答案）

人教版 九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 同步培优
一、选择题
1. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(　　)
A．△ABE B．△ACF
C．△ABD D．△ADE
2. 2020·武汉模拟 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
3. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设(　　)
A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°
4. 如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于(　　)
A. 55° B. 65° C. 70° D. 75°
　　　
5. 已知A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则(　　)
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
6. 2020·黄石模拟 如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(8，2)，C(6，6)，点P为△ABC的外接圆的圆心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，点P的对应点P′的坐标为(　　)
A．(－2，3) B．(－3，2)
C．(2，－3) D．(3，－2)
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是(　　)
A. 1＜r＜4
B. 2＜r＜4
C. 1＜r＜8
D. 2＜r＜8
8. 如图0，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为(　　)
图0
A. B．2 C. D.
二、填空题
9. 如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=　　　　.?

10. 如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.

11. 如图，⊙M的圆心在一次函数y＝x＋2的图象上运动，半径为1.当⊙M与y轴相切时，点M的坐标为__________．
12. 如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与☉O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE=　　　　.?

13. 在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．　　　
15. 如图所示，在半圆O中，AB是直径，D是半圆O上一点，C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，有下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．
16. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.
三、解答题
17. 如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/时．
(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？(离发射塔越近，信号越强)
(2)班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能不能接收到信号，并说明理由．
图
18. 如图①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．
19. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，5个单位长度为半径画圆．直线MN经过x轴上的一动点P(m，0)且垂直于x轴，当点P在x轴上移动时，直线MN也随之平行移动．按下列条件求m的值或取值范围．
(1)⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3；
(2)⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3；
(3)⊙O上有且只有两点到直线MN的距离等于3；
(4)随着m的变化，⊙O上到直线MN的距离等于3的点的个数还有哪些变化？请说明所有各种情形及对应m的值或取值范围．
20. 已知：AB是⊙O的直径，点P在上(不与点A，B重合)，把△AOP沿OP折叠，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
(1)当点P，C都在AB上方时(如图8①)，判断PO与BC的位置关系(只回答结果)；
(2)当点P在AB上方而点C在AB下方时(如图②)，(1)中的结论还成立吗？证明你的结论；
(3)当点P，C都在AB上方时(如图③)，过点C作CD⊥直线AP于点D，且CD是⊙O的切线，求证：AB＝4PD.
人教版 九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】B
2. 【答案】B
3. 【答案】A　
4. 【答案】B　【解析】连接OP，如解图，则OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A＝20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝＝65°.
解图
5. 【答案】D　[解析] 由题意可知A，B，C三点在同一直线上，且点B在点A，C之间，因此过点A，C可以画一个圆，且点B在圆内．
6. 【答案】A
7. 【答案】B　【解析】连接AD，则AD＝＝＝5，∵⊙A与⊙D相交，∴3－r<5<3＋r，解得2＜r＜8，又∵点B在⊙D外，∴r　　　　 解图
8. 【答案】B　[解析] ∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP＋∠PBC＝90°.
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠ABP＋∠PAB＝90°，∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，设圆心为O，连接OC交⊙O于点P，此时CP最小．
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝5，OP＝OB＝3，∴PC＝OC－OP＝5－3＝2，∴PC的最小值为2.
二、填空题
9. 【答案】219°　[解析]连接AB，
∵PA，PB是☉O的切线，
∴PA=PB.
∵∠P=102°，
∴∠PAB=∠PBA=(180°-102°)=39°.
∵∠DAB+∠C=180°，
∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.

10. 【答案】50°　【解析】∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠BAT＝90°，在Rt△BAT中，∵∠ABT＝40°，∴∠ATB＝50°.
11. 【答案】(1，)或(－1，)　[解析] ∵⊙M的圆心在一次函数y＝x＋2的图象上运动，∴设当⊙M与y轴相切时圆心M的坐标为(x，x＋2)．∵⊙M的半径为1，∴x＝1或x＝－1，当x＝1时，y＝，当x＝－1时，y＝.∴点M的坐标为(1，)或(－1，)．
12. 【答案】60°　[解析]
连接OA，
∵四边形ABOC是菱形，
∴BA=BO，
∵AB与☉O相切于点D，
∴OD⊥AB.
∵D是AB的中点，
∴OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOD=∠AOB=30°，
同理∠AOE=30°，
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，
故答案为60°.
1
13. 【答案】24　【解析】设AB切⊙O于点E，如解图，连接EO并延长交CD于点M，∵C⊙O＝26π＝2πr，∴r＝13，∵AB∥CD，且AB与CD之间的距离为18，∴OM＝18－r＝5，∵AB为⊙O的切线，∴∠CMO＝∠AEO＝90°，∴在Rt△CMO中，CM＝＝12，∴CD＝2CM＝24.
解图
14. 【答案】　【解析】如解图，连接EO并延长交AD于点F，连接OD、OA，则OD＝OA.∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF⊥AD，∴DF＝AF＝AD＝6，在Rt△ODF中，设OD＝r，则OF＝EF－OE＝AB－OE＝8－r，在Rt△ODF中，由勾股定理得DF2＋OF2＝OD2，即62＋(8－r)2＝r2，解得r＝.∴⊙O的半径为.
　　　　解图
15. 【答案】②③　[解析] ∵在半圆O中，AB是直径，D是半圆O上一点，C是的中点，
∴＝，但不一定等于，
∴∠BAD与∠ABC不一定相等，故①错误．
如图，连接OD，则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA.
∵∠ODA＋∠GDP＝90°，∠OAD＋∠GPD＝∠OAD＋∠APE＝90°，
∴∠GPD＝∠GDP，∴GP＝GD，故②正确．
补全⊙O，延长CE交⊙O于点F.
∵CE⊥AB，∴A为的中点，即＝.
又∵C为的中点，∴＝，∴＝，
∴∠CAP＝∠ACP，∴AP＝CP.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACQ＝90°，
∴∠ACP＋∠PCQ＝90°，∠CAP＋∠PQC＝90°，
∴∠PCQ＝∠PQC，∴PC＝PQ，
∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ的斜边AQ的中点，
∴点P为Rt△ACQ的外心，故③正确．
16. 【答案】2或4　[解析] 设圆O的半径为r cm如图①所示，r－1＝3，得r＝4；如图②所示，r＋1＝3，得r＝2.
三、解答题
17. 【答案】
解：(1)如图，过点B作BM⊥AC于点M，
则班车行驶了0.5小时的时候到达点M.
∵AM＝60×0.5＝30(千米)，AB＝50千米，
∴BM＝40千米．
答：此时，班车到发射塔的距离是40千米．
(2)能．理由如下：如图，连接BC.
∵AC＝60×2＝120(千米)，AM＝30千米，
∴CM＝AC－AM＝120－30＝90(千米)，
∴BC＝＝＝10 (千米)＜100千米，
∴到C城后还能接收到信号．
18. 【答案】
(1)证明：如解图，连接OA，OD.设∠ABC＝x，
∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，
∴∠ADB＝3x，∠ACB＝2x，
解图
∴ ∠DAC＝x，∠AOD＝2∠ABC＝2x，
∴∠OAD＝＝90°－x，(2分)
∴∠OAC＝90°－x＋x＝90°，
∴OA⊥AC，
又∵OA为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．(4分)
(2)解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3,
∠ABC＋∠ADB＝90°，
∴∠ABC＋3∠ABC＝90°，(6分)
解得∠ABC＝22.5°，
∴∠ADB＝67.5°，∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝22.5°.(8分)
19. 【答案】
解：(1)m＜－8或m＞8
(2)m＝－8或m＝8
(3)－8＜m＜－2或2＜m＜8
(4)当m＝－2或m＝2时，⊙O上有且只有三个点到直线MN的距离等于3；
当－2＜m＜2时，⊙O上有且只有四个点到直线MN的距离等于3.
20. 【答案】
解：(1)PO与BC的位置关系是PO∥BC.
(2)(1)中的结论仍成立．
证明：由折叠的性质可知△APO≌△CPO，
∴∠APO＝∠CPO.
又∵OA＝OP，
∴∠A＝∠APO，
∴∠A＝∠CPO.
又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，
∴∠A＝∠PCB，∴∠CPO＝∠PCB，
∴PO∥BC.
(3)证明：∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP.
由折叠的性质可得∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP.
又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO，
∴∠A＝∠APO＝∠AOP，
∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，
∴∠COP＝60°.
又∵OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC.
∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，
∴在Rt△PCD中，PD＝PC.
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，即AB＝4PD.