(共27张PPT)
2020年秋人教版
八年级上册数学
同步课时训练
12.3.2 角的平分线的判定
第十二章 全等三角形
01
基础题
OPD
HL
POD
①②③④
B
132°
02
中档题
D
90°
03
综合题
2∶3∶4
6cm
2
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
已7世纪薪盲
uu≥
Incon
教育部审定
义务教育教科书
年级
上册
数学)
D
B
B
微专题3
D
图1
图2
针对训练4
版权声明
21世纪教育网w.21cnjy.com(以下简称“本网站”)系属深圳市二一教育股份有限公司(以下简称“本公司”)
旗下网站,为维护本公司合法权益,现依据相关法律法规作出如下郑重声明
本网站上所有原创内容,由本公司依据相关法律法规,安排专项经费,运营规划,组织名校名师创作完成,
著作权归属本公司所有。
二、经由网站用户上传至本网站的试卷、教案、课件、学案等内容,由本公司独家享有信息网络传播权,其作品
仅代表作者本人观点,本网站不保证其内容的有效性,凡因本作品引发的任何法律纠纷,均由上传用户承担法律责任
本网站仅有义务协助司法机关了解事实情况
三、任何个人、企事业单位(含教育网站)或者其他组织,未经本公司许可,不得使用本网站任何作品及作品的
组成部分(包括但不限于复制、发行、表演、广播、信息网络传播、改编、汇编、翻译等方式),一旦发现侵权,本
公司将联合司法机关获取相关用户信息并要求侵权者承担相关法律责任
四、一旦发现侵犯本网站作品著作权的行为,欢迎予以举报。
举报电话:4006379991
举报信息一经核实,本公司将依法追究侵权人法律责任!
五、本公司将结合广大用户和网友的举报,联合全国各地文化执法机关和相关司法机关严厉打击侵权盗版行为
依法追究侵权人的民事、行政和刑事责任!
特此声明
深圳市二一教育股份有限公司中小学教育资源及组卷应用平台
八上数学同步课时训练12.3.2 角的平分线的判定
基础题
知识点1 角的平分线的判定
1.如图，PC⊥OA，PD⊥OB，当PC＝PD时，Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，∴∠POC＝∠POD.
2.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO，其中能判定OC是∠AOB的平分线的有①②③④.
3.如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠DFC＝90°.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴DE＝DF.
∴AD是∠BAC的平分线.
4.(教材P51习题T3变式)如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：
(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴OB＝OC.
(2)在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(AAS).
∴OD＝OE.
又∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.
知识点2 三角形的角平分线
5.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(B)
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.以上均不对
6.如图，点O到△ABC三边的距离相等，∠ABC＝84°，则∠AOC＝132°.
知识点3 角的平分线的实际应用
7.如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处.若在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.
解：图略.提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置.
中档题
8.(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线相交于点E，若存在点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的平分线
D.组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
9.如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝90°.
10.【关注社会生活】如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请用尺规作图找出符合实际要求的点.
解：在A，B，C，D四个区域各有一个点，图略.
11.(教材P50练习T2变式)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.
证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴DE＝DF，DG＝DF.
∴DE＝DG.
∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线.
综合题
12.(教材P52习题T7变式)如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E，
∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，
∴OB＝OE.
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD.
∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，
∴CO平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB＝∠AOE＝∠BOE.
同理，∠COD＝∠COE＝∠DOE.
∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE
＝∠BOE＋∠DOE＝×180°
＝90°.
∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.
∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.
微专题3
与角平分线有关的面积问题
【结论1】如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC.
【结论2】如图2，当点E在角平分线AD上的任何位置(不与点A重合)，都有S△ABE∶S△ACE＝AB∶AC.
1.如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝2∶3∶4.
2.如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3
cm，则AB＝6_cm.
3.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE，BD相交于点E，EF⊥AB于点F.若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为2.)
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
八上数学同步课时训练12.3.2 角的平分线的判定
基础题
知识点1 角的平分线的判定
1.如图，PC⊥OA，PD⊥OB，当PC＝PD时，Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，∴∠POC＝∠POD.
2.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO，其中能判定OC是∠AOB的平分线的有①②③④.
3.如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠DFC＝90°.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴DE＝DF.
∴AD是∠BAC的平分线.
4.(教材P51习题T3变式)如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：
(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴OB＝OC.
(2)在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(AAS).
∴OD＝OE.
又∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.
知识点2 三角形的角平分线
5.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(B)
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.以上均不对
6.如图，点O到△ABC三边的距离相等，∠ABC＝84°，则∠AOC＝132°.
知识点3 角的平分线的实际应用
7.如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处.若在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.
解：图略.提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置.
中档题
8.(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线相交于点E，若存在点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的平分线
D.组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
9.如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝90°.
10.【关注社会生活】如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请用尺规作图找出符合实际要求的点.
解：在A，B，C，D四个区域各有一个点，图略.
11.(教材P50练习T2变式)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.
证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴DE＝DF，DG＝DF.
∴DE＝DG.
∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线.
综合题
12.(教材P52习题T7变式)如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E，
∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，
∴OB＝OE.
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD.
∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，
∴CO平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB＝∠AOE＝∠BOE.
同理，∠COD＝∠COE＝∠DOE.
∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE
＝∠BOE＋∠DOE＝×180°
＝90°.
∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.
∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.
微专题3
与角平分线有关的面积问题
【结论1】如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC.
【结论2】如图2，当点E在角平分线AD上的任何位置(不与点A重合)，都有S△ABE∶S△ACE＝AB∶AC.
1.如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝2∶3∶4.
2.如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3
cm，则AB＝6_cm.
3.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE，BD相交于点E，EF⊥AB于点F.若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为2.)
八
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
