(共26张PPT)
2020年秋人教版
八年级上册数学
同步课时训练
12.3.1 角的平分线的性质
第十二章 全等三角形
01
基础题
C
A
D
B
两条线段是两
个全等三角形对应边上的高
这两条线段相等．
PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E
PD＝PE
02
中档题
A
C
5
03
综合题
谢谢
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教育部审定
义务教育教科书
年级
上册
数学)
A
B
P/N
B
N
D
图1
图2
E
B
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八上数学同步课时训练12.3.1 角的平分线的性质
基础题
知识点1 角的平分线的作法
1.如果要作已知角∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)
①作射线OC；②在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①
2.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
3.如图，已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的平分线，保留作图痕迹，不写作法.
解：如图所示.
知识点2 角的平分线的性质
4.(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是(D)
A.2
B.3
C.4
D.6
5.(枣庄中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为(B)
A.15
B.30
C.45
D.60
知识点3 文字命题的证明
6.命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两条线段是两个全等三角形对应边上的高，求证是这两条线段相等.
7.(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程.下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD＝PE.
中档题
8.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A.M点
B.N点
C.P点
D.Q点
9.(教材P52习题T7变式)(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)
A.8
B.6
C.4
D.2
10.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为5.
11.如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.求证：∠PCB＋∠BAP＝180°.
证明：过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠1＝∠2，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PE＝PF.
在Rt△APE和Rt△CPF中，
∴Rt△APE≌Rt△CPF(HL).
∴∠PAE＝∠PCB.
∵∠PAE＋∠PAB＝180°，
∴∠PCB＋∠BAP＝180°.
12.(教材P51习题T1变式)如图，已知∠MON，点A，C在射线OM上，请按要求完成下列作图(保留画图痕迹)及证明.
(1)在射线ON上分别截取OD＝OA，OE＝OC；
(2)连接AE，DC，交于点P；
(3)作射线OP；
(4)求证：OP平分∠MON.
解：(1)(2)(3)如图所示.
(4)证明：在△DOC和△AOE中，
∴△DOC≌△AOE(SAS).
∴∠OCD＝∠OEA.
∵OD＝OA，OE＝OC，
∴OE－OD＝OC－OA，即DE＝AC.
在△APC和△DPE中，
∴△APC≌△DPE(AAS).
∴CP＝EP.
在△POC和△POE中，
∴△POC≌△POE(SSS).
∴∠COP＝∠EOP，即OP平分∠MON.
13.求证：有两个角及其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等.
解：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线，且AD＝A′D′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线，
∴∠BAD＝∠B′A′D′.
在△ABD和△A′B′D′中，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).
∴AB＝A′B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
综合题
14.(长春中考)已知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC.
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求证：DB＝DC.
证明：过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠DFC＝∠DEB＝90°.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB(AAS).
∴DB＝DC.
八上数学同步课时
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八上数学同步课时训练12.3.1 角的平分线的性质
基础题
知识点1 角的平分线的作法
1.如果要作已知角∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)
①作射线OC；②在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①
2.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
3.如图，已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的平分线，保留作图痕迹，不写作法.
解：如图所示.
知识点2 角的平分线的性质
4.(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是(D)
A.2
B.3
C.4
D.6
5.(枣庄中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为(B)
A.15
B.30
C.45
D.60
知识点3 文字命题的证明
6.命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两条线段是两个全等三角形对应边上的高，求证是这两条线段相等.
7.(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程.下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD＝PE.
中档题
8.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A.M点
B.N点
C.P点
D.Q点
9.(教材P52习题T7变式)(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)
A.8
B.6
C.4
D.2
10.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为5.
11.如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.求证：∠PCB＋∠BAP＝180°.
证明：过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠1＝∠2，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PE＝PF.
在Rt△APE和Rt△CPF中，
∴Rt△APE≌Rt△CPF(HL).
∴∠PAE＝∠PCB.
∵∠PAE＋∠PAB＝180°，
∴∠PCB＋∠BAP＝180°.
12.(教材P51习题T1变式)如图，已知∠MON，点A，C在射线OM上，请按要求完成下列作图(保留画图痕迹)及证明.
(1)在射线ON上分别截取OD＝OA，OE＝OC；
(2)连接AE，DC，交于点P；
(3)作射线OP；
(4)求证：OP平分∠MON.
解：(1)(2)(3)如图所示.
(4)证明：在△DOC和△AOE中，
∴△DOC≌△AOE(SAS).
∴∠OCD＝∠OEA.
∵OD＝OA，OE＝OC，
∴OE－OD＝OC－OA，即DE＝AC.
在△APC和△DPE中，
∴△APC≌△DPE(AAS).
∴CP＝EP.
在△POC和△POE中，
∴△POC≌△POE(SSS).
∴∠COP＝∠EOP，即OP平分∠MON.
13.求证：有两个角及其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等.
解：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线，且AD＝A′D′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线，
∴∠BAD＝∠B′A′D′.
在△ABD和△A′B′D′中，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).
∴AB＝A′B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
综合题
14.(长春中考)已知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC.
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求证：DB＝DC.
证明：过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠DFC＝∠DEB＝90°.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB(AAS).
∴DB＝DC.
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