1.1变化率与导数 课时同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-2
1.1变化率与导数
一、单选题
1.函数
在区间
上的平均变化率为3，则实数m的值为（???
）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?2
2.一个物体的位移s(米)和与时间
(秒)的关系为
，则该物体在4秒末的瞬时速度是
（
????）
A.?12米/秒???????????????????????????????B.?8米/秒???????????????????????????????C.?6米/秒???????????????????????????????D.?8米/秒
3.若直线
与曲线
（
，e为自然对数的底数）相切，则
（???
）
A.?-2????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?2
4.曲线
在点
处的切线方程为
，则
（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?8
5.函数
在区间
上的平均变化率为（???
）
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
6.某物体沿水平方向运动，其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为
，则该物体在运行前2秒的平均速度为（???
）（米/秒）
A.?18?????????????????????????????????????????B.?13?????????????????????????????????????????C.?9?????????????????????????????????????????D.?
7.曲线
在
处的切线方程是（??
）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
8.若
，则
等于（??
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?
9.曲线
在点
处的切线斜率为（????
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.若曲线
(
)存在斜率小于1的切线，则a的取值范围为（???
）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
11.已知e为自然对数的底数，过原点与函数
图像相切的直线方程为（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
12.已知函数
为偶函数，当x＜0时，
，则曲线
在x＝1处的切线方程为（???
）
A.?x-y＝0????????????????????????????B.?x-y-2＝0????????????????????????????C.?x+y-2＝0????????????????????????????D.?3x-y-2＝0
13.函数
在
上的大致图象是（??
）
A.??????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????D.?
14.某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：
）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：
（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为
.那么瞬时融化速度等于
的时刻是图中的（???
）.
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
15.已知直线
是曲线
的一条切线，则
________.
16.若一汽车在公路上做加速运动，设
秒时的速度为
，则该车在
时的加速度为________．
17.如图，直线
是曲线
在
处的切线，则
________.
18.已知函数
在区间
，
上的平均变化率分别为
，
，那么
，
的大小关系为________.
19.已知定义在R上的奇函数
，当
时，
，则
在点
处的切线方程为________.
20.点P(4，4)为曲线C：
上一点，过P作直线PQ交曲线C于点Q(异于P点)，P与曲线C的焦点F的连线与Q点处的切线l垂直，直线l与曲线C的准线交于点M
，
则
________
三、解答题
21.求下列函数的导数
（1）y=2x3﹣3x2﹣4；
（2）y=xlnx；
（3）
物体作直线运动的方程s=t2+2t﹣3，求物体在t=2秒时的速度和加速度.
已知函数
，求曲线
在点
处的切线方程.
24.已知曲线
y
=
x3
+
x－2
在点
P0
处的切线
平行于直线4x－y－1=0，且点
P0
在第三象限,
（1）求P0的坐标;
（2）若直线
,
且
l
也过切点P0
,求直线l的方程.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：根据题意，函数
在区间
上的平均变化率为
，
则有
，解可得：
.
故答案为：D
【分析】据题意，求出函数在间
上的平均变化率，进而可得
，解可得m的值，即可得答案．
2.答案：
C
解：∵一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s=4-2t+t2
，
∴s′=2t-2，
∴该物体在4秒末的瞬时速度是s′|x=4=2×4-2=6.
故答案为：C．
【分析】瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，先求s=4-2t+t2的导数，再求得t=4秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．
3.答案：
B
解：不妨设切点为
，因为
，
故可得
，
，
，
解得
，故可得
，
解得
.
故答案为：B.
【分析】设出切点，利用导数几何意义，列出方程，即可求得参数m.
4.答案：
B
解：因为
，
所以
，
故
，解得
，
又切线过点
，所以
，解得
，所以
，
故答案为：B
【分析】求函数导数，利用切线斜率求出a，根据切线过点
求出b即可.
5.答案：
B
解：因为
，
所以
在区间
上的平均变化率为
.
故选：B
【分析】直接利用平均变化率公式
进行求值.
6.答案：
C
解：
，因此该物体在运行前2秒的平均速度为
（米/秒）.
故答案为：C.
【分析】利用平均变化率的定义得出该物体在运行前2秒的平均速度为
，进而可求得结果.
7.答案：
D
解：由题意知，
，
在
处的切线的斜率
，
则在
处的切线方程是：
，
即
，
故答案为：
．
【分析】先求出导数，再把
代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式．
8.答案：
B
解：根据题意，若
，
则
，
即
.
故答案为：
．
【分析】根据题意，由导数的定义可得答案．
9.答案：
D
解：
，则
，
．
故答案为：D.
【分析】求出导数后即可得切线斜率．
10.答案：
C
解：由题意可得
在
上有解，
设
(
)，
，
令
，得
；令
，得
，
在
单调递减，在
单调递增，
，解得：
.
故答案为：C.
【分析】对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案；
11.答案：
C
解：设切点为
,因为
,故在
切线的斜率为
.又切线经过原点.
且
在
上.故
.
故斜率
.所以切线方程为
.
故选：C
【分析】设切点为
再根据导数的几何意义列式求解即可.
12.答案：
A
解：当
时，
，
，
又函数
为偶函数，所以
，
，所以
，
，
故切线方程为
，即
.
故答案为：A．
【分析】先求出当
时，
的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案.
13.答案：
D
解：当
时，
，则
，
所以函数在
上单调递增，
令
，则
，
根据三角函数的性质，
当
时，
，故切线的斜率变小，
当
时，
，故切线的斜率变大，可排除A、B；
当
时，
，则
，
所以函数在
上单调递增，
令
，
，
当
时，
，故切线的斜率变大，
当
时，
，故切线的斜率变小，可排除C，
故答案为：D
【分析】讨论
的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.
14.答案：
C
解：平均融化速度为
，
反映的是
图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知
处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，平均融化速度反映的是
图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案.
二、填空题
15.答案：
4
解：设
，切点为
，
因为
，所以
，解得
，
所以
，
故切点为
，又切点在切线
上，故
.
故答案为：4
【分析】设切点为
，根据导数的几何意义可求斜率
，即可求出
，代入切线方程即可求解.
16.答案：
解：根据加速度等于速度的导数可知：
，
?
该车在
时的加速度为
.
故答案为：
【分析】由速度函数的导函数即为加速度可知，求导代值即可.
17.答案：
解：由图可知直线
过点
，
可求出直线
的斜率
，
由导数的几何意义可知，
.
故答案为:
.
【分析】求出切线
的斜率，即可求出结论.
18.答案：
k1>k2
解：当
，
时，平均变化率
，
当
，
时，平均变化率
，
则，
故答案为：
.
【分析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．
19.答案：
解：当
时，
，
，
，
，
切线方程为
，即
.
故答案为：
.
【分析】根据奇函数的性质求出当
时函数的解析式，利用导数的几何意义求切线的方程.
20.答案：
解：P=
，即
，即
，导函数
，
所以焦点F(0，1)，准线为y=-1；直线PF的斜率k1=
，
则Q(x1
，
y1)处切线l的斜率k=
；
依题意得kk1=-1，
；所以
.
切线l的方程为
，与准线的交点M(
).
所以，
.
故答案为：
【分析】根据抛物线上点的坐标求出抛物线方程，根据斜率求出切线l的斜率，求出点Q的坐标，即可得解.
三、解答题
21.答案：
（1）解：y′=6x2﹣6x；
（2）解：y′=lnx+1；
（3）解：
.
【分析】直接利用和、差、积商的导数公式，即可得出结论．
答案：解：由导数的物理意义：物体作直线运动的方程s=s（t）
，
则物体在t=t0时的即时速度v=s′（t0），
在t=t0时的加速度a=s″（t0），
∴v=s′（t）=2t+2?，a=s″（t）=2，
物体在t=2秒时的速度v=s′（2）=（2t+2）|t=2=6，
加速度a=s″（t）=2|t=2=2
.
【分析】首先求导，然后将t=2代入即可得到速度；再次求导，然后将t=2代入即可得到加速度.
23.答案：
解：依题意可知：
，
，
∴切线方程为
，即
.
【分析】先求出函数的导数在
处的导数值（切线的斜率），再利用点斜式求出曲线
在点
处切线的方程，最后化为一般式即可.
24.答案：
（1）解：由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4．
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为（-1，-4）；
（2）解：∵直线
l⊥l1
，
l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为-1/
4
，
∵l过切点P0
，
点P0的坐标为（-1，-4）
∴直线l的方程为y+4=
（x+1）即x+4y+17=0．
【分析】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用。以及直线方程的求解的综合运用。首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用
，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论.
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