1.3导数在研究函数中的应用 课时同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-2
1.3导数在研究函数中的应用
一、单选题
1.函数
的图像在点
处的切线方程为（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.函数
的单调递增区间是（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
3.若曲线
在点
处的切线方程是
，则（???
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
4.曲线
在点
处的切线方程为（?
）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
5.已知函数
在
处的导数为
，则
等于（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
6.已知函数
在点
处的切线的倾斜角是
，则
的值为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?1
7.已知函数
在
上可导且满足
，则下列一定成立的为（
??）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
8.若点P是曲线
上任一点，则点P到直线
的最小距离是（???
）
A.????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
9.若函数
在区间
上单调递减，则实数a的取值范围是（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
10.已知定义域为R的奇函数
的导函数为
，当
时，
.若
，则
的大小关系为（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
11.已知
在R上是可导函数,则
的图象如图所示，则不等式
的解集为（??
）
A.????????????????????????????????????
?????B.?
C.????????????????????????D.?
12.已知定义在R上的函数
满足
，且
恒成立，则不等式
的解集为(??
)
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
13.设
是在
上的可导函数，且
，
，
，则下列一定不成立的是（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
14.已知
恰有一个极值点为1，则t的取值范围是（???
）
A.????????????????B.?????????????C.????????????????D.?
二、多选题
15.已知函数
的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（???
）
A.?-1是函数
的极小值点??????????????????????????????????B.?-3是函数
的极小值点
C.?函数
在区间
上单调递增??????????????D.?函数
在
处切线的斜率小于零
16.已知函数
，若
，则下列选项正确的是（???
）
A.????????????????B.?
C.????????????????D.?当
时，
三、填空题
17.若曲线
在点
处的切线平行于x轴，则a=________．
18.函数
（
）在
处有极值，则曲线
在原点处的切线方程是________．
19.曲线
的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.
20.已知函数
.
若
，则
的极大值点为________．
若
有3个极值点，则实数m的取值范围是________．
21.已知函数
，若
，
，则实数m的取值范围是________．
22.已知
，
，对于
时都有
恒成立，则m的取值范围为________.
四、解答题
23.设函数
(m
R).
（1）当
时，求函数
在
处的切线方程；
（2）当
时，求函数
的单调增区间.
24.已知函数
在
处取得极值.
（1）求实数a的值；
（2）若
（其中e为自然对数的底数），求曲线
在点
处的切线的方程.
25.已知函数
.
（1）求函数
的单调区间和极值；
（2）若函数
在区间
上存在零点，求
的最小值.（参考数据：
）
26.已知函数
.
（1）若函数
在
上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数
在
上的最小值为3，求实数a的值.
27.设
函数.
(Ⅰ)求函数
单调递增区间；
(Ⅱ)当
时，求函数
的最大值和最小值.
28.已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=
的单调性．
29.已知函数
.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥
x3+1，求a的取值范围.
30.已知函数
．
（1）当
时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：
，
，
，
，
因此，所求切线的方程为
，即
.
故答案为：B.
【分析】求得函数
的导数
，计算出
和
的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
2.答案：
D
解：由已知
，当
时
，当
时
，
所以增区间为
．
故答案为：D．
【分析】求出导函数
，由
确定增区间．
3.答案：
A
解：因为
，故可得
，
由题可知
，即可得
；
又切点坐标满足切线方程，故可得
，解得
.
故答案为：A.
【分析】将切点坐标代入切线方程求得b；根据
，解得a.
4.答案：
C
解：
,故切线的斜率为
.又
.所以曲线
在点
处的切线方程为
.即
.
故答案为：C
【分析】对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可.
5.答案：
A
解：
故答案为：A．
【分析】利用导数的定义即可求出．
6.答案：
A
解：由题意知
.
故答案为：A
【分析】由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.
7.答案：
A
解：构造函数
，则
，当
时，
.
所以，函数
在
上单调递增，
，
，即
，
即
，
故答案为：A.
【分析】构造函数
，利用导数判断函数
在
上的单调性，可得出
与
的大小关系，经过化简可得出正确选项.
8.答案：
C
解：要使点P到直线
的最小距离，
只需点
为曲线与直线
平行的切线切点，
即点
为斜率为
的切线的切点，设
，
，
解得
或
（舍去），
点
到直线
的距离为
，
所以曲线
上任一点到直线
距离最小值为
.
故答案为：C.
【分析】与直线
平行且与曲线相切时，切点到直线
的距离最小，利用导数求出切点坐标即可.
9.答案：
A
解：函数
，
.
则
，
因为
在区间
上单调递减，
则
在区间
上恒成立，即
，
所以
在区间
上恒成立，
所以
，解得
，
故答案为：A.
【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知
在区间
上恒成立，即可由定义域及不等式求得a的取值范围.
10.答案：
C
解：设
，因为
是奇函数，所以
是偶函数
当
时
，所以
在
上单调递增
因为
，
所以
，即
故答案为：C
【分析】设
，由条件可得出
是偶函数且在
上单调递增，然后即可比较出
的大小
11.答案：
D
解：由
的图像可知，在区间
上
，在区间
，
.不等式
可化为
，
所以其解集为
.
故答案为：D
【分析】根据
图像判断
的符号，由此求得不等式
的解集.
12.答案：
D
解：
令
，则
，
即为
，即
?设
，则
，
?因为对于任意的
，都有
成立，
?所以对任意
，都有
，
所以
为单调递增函数，
?且
，
所以
的解集为
，
?即
，即
，
所以不等式
的解集为
，
故答案为：D.
【分析】令
，得
，?设
，利用求导的方法结合不等式恒成立问题的解决方法，得出为单调递增函数，且
，可得解集为
，?即
，从而用一元二次不等式的求解方法求出x的取值范围，即可求出不等式??的解集.
13.答案：
A
解：
是在
上的可导函数，且
，
设
，
，
为单调递增函数或常数函数.
又
，
，
在区间
上是常数函数，
，
.
又
，
，
.
故答案为：A.
【分析】设
，可得
，判断
为单调递增函数或常数函数.由
，
得
，判断在区间
上是常数函数，可求
的值，可得
的正误.
再根据
，求出
的取值范围，进而判断
的正误，即得答案.
14.答案：
D
解：由题意，函数
的定义域为
，
对函数
求导得
，
恰有一个极值点为1，
在
上无解，即
在
上无解，
令
，则
，
函数
在
单调递增，
当
时，
，.
故答案为：D.
【分析】由题意结合导数转化条件得
在
上无解，令
，求导后确定函数
的值域即可得解.
二、多选题
15.答案：
B,C
解：由图象得
时，
，
时，
，
故
在
单调递减，在
单调递增，
故
是函数
的极小值点.对选项D：显然
，故
错误.
故答案为：BC．
【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
16.答案：
C,D
解：对于A选项，函数
，定义域为
，
.
令
，则
；令
，可得
.
所以，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
当
时，
，则
，A选项错误；
对于B选项，构造函数
，
定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
当
时，
，B选项错误；
对于C选项，
，由于函数
在
上单调递增，
当
时，
，即
，
所以
，C选项正确；
对于D选项，由A选项知，函数
在区间
上单调递增，
当
时，
，则
，
即
，D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】利用导数判断函数
的单调性，可判断A选项；构造函数
，利用导数判断函数
的单调性，可判断B选项；由函数
的单调性可判断C选项；利用函数
在区间
上的单调性可判断D选项.
三、填空题
17.答案：
解：由函数的解析式可得：
，
曲线
在点
处的切线平行于
轴，
结合题意有：
.
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用两直线平行斜率相等的关系，从而求出a的值。
18.答案：
3x+y=0
解：
,则曲线
在原点处的切线方程是
?，
故答案为：
.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用已知条件函数??（??）在??处有极值，从而求出a的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法求出曲线在切点处的斜率，再利用切点的横坐标代入曲线方程求出切点纵坐标的方法求出切点坐标，再利用点斜式求出切线方程，从而转化为切线的一般式方程.
19.答案：
y=2x
解：设切线的切点坐标为
，
，所以切点坐标为
，
所求的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
【分析】设切线的切点坐标为
，对函数求导，利用
，求出
，代入曲线方程求出
，得到切线的点斜式方程，化简即可.
20.答案：
；
解：当
时，
，
，
令
，解得
.所以
在
和
上递增，
在
上递减.所以
的极大值点为
.
，
，
令
得
，
构造函数
，，
所以
在
上递增，在
上递减，
所以
的极大值为
，极小值为
注意到当
时，
，
所以由
有
个极值点，可得
.
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
；
【分析】当
时，利用导数求得
的极大值点；根据
有三个极值点，利用分离常数法求得m的取值范围.
21.答案：
[-4,2e]
解：由题意，函数
，
⑴当
时，由
，可得
，即
，
设
，可得
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以
，即
；
⑵当
时，由
，可得
，
当
时显然成立；
当
时，可得
，因为
，
当且仅当
时取等号，所以
.
综上可得，实数
的取值范围是[-4,2e]，
故答案为：[-4,2e].
【分析】由函数的解析式，分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式，即可求解.
22.答案：
解：构造函数
，
依题意
在区间
上恒成立.
则，
又，
所以
在区间
上递减，在区间
上递增，
所以
在区间
的最小值为
，
，
，
，
所以在区间
，
，在区间
，
，
所以当
时，
有最小值，
即
.
依题意
在区间
上恒成立，
所以
，解得
.
故答案为：
【分析】构造函数
，利用导数研究
的最小值，由此列不等式，解不等式求得m的取值范围.
四、解答题
23.答案：
（1）解：当
时，
，
，，
在
处的切线方程为
即
；
（2）解：当
时，
，
令
，得
，
，
解得
(舍去)或
，
的单调增区间是
【分析】（1）由
，求导，
求出
，
，写出切线方程.
（2）当
时，
，求导，然后由
求解.
24.答案：
（1）解：由题意可得
，
因为
在
处取得极值，所以
，
即
，解得
.
此时
，
所以
在
和
上单调递增，
在
递减，所以
在
处取得极大值，
因此所求的a的值为
；
（2）解：由题意得
，故
，
又
，则
，
因此曲线
点
处的切线的方程为
，
即
.
【分析】（1）求导，令
即可解得答案；（2）先写出
的解析式并求导，计算
、
，然后利用直线的点斜式方程写出曲线
在点
处的切线方程.
25.答案：
（1）解：由题意，函数
，则
，
当
时，
，所以
为减函数，
为增函数，
的极小值是
，无极大值；
（2）解：
，
则
且
，
⑴
时，则
，所以
在
上是增函数，得：
，
所以
，
⑵
时，则
，所以
在
上是减函数，得：
，
所以
，
⑶
时，则
，使得
，
易知
在
上是减函数，在
上是增函数，得：
所以
，
记
，则
，
，
由
，得
，所以
在
上为增函数，
得：
，所以以
在
上为增函数，
得：
，
此时可验证
或
必有其一大于等于0，故零点存在；
由（1）（2）（3）可得：
的最小值等于
.
【分析】（1）求出函数的导数，求得函数
的单调性，进而求得函数的极值；（2）求出
得解析式，求出
的都是，通过讨论a的范围得到函数的单调性，求出b得范围，进而求得
的最小值.
答案：
（1）解：
，
由已知
，即
，
∴
，∴
，∴
；
（2）解：当
，即
时，
，
，
∴
在
上单调递增，
∴
，∴
舍；
当
，即
时，
，
∴
在
上单调递减；
，
，
∴
在
上单调递增，
∴
，∴
舍；
当
，即
时，
，
，
∴
在
上单调递减，
∴
，∴
；
综上，
.
【分析】（1）求出原函数的导函数，由导函数在
大于等于0恒成立得到x-2a≥0在
恒成立，分离变量a后即可得到a的取值范围；（2）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间
上的单调性，由单调性求得原函数在
上的最小值，由最小值等于3解得
的值．
27.答案：
解：（Ⅰ）
?
则
单调区间为
（Ⅱ）
由知（Ⅰ）知，
是单调增区间，
是单调减区间，
则
所以
.
【分析】（Ⅰ）因为对函数
求导可得
，函数
的单调递增区间即要满足
，即解
可得x的范围.本小题要处理好两个关键点：三角的化一公式；解三角不等式.（Ⅱ）因为由（Ⅰ）可得函数
在上
递增，又因为
所以可得
是单调增区间，
是单调减区间.从而可求结论.
28.答案：
（1）解：函数
的定义域为：
，
设
，
则有
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以当
时，函数
有最大值，
即
，
要想不等式
在
上恒成立，
只需
；
（2）解：
且
因此
，
设
，
则有
，
当
时，
，所以
，
单调递减，
因此有
，即，所以
单调递减；
当
时，
，所以
，
单调递增，
因此有
，即
，所以
单调递减，
所以函数
在区间
和
上单调递减，没有递增区间.
【分析】（1）不等式
转化为
，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数
求导，把导函数
的分子构成一个新函数
，再求导得到
，根据
的正负，判断
的单调性，进而确定
的正负性，最后求出函数
的单调性.
29.答案：
（1）解：当
时，
，
，
由于
，故
单调递增，注意到
，故：
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增；
（2）解：由
得，
，其中
，
①.当x=0时，不等式为：
，显然成立，符合题意；
②.当
时，分离参数a得，
，
记
，
，
令
，
则
，
，
故
单调递增，
，
故函数
单调递增，
，
由
可得：
恒成立，
故当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
因此，
,
综上可得，实数a的取值范围是
.
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
答案：
（1）解：
，
，
.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为
,即
,
切线与坐标轴交点坐标分别为
,
∴所求三角形面积为
;
（2）解：解法一：
,
，且
.
设
,则
∴g(x)在
上单调递增，即
在
上单调递增，
当
时，
,∴
,∴
成立.
当
时，
，
，
,
∴存在唯一
，使得
，
且当
时
，当
时
，
，
，
因此
>1,
∴
∴
恒成立；
当
时，
∴
不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
解法二：
，
等价于,
令
,上述不等式等价于
,
显然
为单调增函数，∴又等价于
，即
，
令
,则
在
上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，
∴
,
，∴a的取值范围是[1,+∞).
【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数
得导函数
的单调递增，当a=1时由
得
,符合题意；当a>1时，可证
，从而
存在零点
，使得
，得到
，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得
恒成立；当
时，研究
.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将
转化为，
令
,上述不等式等价于
,注意到
的单调性，进一步等价转化为
，令
,利用导数求得
，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.
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精品试卷·第
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