1.4生活中的优化问题举例 课时同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学人教新课标A版
选修2-2
1.4生活中的优化问题举例
一、单选题
1.函数
的图像在点
处的切线方程为（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.函数
的单调递增区间是（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
3.若曲线
在点
处的切线方程是
，则（???
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
4.已知函数
在点
处的切线的倾斜角是
，则
的值为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?1
5.函数
=
的极值点为(??
)
A.?0?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?0或1?????????????????????????????????????????D.?-1
6.在
处有极小值，则常数c的值为（???
）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????????????C.?2或6??????????????????????????????????????????D.?1
7.若函数f（x）满足
，则
的值为（???
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
8.若在曲线
上一点
处的切线与
平行，则p点的横坐标为（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
9.已知曲线
在点
处的切线方程为
，则曲线
在点
处的切线方程为(???
)
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
10.已知函数
在
处取极值10，则
（??
）
A.?4或
??????????????????????????????????B.?4或
??????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????D.?
11.若f(x
a>b>e,则有(??
)
A.?f(a)>f(b)??????????????????????????B.?f(a)1
12.已知函数
在
上可导且满足
，则下列一定成立的为（
??）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
13.若点P是曲线
上任一点，则点P到直线
的最小距离是（???
）
A.????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
14.已知定义在
上的可导函数
满足
，若
是奇函数，则不等式
的解集是（??
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
二、多选题
15.定义在区间
上的函数
的导函数
图象如图所示，则下列结论正确的是（???
）
?
A.?函数
在区间
单调递增???????????????????????B.?函数
在区间
单调递减
C.?函数
在
处取得极大值????????????????????????D.?函数
在
处取得极小值
16.已知函数
，若
，则下列结论正确的是（???
）
A.???????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????D.?当
时，
三、填空题
17.若曲线
在点
处的切线平行于x轴，则a=________．
18.已知函数
，若函数
在
处的切线方程为
，则
的值为________．
19.已知函数
.
若
，则
的极大值点为________．
若
有3个极值点，则实数m的取值范围是________．
20.已知函
，
，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设
．若
在
上恒成立，则实数a的取值范围为________
四、解答题
21.已知函数
.
（1）求
在点
处的切线；
（2）求
在区间
上的最大值和最小值.
22.已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
的斜率等于
的切线方程；
（Ⅱ）设曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的最小值．
23.已知函数
（
），
（
）
（1）若
求函数
的单调区间；
（2）若
时有
恒成立，求
的取值范围.
24.设
，
，
在点
处的切线与y轴相交于点
.
（1）确定a的值；
（2）求函数
的单调区间与极值.
25.设函数
在
及
时取得极值．
（1）求
的值；
（2）若对于任意的
，都有
成立，求
的取值范围．
26.已知函数
.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥
x3+1，求a的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：
，
，
，
，
因此，所求切线的方程为
，即
.
故答案为：B.
【分析】求函数
的导数，计算
和
的值，可得切线的点斜式方程，化简即可.
2.答案：
D
解：由已知
，当
时
，当
时
，
所以增区间为
．
故答案为：D．
【分析】求出导函数
，由
确定增区间．
3.答案：
A
解：因为
，故可得
，
由题可知
，即可得
；
又切点坐标满足切线方程，故可得
，解得
.
故答案为：A.
【分析】将切点坐标代入切线方程求得b；根据
，解得a.
4.答案：
A
解：由题意知
.
故答案为：A
【分析】由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.
5.答案：
B
解：
=
=
，
函数
在
上是增函数，在
上是减函数，
所以x=1是函数的极小值点，
故答案为：B.
【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.
6.答案：
A
解：函数
，
∴
，
又
在x=2处有极值，
∴f′(2)=12?8c+
=0，
解得c=2或c=6，
又由函数在x=2处有极小值，得出c=2，
当c=6时,函数
在x=2处有极大值，所以c=2。
故答案为：A.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用
在
处有极小值，
从而推出满足要求的c的值。
7.答案：
A
解：计算得
，
把
代入，得
，
∴
故答案为：A
【分析】先求出
，令
，计算求出
.
8.答案：
A
解：设
，
，即
解得
或
（舍）
故答案为：A
【分析】设
，利用导数的几何意义求解即可.
9.答案：
B
解：由切线方程
，得
，
.
设
，则
，
，
，
曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
故选：B.
【分析】由
切线方程
，得
，
，代入
可得切点坐标，对
求导代入可得切线斜率，求解出方程即可.
10.答案：
C
解：∵
，
∴
．
由题意得
，
即
，解得
或
．
当
时，
，
故函数
单调递增，无极值，不符合题意．∴
．
故选C．
【分析】根据函数的极值点和极值得到关于
的方程组，解方程组并进行验证可得所求．
11.答案：
B
解：解：
，
，
令
，解得
，
即
在区间
上单调递减，
，.
故答案为：B.
【分析】求导数，令其小于0，解得函数在区间
上单调递减，由函数单调性的定义可得答案.
12.答案：
A
解：构造函数
，
则
，当
时，
.
所以函数
在
上单调递增，
，
，即
，
即
，
S故答案为：A.
【分析】构造函数
，利用导数判断函数
在
上的单调性，可得出
与
的大小关系，经过化简可得出正确选项.
13.答案：
C
解：要使点P到直线
的最小距离，
只需点
为曲线与直线
平行的切线切点，
即点
为斜率为
的切线的切点，设
，
，
解得
或
（舍去），
点
到直线
的距离为
，
所以曲线
上任一点到直线
距离最小值为
.
故答案为：C.
【分析】与直线
平行且与曲线相切时，切点到直线
的距离最小，利用导数求出切点坐标即可.
14.答案：
A
解：构造函数
，
依题意可知
，所以
在
上递增.
由于
是奇函数，所以当
时，
，
所以
，所以
.
由
得
，
所以
，故不等式的解集为
.
故答案为：A
【分析】构造函数
，根据已知条件判断出
的单调性.根据
是奇函数，求得
的值，由此化简不等式
求得不等式的解集.
二、多选题
15.答案：
A,B,D
解：根据导函数图像可知，
在区间
上，
，
单调递减，
在区间
上，
，
单调递增.
所以
在
处取得极小值，没有极大值.
所以A,B,D选项正确，C选项错误.
故答案为：ABD
【分析】根据导函数图像判断出函数
的单调性和极值，由此判断出正确选项.
16.答案：
A,D
解：设
，函数单调递增，则
，
即
，
正确；
设
不是恒大于零，
错误；
不是恒小于零，
错误；
故
，函数单调递增
故
，
即
，
?，
即
，
正确.
故答案为：
【分析】根据
的单调性得到
正确；
不是单调递增得
错误；根据
不是单调递减得
错误；根据条件得到
单调递增，得到
，代换得到答案.
三、填空题
17.答案：
解：由函数的解析式可得：
，
曲线
在点
处的切线平行于
轴，
结合题意有：
.
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用两直线平行斜率相等的关系，从而求出a的值.
18.答案：
4
解：
，
，解得：
；
由切线方程可知
，
，解得：
；
.
故答案为：4.
【分析】由切线方程可知
，
，由此构造方程求得a,b，进而得到结果.
19.答案：
；
解：当
时，
，
，
令
，解得
.
所以
在
和
上递增，
在
上递减.所以
的极大值点为
.
，
，
令
得
，
构造函数
，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
所以
的极大值为
，极小值为
，
注意到当
时，
，
所以由
有
个极值点，可得
.
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
；
【分析】当
时，利用导数求得
的极大值点，根据
有三个极值点，利用分离常数法求得m的取值范围.
20.答案：
解：当
时，
，当
时，
，
所以
在
必成立，
问题转化为
在
恒成立，
由
恒成立，可得
，
在
恒成立，设
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
A的取值范围是
.
故答案为：
.
【分析】利用定义max{m，n}表示m，n中的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，再用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而求出实数a的取值范围.
四、解答题
21.答案：
（1）解：
，又
，
所以切线方程为
，即
；
（2）解：由（1）知
或
，
∴
在
上单减，在
上单增，??
又
，
∴
在
上的最大值为3，最小值为0.
【分析】（1）求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;（2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.
22.答案：
解：（Ⅰ）因为
，所以
，
设切点为
，则
，即
，所以切点为
，
由点斜式可得切线方程为：
，即
.
（Ⅱ）显然
，
因为
在点
处的切线方程为：
，
令
，得
，令
，得
，
所以
，
不妨设
时，结果一样
，
则
，
所以
，
由
，得
，由
，得
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
时，
取得极小值，
也是最小值为
.
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，再利用导数可求得最值.
23.答案：
（1）解：
时，
的定义域为
，
.
令
，得
，令
，得
，
所以
在
上是增函数，
上是减函数；
（2）解：当
时，
恒成立，即
恒成立.
因为
，所以
.
令
，
令
，
，
故
在
上单调递减，且
，
，
故存在
使得
，
故
，即
.
当
时，
，
；当
时，
，
；
∴
在
单调递增，在
单调递减，
∴
，
故
【分析】（1）
时，
的定义域为
，
.解关于导函数的不等式，得到函数
的单调区间；（2）当
时，
恒成立，即
，构造新函数
，求其最大值即可.
24.答案：
（1）解：由题可知：
，
，
所以
，切点
，
在点
处切线方程为
，
令
，则
，∴
；
（2）解：
，函数
的定义域
，
，
令
，则
或
，
2
3
+
0
－
0
+
极大值
极小值
故
单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，
则极大值为
，极小值为
.
【分析】（1）求出导数
，得
，写出题中切线方程
，代入点
可得
.（2）解不等式
得增区间，解不等式
得减区间；
的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点，并可得极值.
25.答案：
（1）解：
，
因为函数
在
及
取得极值，则有
，
．
即
解得
，
；
（2）解：由（Ⅰ）可知，
，
．
当
时，
；当
时，
；当
时，
．
所以，当
时，
取得极大值
，
又
，
．
则当
时，的最大值为
．
因为对于任意的
，有
恒成立，
所以
，解得
或
，
因此
的取值范围为
．
【分析】（Ⅰ）求出
，利用
，
列方程即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小可得
的最大值为
，由
解不等式即可得结果.
26.答案：
（1）解：当
时，
，
，
由于
，故
单调递增，注意到
，
故：当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增；
（2）解：由
得，
，其中
，
①.当x=0时，不等式为：
，显然成立，符合题意；
②.当
时，分离参数a得，
，
记
，
，
令
，
则
，
，
故
单调递增，
，
故函数
单调递增，
，
由
可得：
恒成立，
故当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
因此，
,
综上可得，实数a的取值范围是
.
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)