1.6微积分基本定理 课时同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学人教新课标A版
选修2-2
1.6微积分基本定理
一、单选题
1.（???
）
A.?－1??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????D.?4
2.已知曲线
和曲线
围成一个叶形图；则其面积为
（????
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
3.（???
）
A.?4??????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.函数
的图象如图所示，则阴影部分的面积是（???
）
????????????????
B.????????????????????
C.????????????????????
D.?
5.函数
与两条平行线
，
及
轴围成的区域面积是（??
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
6.若
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.如图，阴影部分的面积是（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
8.下列积分值等于1的是（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.???????????????????D.?
9.如图，两曲线
与
所围成的图形面积是（???
）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?12????????????????????????????????????D.?3
10.正项等比数列
中，
的等比中项为
，令
，则
（??
）
A.?6?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?32?????????????????????????????????????????D.?64
11.已知函数
，则定积分
的值为(???
)
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
12.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线
时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线
时，表示收入完全不平等记区域
为不平等区域，a表示其面积，S为
的面积．将
，称为基尼系数．对于下列说法：
①
越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为
，则对
，均有
；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为
，则
；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为
，则
．其中不正确的是：（???
）
A.?①④??????????????????????????????????B.?②③??????????????????????????????????C.?①③④??????????????????????????????????D.?①②④
二、填空题
13.计算
________.
14.已知函数
，则
________．
15.如图阴影部分是由曲线
，
与直线
，
围成，则其面积为________．
16.已知
是函数
的导函数，定义
为
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的拐点，经研究发现，所有的三次函数
都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设
，若点
是函数
的“拐点”也是函数
图像上的点，则
________.
三、解答题
17.求
的值.
18.如图，求直线
与抛物线
所围成的图形的面积.
计算由曲线
，
所围图形的面积S.
20.将由曲线
和直线
，
所围成图形的面积写成定积分的形式．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
C
解：∵
为奇函数，
∴
，
∴
.
故答案为：C
【分析】由
为奇函数，可知
，从而易得结果.
2.答案：
D
解：由题得函数的图象如图所示，
联立
得交点（1,1）
所以叶形图面积为
.
故答案为：D
【分析】先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.
3.答案：
D
解：设
，则
，其中
，
.
的几何意义为图中阴影面积，
设
，易知
，
则
.
故答案为：D.
【分析】设
，变换得到
的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案.
4.答案：
C
解：由图可得阴影部分的面积为
，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5.答案：
B
解：
.
故答案为：B
【分析】根据定积分的几何意义直接求出
在区间
的定积分，即可得出答案.
6.答案：
A
解：设
，
所以
，
所以
，解得
，
即
.
故答案为：A
【分析】设
，根据
，由
求解.
7.答案：
D
解：
，
故答案为：D.
【分析】利用定积分求面积的方法，从而求出阴影部分的面积.
8.答案：
D
解：
；
，
令
，则
，
因为
表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分，
则
，，
故答案为：D
【分析】根据牛顿莱布尼兹公式求解即可.
9.答案：
B
解：由
得
或
故两曲线所围成的阴影部分的面积，
故选：B.
【分析】求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得.
10.答案：
D
解：因为
，即
，
又
，所以
?。
故答案为：D.
【分析】利用定积分求出
?的等比中项，再利用等比中项公式结合等比数列的性质，从而得出，
最后求出的值.
11.答案：
C
解：依题意，
，
其中
表示以（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，
所以
.
故答案为：C．
【分析】依题意，
，根据定积分的几何意义，
表示以（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，计算即可．
12.答案：
B
解：依题意当a越小时，
越小，则国民分配越公平，故①正确；
当收入完全平等时，劳伦茨曲线为直线
，此时
，故②错误；
当劳伦茨曲线近似为
时，
，
，所以
，故③错误；
当劳伦茨曲线近似为
时，
，
，所以
，故④正确；
故答案为：B
【分析】依题意，利用微积分基本定理求出a的面积，即可判断.
二、填空题
13.答案：
解：
,
故答案为
.
【分析】由微积分基本定理直接计算即可.
14.答案：
解：
，
而
，
表示半圆
的面积，即
，则
.
【分析】利用函数的解析式结合定积分求面积的方法，从而求出定积分的值。
15.答案：
解：由题意可知，面积为：
【分析】本题可以先将曲线
，
与直线
，
所围成图形画出，再将其分为两部分分别计算出面积．
16.答案：
解：
，
，
，
由
，可得
，解得
，
因为点
是函数
的“拐点”，
所以
，解得
，
所以
，
由
可得，
，
当
，
时，对应圆中的部分面积为
，
由定积分的意义可知，
，
，
，
故答案为：
【分析】根据新定义拐点可求出
，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出
和
即可.
三、解答题
17.答案：
解：∵
为奇函数，
∴
∴
【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合定积分的几何意义及微积分基本定理，即可求出定积分的值.
18.答案：解：
或
【分析】通过求交点坐标确定积分上下限，利用微积分基本定理即可求出所围图形的面积.
19.答案：
解：作出图象（如图所示）：
由
，解得
或
，
所以点
．
结合图形可得所求面积为：
．
故所求面积为
【分析】画出草图，求出两曲线的交点坐标，确定被积函数和积分区间，然后根据定积分进行求解即可．
20.答案：
解：曲线
和直线
，
所围成图形如下图阴影部分所示：
则可表示为：
.
【分析】画出曲线
和直线
，
所围成图形，表示成定积分．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)