1.7定积分的简单应用 课时同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学人教新课标A版
选修2-2
1.7定积分的简单应用
一、单选题
1.定积分
（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
2.（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.曲线
与直线
及
所围成的封闭图形的面积为(?
?)
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
4.函数
的图象如图所示，则阴影部分的面积是（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
5.已知积分
，则实数k＝(??
)
A.?2?????????????????????????????????????????B.?－2?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?－1
6.已知
，
，
，
，则（??
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
7.设
，则
（???
）．
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?不存在
8.如图，阴影部分的面积是（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
9.一物体在力
（单位:N）的作用下沿与力F相同的方向，从
处运动到
处（单位
，则力
所做的功为（???
）
A.?54焦????????????????????????????????????B.?40焦????????????????????????????????????C.?36焦????????????????????????????????????D.?14焦
10.一物体作变速直线运动，其
曲线如图所示，则该物体在
间的运动路程为（??
）m．
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
11.如图，两曲线
与
所围成的图形面积是（???
）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?12???????????????????????????????????????????D.?3
12.正项等比数列
中，
的等比中项为
，令
，则
（??
）
A.?6?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?32?????????????????????????????????????????D.?64
13.把函数的图像向左平移后,得到的图像,则与的图像所围成的图形的面积为(?
)
A.?4????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
14.一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度
（
的单位：
，
的单位：
）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位：
）是（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
二、填空题
15.定积分
的值为________.
16.若
，则
________.
17.________.
18.已知
是函数
的导函数，定义
为
的导函数，
若方程
有实数解
，则称点
为函数
的拐点，经研究发现，
所有的三次函数
都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设
，若点
是函数
的“拐点”也是函数
图像上的点，
则
________.
三、解答题
19.计算
20.计算下列定积分
（1）??
（2）??
（3）
计算曲线
与直线
所围图形的面积．
22.已知函数
，函数
，
（1）当
时，求函数
的表达式；
（2）若
时，函数
在
上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线
与函数
的图象所围成图形的面积。
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：由题意得：
,
故答案为：D.
【分析】由题设条件，求出被积函数的原函数，求出定积分的值即可.
2.答案：
D
解：
由
.
故答案为：D.
【分析】利用定积分的运算法则求出定积分的值。
3.答案：
D
解：曲线
与直线
及
所围成的封闭图形如图所示，
图形的面积为
，
故答案为：
.
【分析】作出平面区域，求出交点坐标，结合定积分的四则运算，即可求出封闭图形的面积.
4.答案：
C
解：由图可得阴影部分的面积为
，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5.答案：
A
解：因为
，
所以
，
所以
k＋1＝k
，
所以k＝2.
故答案为：A
【分析】利用定积分结合已知条件求出k的值。
6.答案：
B
解：由题意得
，
所以
，
，
.
所以
，
故答案为：B.
【分析】首先根据定积分的运算得出a的值，再根据对数的性质得出m,n，从而判断出m,n,p的大小.
7.答案：
C
解：解：由已知可得
．
故答案为：
．
【分析】根据分段函数将定积分分段求，再根据定积分原理求定积分.
8.答案：
D
解：
，
故答案为：D
【分析】利用定积分求面积的方法，从而求出阴影部分的面积。
9.答案：
C
解：由题意得：
．
故答案为：C．
【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是
，
，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案.
10.答案：
C
解：由题中图象可得：
由变速直线运动的路程公式，可得：
．
所以物体在
间的运动路程是
．
故答案为：C
【分析】由图象用分段函数表示
，该物体在
间的运动路程可用定积分
表示，计算即得解.
11.答案：
B
解：由
得
或
故两曲线所围成的阴影部分的面积：
，
故选：B.
【分析】求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得.
12.答案：
D
解：因为
，即
，
又
，所以
?.
故答案为：D.
【分析】利用定积分求出
?的等比中项，再利用等比中项公式结合等比数列的性质，从而得出，
最后求出的值.
13.答案：
D
解：函数的图像向左平移后，得到，
得交点为，，
即可求出与的图像所围成的图形的面积．
故答案为：D.
14.答案：
B
解：当汽车停止时，
，解得：
或
（舍去负值），
所以
.
故答案为：B
【分析】先计算汽车停止的时间，再利用定积分计算路程.
二、填空题
15.答案：
1
解：
.
故答案为：1
【分析】根据定积分求解.
16.答案：
2
解：若
，则
，
即
，所以
．
故答案为：2．
【分析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值．
17.答案：
解：因为
故答案为2π．
【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分．
18.答案：
解：
，
，
，
由
，可得
，解得
，
因为点
是函数
的“拐点”，
所以
，解得
，
所以
，
由
可得，
，
当
，
时，对应圆中的部分面积为
，
由定积分的意义可知，
，
，
，
故答案为：
【分析】根据新定义拐点可求出
，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出
和
即可.
三、解答题
19.答案：
解：
（2x
）dx
＝（x2+lnx）
＝e2+lne﹣1﹣ln1
＝e2
故答案为e2
【分析】先求出被积函数2x
的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可．
20.答案：
（1）解：由微积分基本定理可得：
?
；
（2）解：由奇函数的性质可得：
，
由微积分基本定理可得：
，
则
?
（3）解：由定积分的几何意义可知，
表示如图所示的阴影部分的面积，
该图形可分解为一个扇形与两个三角形，
故：
?
.
【分析】（1）根据微积分基本定理，求出定积分的值即可；
（2）根据奇函数的性质，结合微积分基本定理，求出相应的定积分值即可；
（3）根据定积分的几何意义，求出平面图形的面积，即可得到相应的定积分值.
21.答案：
解：由
解得
．
从而所求图形的面积
．
【分析】利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数．
22.答案：
（1）解:∵
,
∴当
时,
;
当
时,
∴当
时,
;
当
时,
.
∴当
时,函数
；
（2）解:∵由⑴知当
时,
,
∴当
时,
当且仅当
时取等号.
∴函数
在
上的最小值是
,∴依题意得
∴
（3）解:由
解得
?
∴直线
与函数
的图象所围成图形的面积，
=
ln
.
【分析】（1）对x进行分类讨论，得出分段函数,再对分段函数求导代入
y
=
g
(
x
)
的表达式中，从而求出当
x
≠
0
时，函数
y
=
g
(
x
)
的表达式。
（2）利用均值不等式求出函数
y
=
g
(
x
)当a
>
0
时，在
(
0
,
+
∞
)
上的最小值，再根据a
>
0
时，函数
y
=
g
(
x
)
在
(
0
,
+
∞
)
上的最小值是2，求出a的值。
（3）利用（2）问求出的a的值代入函数
y
=
g
(
x
)中，得出函数
y
=
g
(
x
)解析式，在联立直线和曲线
y
=
g
(
x
)方程得出二者的两个交点的坐标，再根据两个交点的横坐标,确定所求的定积分区间，再利用定积分求面积公式,求出直线与函数
y
=
g
(
x
)
的图象所围成图形的面积.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)