第一章 导数及其计算 单元测试（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-2
第一章
导数及其计算
一、单选题
1.函数
的图像在点
处的切线方程为（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.若
，则
等于（
??）
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?6
3.已知物体位移S（单位：米）和时间t（单位：秒）满足：
，则该物体在
时刻的瞬时速度为（???
）
A.?1米/秒????????????????????????????????B.?2米/秒????????????????????????????????C.?3米/秒????????????????????????????????D.?4米/秒
4.函数
的图象如图所示，则阴影部分的面积是（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
5.已知函数
，导函数为
，那么
等于（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?1
6.已知函数
，
为
的导函数，则
的值为（???
）
A.?-1????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?
7.函数
的单调递增区间是（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
8.已知函数
在
上可导且满足
，则下列一定成立的为（
??）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
9.若点P是曲线
上任一点，则点P到直线
的最小距离是（???
）
A.????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
10.若函数
在区间
上单调递减，则实数a的取值范围是（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
11.下列给出四个求导运算：
①
；②
；
③
；④
.
其中运算结果正确的个数是（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
12.设
是在
上的可导函数，且
，
，
，则下列一定不成立的是（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
二、多选题
13.已知函数
的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（???
）
A.?-1是函数
的极小值点??????????????????????????????????B.?-3是函数
的极小值点
C.?函数
在区间
上单调递增??????????????D.?函数
在
处切线的斜率小于零
14.已知函数
，若
，则下列选项正确的是（???
）
A.????????????????B.?
C.????????????????????????D.?当
时，
15.已知
，下列结论正确的是（???
）
A.?在
上单调递增
B.?
C.?的图象在点
处的切线方程为
D.?若关于
的不等式
有正整数解，则
16.已知函数
，给出下面四个命题：①函数
的最小值为
；②函数
有两个零点；③若方程
有一解，则
；④函数
的单调减区间为
.
则其中错误命题的序号是（???
）
?①?????????????????????????????????????????B.?②?????????????????????????????????????????C.?③?????????????????????????????????????????D.?④
三、填空题
17.设函数
．若
，则a=________．
18.曲线
的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.
19.已知函数
，若
，
，则实数m的取值范围是________．
20.已知函
，
，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设
．若
在
上恒成立，则实数a的取值范围为________
四、解答题
21.已知函数
，若
，求
在
处的切线方程.
22.已知函数
.
（1）求
在点
处的切线；
（2）求
在区间
上的最大值和最小值.
23.已知函数
，其中
.
（1）求
，求
在
上的最大值和最小值；
（2）若
是函数
的一个极值点，求实数
的值.
24.已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
的斜率等于
的切线方程；
（Ⅱ）设曲线
在点
处的切线与坐标轴围成三角形的面积为
，求
的最小值．
25.已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=
的单调性．
26.已知函数
.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥
x3+1，求a的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：
，
，
，
，
因此，所求切线的方程为
，即
.
故答案为：B.
【分析】求函数
的导数
，计算
和
的值，可得切线的点斜式方程，化简即可.
2.答案：
D
解：∵
，∴
∴
.
故答案为：D.
【分析】先对函数
求导，然后把
代入
，即可求得答案.
3.答案：
A
解：由题意
，
当时，
．
故答案为：A．
【分析】求出S关于t的导数，令
即可得结果．
4.答案：
C
解：由图可得阴影部分的面积为
，
故答案为：C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积．
5.答案：
C
解：因为
，则
，
所以
.
故答案为：C.
【分析】先对函数求导，再将
代入，即可得出结果.
6.答案：
C
解：由
可得，
，
所以，
.
故答案为：C
【分析】求幂函数和对数函数的导数，代入1即可得出结果.
7.答案：
D
解：由已知
，当
时
，当
时
，
所以增区间为
．
故答案为：D．
【分析】求出导函数
，由
确定增区间．
8.答案：
A
解：构造函数
，
则
，当
时，
.
所以，函数
在
上单调递增，
，
，即
，
即
，
S故答案为：A.
【分析】构造函数
，利用导数判断函数
在
上的单调性，可得出
与
的大小关系，经过化简可得出正确选项.
9.答案：
C
解：要使点P到直线
的最小距离，
只需点
为曲线与直线
平行的切线切点，
即点
为斜率为
的切线的切点，设
，
，
解得
或
（舍去），
点
到直线
的距离为
，
所以曲线
上任一点到直线
距离最小值为
.
故答案为：C.
【分析】与直线
平行且与曲线相切时，切点到直线
的距离最小，利用导数求出切点坐标即可.
10.答案：
A
解：函数
，
.
则
，
因为
在区间
上单调递减，
则
在区间
上恒成立，即
，
所以
在区间
上恒成立，
所以
，解得
.
故答案为：A.
【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知
在区间
上恒成立，即可由定义域及不等式求得a的取值范围.
11.答案：
B
解：解：①
，故错误.
②
，故正确.
③
，故错误.
④
，故正确.
故答案为：B.
【分析】对于①②③④直接利用函数的导数的运法则求出结果，即可做出判定.
12.答案：
A
解：
是在
上的可导函数，且
，
设
，
，
为单调递增函数或常数函数.
又
，
，
在区间
上是常数函数，
，
.
又
，
，
.
故答案为：A.
【分析】设
，可得设
，故
为单调递增函数或常数函数.由
，
，可得
，故
在区间
上是常数函数，可求
的值，可得
的正误.
再根据
，求出
的取值范围，进而判断
的正误，即得答案.
二、多选题
13.答案：
B,C
解：由图象得
时，
，
时，
，
故
在
单调递减，在
单调递增，故
是函数
的极小值点.
对选项D：显然
，故
错误.
故答案为：BC．
【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
14.答案：
C,D
解：对于A选项，函数
，定义域为
，
.
令
，则
；令
，可得
.
所以，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
当
时，
，则
，A选项错误；
对于B选项，构造函数
，定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
当
时，
，B选项错误；
对于C选项，
，由于函数
在
上单调递增，
当
时，
，即
，所以，
，C选项正确；
对于D选项，由A选项知，函数
在区间
上单调递增，
当
时，
，则
，
即
，D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】利用导数判断函数
的单调性，可判断A选项；构造函数
，利用导数判断函数
的单调性，可判断B选项；由函数
的单调性可判断C选项；利用函数
在区间
上的单调性可判断D选项.
15.答案：
A,D
解：
，则
，
易知
在
上单调递增，在
上单调递减，A符合题意；
又
，
，所以
，B不符合题意；
对于C，
，
，故切线方程
，C不正确；
若
有正整数解，则
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，所以D符合题意；
故答案为：AD.
【分析】对函数求导，得到
，利用导数的符号判断出函数的单调区间，可以判断A项正确；将
化简，整理，得到大小，从而判断出B项不正确；利用导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得切线方程，可以判断出C项不正确；将不等式
转化为
，两边取对数，得到
，结合式子的特征，得到D项正确，进而得到结果.
16.答案：
B,C,D
解：因为函数
，所以
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
的最小值为
，
如图所示：
当
时，
，当
时，
，所以函数
有一个零点；
若方程
有一解，则
或
，函数
的单调递减区间为
，
故错误命题的序号是
②③④。
故答案为：BCD
【分析】由函数
，求导
，当
时，
，当
时，
，作出函数图象逐项判断，从而找出错误的命题序号。
三、填空题
17.答案：
1
解：由函数的解析式可得：
，
则：
，据此可得：
，
整理可得：
，解得：
.
故答案为：1.
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
18.答案：
y=2x
解：设切线的切点坐标为
，
，所以切点坐标为
，
所求的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
【分析】设切线的切点坐标为
，对函数求导，利用
，求出
，代入曲线方程求出
，得到切线的点斜式方程，化简即可.
19.答案：
[-4,2e]
解：由题意，函数
，
⑴当
时，由
，可得
，即
，
设
，可得
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以
，即
；
⑵当
时，由
，可得
，
当
时显然成立；
当
时，可得
，因为
，
当且仅当
时取等号，所以
.
综上可得，实数
的取值范围是[-4,2e]，
故答案为：[-4,2e].
【分析】由函数的解析式，分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式，即可求解.
20.答案：
解：当
时，
，当
时，
，
所以
在
必成立，
问题转化为
在
恒成立，
由
恒成立，可得
，
在
恒成立，设
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
A的取值范围是
，
故答案为：
.
【分析】利用定义max{m，n}表示m，n中的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，再用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而求出实数a的取值范围。
四、解答题
21.答案：
解：
，
，
.
在
处的切线方程为：
，即
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
答案：
（1）解：
，又
，
所以切线方程为
，
即
；
（2）解：由（1）知
或
，
∴
在
上单减，在
上单增，??
又
，
∴
在
上的最大值为3，最小值为0
【分析】（1）求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;（2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.
23.答案：
（1）解：当
时，
，
，
令
得
，
，
列表如下：
0
1
2
0
-
0
+
-2
减
-3
增
2
由表可知，函数
在
上最大值为2，最小值为-3.
（2）解：
，
因为
是函数
的一个极值点，
所以
，解得
.
当
时，
，令
，解得
，
.
列表如下：
0
2
+
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增
因此，当
时，
是函数
的一个极值点
【分析】（1）把
代入函数中，然后对函数求导求极值，再求出端点处的函数值，与极值比较，最小的为函数的最小值，最大的为函数的最大值；（2）由于
是函数
的一个极值点，所以
，求得
，然后把
代入函数中，需要验证
是否是函数的极值点，若导函数在
两侧的函数值异号，则
可以取，否则不能取.
24.答案：
解：（Ⅰ）因为
，所以
，
设切点为
，则
，即
，所以切点为
，
由点斜式可得切线方程为：
，即
.
（Ⅱ）显然
，
因为
在点
处的切线方程为：
，
令
，得
，令
，得
，
所以
，
不妨设
时，结果一样
，
则
，
所以
，
由
，得
，由
，得
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
时，
取得极小值，也是最小值为
.
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
25.答案：
（1）解：函数
的定义域为：
，
设
，则有
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以当
时，函数
有最大值，
即
，
要想不等式
在
上恒成立，
只需
；
（2）解：
且
因此
，设
，
则有
，
当
时，
，所以
，
单调递减，
因此有
，即，所以
单调递减；
当
时，
，所以
，
单调递增，
因此有
，即
，所以
单调递减，
所以函数
在区间
和
上单调递减，没有递增区间.
【分析】（1）不等式
转化为
，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数
求导，把导函数
的分子构成一个新函数
，再求导得到
，根据
的正负，判断
的单调性，进而确定
的正负性，最后求出函数
的单调性.
26.答案：
（1）解：当
时，
，
，
由于
，故
单调递增，注意到
，
故：当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增；
（2）解：由
得，
，其中
，
①.当x=0时，不等式为：
，显然成立，符合题意；
②.当
时，分离参数a得，
，
记
，
，
令
，
则
，
，
故
单调递增，
，
故函数
单调递增，
，
由
可得：
恒成立，
故当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
因此，
,
综上可得，实数a的取值范围是
.
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
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精品试卷·第
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