2020-2021学年人教新版七年级数学上册《3.1.2 等式的性质》 高频易错题集（附解析）

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3.1.2
等式的性质
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．下列各式说法错误的是（　　）
A．如果x2＝y2，那么﹣3ax2＝﹣3ay2
B．如果＝，那么x＝y
C．如果ac＝bc，那么a＝b
D．如果a＝b，那么a2＝b2
2．下列说法不正确的是（　　）
A．若a＝b，则a+2c＝b+2c
B．若，则a＝b
C．若ac＝b
c，则a＝b
D．若a＝b，则a2＝b2
3．已知a＝b，下列等式不一定成立的是（　　）
A．a﹣c＝b﹣c
B．ac＝bc
C．a2＝b2
D．＝1
4．下面四个等式的变形中正确的是（　　）
A．由2x+4＝0得x+2＝0
B．由x+7＝5﹣3x得4x＝2
C．由x＝4得x＝
D．由﹣4（x﹣1）＝﹣2得4x＝﹣6
5．下列等式变形错误的是（　　）
A．若a＝b，则
B．若a＝b，则3a＝3b
C．若a＝b，则ax＝bx
D．若a＝b，则
6．若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣2＝b的解，则3b﹣6a+2的值是（　　）
A．﹣8
B．﹣4
C．8
D．4
7．阅读：关于x方程ax＝b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x＝；（2）当a＝0，b＝0时有无数解；（3）当a＝0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程?a＝﹣（x﹣6）无解，则a的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．a≠1
8．若x＝1是关于x的方程mx﹣3＝2x的解，则m的值为（　　）
A．5
B．﹣5
C．6
D．﹣6
9．解是x＝2的一元一次方程是（　　）
A．x2+2＝6
B．+10＝
C．+1＝x
D．2x+4＝0
10．若关于x的方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
二．填空题（共5小题）
11．比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为　
　．
12．在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1＝2”的结论．
设a、b为正数，且a＝b．
∵a＝b，
∴ab＝b2．　　　　　　　　　　
①
∴ab﹣a2＝b2﹣a2．　　　　　　　　②
∴a（b﹣a）＝（b+a）（b﹣a）．
　③
∴a＝b+a．　　　　　　　　　　
④
∴a＝2a．　　　　　　　　　　　⑤
∴1＝2．
⑥
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是　
　（填入编号），造成错误的原因是　
　．
13．小邱认为，若ac＝bc，则a＝b．你认为小邱的观点正确吗？　
　（填“是”或“否”），并写出你的理由：　
　．
14．当a＝　
　时，方程解是x＝1？
15．若x＝1是方程ax+2x＝3的解，则a的值是　
　．
三．解答题（共5小题）
16．已知2：（15﹣x）＝3：x，求x的值．
17．下列方程的变形是否正确？为什么？
（1）由3+x＝5，得x＝5+3．
（2）由7x＝﹣4，得x＝．
（3）由，得y＝2．
（4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3．
18．一般地，当m≠n时，m2+n≠m+n2，可是有这样一个神奇的等式：（）2+＝+（）2（其中a、b为任意实数，且b≠0），你相信它的正确性吗？
（1）选两组你喜欢的值，观察上述等式是否成立．
①当a＝　
　，b＝　
　时，等式　
　（填“成立”或“不成立”）；
②当a＝　
　，b＝　
　时，等式　
　（填“成立”或“不成立”）；
（2）题中所给的等式是否恒成立，作出判断，并说明理由．
19．已知方程（m+1）xn﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．
（1）求m，n满足的条件．
（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．
20．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．
例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式说法错误的是（　　）
A．如果x2＝y2，那么﹣3ax2＝﹣3ay2
B．如果＝，那么x＝y
C．如果ac＝bc，那么a＝b
D．如果a＝b，那么a2＝b2
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式两边都乘以同一个整式，结果仍是等式，可判断A、B、D，根据等式两边都除以同一个不为零的整式，结果仍是等式，可判断C，可得答案．
【解答】解：A、如果x2＝y2，﹣3ax2＝﹣3ay2，故A不符合题意；
B、如果，那么x＝y，故B不符合题意；
C、如果ac＝bc
（c≠0），那么a＝b，故C符合题意；
D、如果a＝b，那么a2＝b2，故D不符合题意；
故选：C．
2．下列说法不正确的是（　　）
A．若a＝b，则a+2c＝b+2c
B．若，则a＝b
C．若ac＝b
c，则a＝b
D．若a＝b，则a2＝b2
【考点】等式的性质．
【分析】等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【解答】解：A．若a＝b，则a+2c＝b+2c，本选项正确；
B．若，则a＝b，本选项正确；
C．若ac＝bc，且c≠0，则a＝b，本选项错误；
D．若a＝b，则a2＝b2，本选项正确；
故选：C．
3．已知a＝b，下列等式不一定成立的是（　　）
A．a﹣c＝b﹣c
B．ac＝bc
C．a2＝b2
D．＝1
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的基本性质作出判断．
【解答】解：A、在等式a＝b的两边同时减去c，所得的结果仍是等式，即a﹣c＝b﹣c；故本选项不符合题意；
B、在等式a＝b的两边同时乘以c，所得的结果仍是等式，即ac＝bc；故本选项不符合题意；
C、在等式a＝b的两边同时平方，所得的结果仍是等式，即a2＝b2；故本选项不符合题意；
D、如果b＝0时，没有意义，故本选项符合题意．
故选：D．
4．下面四个等式的变形中正确的是（　　）
A．由2x+4＝0得x+2＝0
B．由x+7＝5﹣3x得4x＝2
C．由x＝4得x＝
D．由﹣4（x﹣1）＝﹣2得4x＝﹣6
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的性质逐个进行判断即可．
【解答】解：A、由2x+4＝0方程两边都除以2即可得出x+2＝0，原变形正确，故本选项符合题意；
B、由x+7＝5﹣3x可得4x＝﹣2，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、由x＝4可得x＝，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、由﹣4（x﹣1）＝﹣2可得4x＝6，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．下列等式变形错误的是（　　）
A．若a＝b，则
B．若a＝b，则3a＝3b
C．若a＝b，则ax＝bx
D．若a＝b，则
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．即可判断．
【解答】解：根据等式的性质可知：
A．若a＝b，则＝．正确；
B．若a＝b，则3a＝3b，正确；
C．若a＝b，则ax＝bx，正确；
D．若a＝b，则＝（m≠0），所以原式错误．
故选：D．
6．若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣2＝b的解，则3b﹣6a+2的值是（　　）
A．﹣8
B．﹣4
C．8
D．4
【考点】一元一次方程的解．
【分析】由x＝2代入一元一次方程ax﹣2＝b，可求得a与b的关系为（2a﹣b）＝2；注意到3b﹣6a+2＝3（b﹣2a）+2，将（2a﹣b）整体代入即可计算
【解答】解：
将x＝2代入一元一次方程ax﹣2＝b得2a﹣b＝2
∵3b﹣6a+2＝3（b﹣2a）+2
∴﹣3（2a﹣b）+2＝﹣3×2+2＝﹣4
即3b﹣6a+2＝﹣4
故选：B．
7．阅读：关于x方程ax＝b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x＝；（2）当a＝0，b＝0时有无数解；（3）当a＝0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程?a＝﹣（x﹣6）无解，则a的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．a≠1
【考点】一元一次方程的解．
【分析】要把原方程变形化简后再讨论没有解时a的值应该是什么．
【解答】解：去分母得：2ax＝3x﹣（x﹣6），
去括号得：2ax＝2x+6
移项，合并得，x＝，
因为无解；
所以a﹣1＝0，即a＝1．
故选：A．
8．若x＝1是关于x的方程mx﹣3＝2x的解，则m的值为（　　）
A．5
B．﹣5
C．6
D．﹣6
【考点】一元一次方程的解．
【分析】把x＝1代入方程mx﹣3＝2x得到关于m得一元一次方程，解之即可．
【解答】解：把x＝1代入方程mx﹣3＝2x得：
m﹣3＝2，
解得：m＝5，
故选：A．
9．解是x＝2的一元一次方程是（　　）
A．x2+2＝6
B．+10＝
C．+1＝x
D．2x+4＝0
【考点】一元一次方程的定义；一元一次方程的解．
【分析】可用验证的办法，把2代入得结论．
【解答】解：因为x2+2＝6不是一元一次方程，故A不合题意；
当x＝2时，+10＝10≠，+1＝1+1＝2，
2x+4＝8≠0．故x＝2不是选项B、D的解，是选项C的解．
故选：C．
10．若关于x的方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
【考点】一元一次方程的解．
【分析】原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得到关于k的x的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）整理化简，可得
kx＝5，即x＝，
∵该方程的解是整数，k为整数，
∴x＝1或﹣1或5或﹣5，
即＝1或﹣1或5或﹣5，
解得：k＝5或﹣5或1或﹣1，
∴整数k的取值个数是4个，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为　3a+5＝4a　．
【考点】列代数式；等式的性质．
【分析】根据题意a的3倍表示为3a，即得出3a+5，同理a的4倍表示为4a，再用等号连接即可．
【解答】解：根据题意得：3a+5＝4a．
故答案为：3a+5＝4a．
12．在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1＝2”的结论．
设a、b为正数，且a＝b．
∵a＝b，
∴ab＝b2．　　　　　　　　　　
①
∴ab﹣a2＝b2﹣a2．　　　　　　　　②
∴a（b﹣a）＝（b+a）（b﹣a）．
　③
∴a＝b+a．　　　　　　　　　　
④
∴a＝2a．　　　　　　　　　　　⑤
∴1＝2．
⑥
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是　④　（填入编号），造成错误的原因是　等式两边除以值为零的式子，不符合等式性质　．
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的性质：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．
【解答】解：由a＝b，得a﹣b＝0．
第④步中两边都除以（a﹣b）不符合等式性质．
故答案为：④；等式两边除以值为零的式子，不符合等式性质．
13．小邱认为，若ac＝bc，则a＝b．你认为小邱的观点正确吗？　否　（填“是”或“否”），并写出你的理由：　当c＝0时，a可以不等于b　．
【考点】等式的性质．
【分析】等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．依据等式的基本性质进行判断．
【解答】解：若ac＝bc，则a＝b不一定成立，即小邱的观点不正确．
理由：当c＝0时，a可以不等于b，
故答案为：否；当c＝0时，a可以不等于b．
14．当a＝　1　时，方程解是x＝1？
【考点】一元一次方程的解．
【分析】把x＝1代入原方程可得关于a的方程，解方程即可求出a的值．
【解答】解：把x＝1代入原方程，得+＝1，
去分母，得：2（a﹣1）+3（1+a）＝6，
去括号，得：2a﹣2+3+3a＝6，
移项、合并同类项，得：5a＝5，
系数化为1，得：a＝1，
故答案为：1．
15．若x＝1是方程ax+2x＝3的解，则a的值是　1　．
【考点】一元一次方程的解．
【分析】把x＝1代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程即可求解．
【解答】解：把x＝1代入方程，得：a+2＝3，
解得：a＝1．
故答案是：1．
三．解答题（共5小题）
16．已知2：（15﹣x）＝3：x，求x的值．
【考点】等式的性质．
【分析】根据比例的性质，等式的性质，解答即可．
【解答】解：因为2：（15﹣x）＝3：x，
所以3（15﹣x）＝2x，
所以45﹣3x＝2x，
所以5x＝45，
所以x＝9．
即x的值是9．
17．下列方程的变形是否正确？为什么？
（1）由3+x＝5，得x＝5+3．
（2）由7x＝﹣4，得x＝．
（3）由，得y＝2．
（4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3．
【考点】等式的性质．
【分析】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确；
（2）根据左边除以7，右边乘，可得变形不正确；
（3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确；
（4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确．
【解答】解：（1）由3+x＝5，得x＝5+3，变形不正确，
∵方程左边减3，方程的右边加3，
∴变形不正确；
（2）由7x＝﹣4，得x＝，变形不正确，
∵左边除以7，右边乘，
∴变形不正确；
（3）由，得y＝2，变形不正确，
∵左边乘2，右边加2，
∴变形不正确；
（4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3，变形不正确，
∵左边加x减3，右边减x减3，
∴变形不正确．
18．一般地，当m≠n时，m2+n≠m+n2，可是有这样一个神奇的等式：（）2+＝+（）2（其中a、b为任意实数，且b≠0），你相信它的正确性吗？
（1）选两组你喜欢的值，观察上述等式是否成立．
①当a＝　2　，b＝　3　时，等式　成立　（填“成立”或“不成立”）；
②当a＝　3　，b＝　5　时，等式　成立　（填“成立”或“不成立”）；
（2）题中所给的等式是否恒成立，作出判断，并说明理由．
【考点】等式的性质．
【分析】（1）任取两个符合要求的数代入题目中的式子，等式两边的结果看是否一致即可解答本题；
（2）分别对等式两边展开化简，看最后的结果是否相等，即可解答本题．
【解答】解：（1）例如：①当a＝2，b＝3时，等式（）2+＝（）+（）2成立；
②当a＝3，b＝5时，等式（）2+＝（）+（）2成立；
（2）题中所给的等式是恒成立的，理由如下：
∵（）2+＝＝，
+（）2＝+＝．
所以等式（）2+＝+（）2成立．
19．已知方程（m+1）xn﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．
（1）求m，n满足的条件．
（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．
【考点】一元一次方程的定义；一元一次方程的解．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义求m，n满足的条件；
（2）先根据m为整数且方程的解为正整数得出m+1＝1或m+1＝3，解一元一次方程可以得出m的值．
【解答】解：（1）因为方程（m+1）xn﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．
所以m+1≠0，且n﹣1＝1，
所以m≠﹣1，且n＝2；
（2）由（1）可知原方程可整理为：（m+1）x＝3，
因为m为整数，且方程的解为正整数，
所以m+1为正整数．
当x＝1时，m+1＝3，解得m＝2；
当x＝3时，m+1＝1，解得m＝0；
所以m的取值为0或2．
20．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．
例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
【考点】一元一次方程的解．
【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
【解答】解：（1）∵方程3x＝m是和解方程，
∴＝m+3，
解得：m＝﹣．
（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，
解得m＝﹣3，n＝﹣．
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