(共32张PPT)
3.1.2
用二分法求方程的近似解
主题
二分法及二分法求函数零点的步骤
在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在1
000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”.
1.如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？
提示：接下来应该猜“600”，即区间[400，800]的中点.
课前自主学习
2.通过这种方法能猜到具体价格吗？
提示：可以，通过不断地缩小价格所在的区间，直至猜到手机的价格.
3.同样，上节课我们已经知道f(x)=ln
x+2x-6的零点在区间(2，3)内，那么如何缩小零点所在区间(2，3)呢？
提示：取区间(2，3)的中点x0=2.5，验证f(2)·f(2.5)<0是否成立，若成立，则函数f(x)的零点在区间(2，2.5)内，否则在(2.5，3)内.
结论：
1.二分法的定义
对于在区间[a，b]上_________且_____________的函数y=f(x)，通过不断地把
函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的_________逐步逼近零点，进
而得到零点近似值的方法.
连续不断
f(a)·f(b)<0
两个端点
2.二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
【对点训练】
1.二分法求函数的零点的近似值适合于
( )
A.零点两侧函数值异号
B.零点两侧函数值同号
C.都适合
D.都不适合
【解析】选A.由函数零点的存在性定理可知选A.
2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，其部分函数值对应如表：
则函数f(x)在区间[1，5]上的零点至少有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
x
1
2
3
4
5
f(x)
0.37
-e
2.72
0
【解析】选C.因为f(1)>0，f(2)<0，f(3)>0，f(4)=0，所以函数f(x)在区间[1，5]上的零点至少有3个.
课堂合作探究
类型一
二分法的定义
【典例1】(1)下列函数的零点不能用二分法求解的是
( )
A.f(x)=x3-1
B.f(x)=ln
x+3
C.f(x)=|x|
D.f(x)=-x2+4x-1
(2)已知函数y=f
(x)的图象如图所示，其中函数零点的个数与可以用二分法求
解的函数零点个数分别为
( )
A.4，4
B.3，4
C.5，4
D.4，3
【解题指南】(1)只需判断是否存在区间[a，b]，使得f(a)·f(b)<0即可.
(2)判断图象是否与x轴相交及交点两侧的函数值符号是否相反.
【解析】(1)选C.所给函数均为连续函数，故只需考虑是否存在区间[a，b]，
使得f(a)·f(b)<0即可，对于A，存在区间[0，2]，使得f(0)·f(2)<0；对于
B，存在区间
，使得f
·f(1)<0；对于C，由于f(x)=|x|≥0，故不存
在区间[a，b]，使得f(a)·f(b)<0；对于D，存在区间[0，1]，使得
f(0)·f(1)<0.
(2)选D.由题干图知，函数的零点有4个，其中能用二分法求解的零点必须满足
零点两侧函数值异号，所以有一个零点不能用二分法求解，即能用二分法求解
的零点有3个.
【方法总结】利用二分法求函数零点必须满足的两个条件
(1)图象：函数图象在零点附近是连续不断的.
(2)函数值：函数在该点两侧的函数值符号相反.
【跟踪训练】
1.已知函数f(x)的图象连续不间断，有如下的x，f(x)对应值表：
不能判断函数f(x)有无零点的区间为
( )
A.(2，3)
B.(3，4)
C.(4，5)
D.(5，6)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
【解析】选D.因为f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以在(2，3)，(3，4)，(4，5)上各至少有一个零点，因为f(5)<0，f(6)<0，所以在(5，6)内不能判断f(x)有无零点.
2.
以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
【解析】选C.根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点.
【补偿训练】
设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(-1，2)内的近似解的过程
中f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间
( )
A.(1，1.25)
B.(1.25，1.5)
C.(1.5，2)
D.不能确定
【解析】选B.因为f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以根据零点存在性定
理，可得方程的根落在区间(1.25，1.5).
类型二
用二分法求方程的近似解
【典例2】用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
【解题指南】根据二分法的思想先确定零点所在的区间，逐步取区间的中点值，直到满足精确度要求，即区间的长度小于精确度.
【解析】令f(x)=2x3+3x-3，
经计算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3+3x=3在(0，1)内有解.
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3+3x-3=0在(0.5，1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0，1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5，1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5，0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625，0.75)
0.687
5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687
5)<0
由于|0.687
5-0.75|=0.062
5<0.1，
所以方程2x3+3x-3=0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687
5.
【方法总结】利用二分法求方程近似解的步骤
【拓展延伸】精确度ε与计算次数的关系
精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定.若初始区间为
(a，b)，那么经过n次取中点后，区间的长度是
，只要这个区间的长度
小于精确度ε，那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此
计算次数和精确度满足关系
<ε，即n>log2
，其中n只取正整数.
【跟踪训练】
1.已知f(x)=2-x+
，则f(x)的零点所在的区间为
( )
【解析】选D.因为f(x)=2-x+
在定义域
内是减函数，又因为
=1>0，
=-1<0，
所以f(x)的零点x0∈(1,2
)，排除A.
因为2-1=
所以-1
所以
<0，
所以f(x)的零点x0∈
，排除B.
因为
所以
所以
>0，
所以f(x)的零点x0∈
，排除C，应该选D.
2.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度为0.01).
【解析】经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.
取区间(1，1.5)的中点x1=1.25，经计算f(1.25)<0，
因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如表：
因为|1.328
125-1.320
312
5|=0.007
812
5<0.01，所以函数f(x)=x3-x-1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328
125.
(a，b)
(a，b)的中点
中点函数值符号
(1，1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25，1.375)
1.312
5
f(1.312
5)<0
(1.312
5，1.375)
1.343
75
f(1.343
75)>0
(1.312
5，1.343
75)
1.328
125
f(1.328
125)>0
(1.312
5，1.328
125)
1.320
312
5
f(1.320
312
5)<0
【补偿训练】
已知二次函数f(x)=x2-x-6在区间[1，4]上的图象是一条连续的曲线，且
f(1)=-6<0，f(4)=6>0，由函数零点的性质可知函数在[1，4]内有零点，用二
分法求解时，取(1，4)的中点a，则f(a)=_______.?
【解析】显然(1，4)的中点为2.5，
则f(a)=f(2.5)=2.52-2.5-6=-2.25.
答案：-2.25
【知识思维导图】(共46张PPT)
第三章
函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
主题1
函数的零点
1.观察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3.
(2)方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1.
(3)方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.
课前自主学习
结合下面的表格，完成填空
函数
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
图象
与x轴交
点的坐标
________________
_______
___
对应方程
的根
______
__
___
(-1，0)，(3，0)
(1，0)
无
-1，3
1
无
2.结合问题1，你认为方程f(x)=0的根与对应函数y=f(x)的图象有什么关系？
提示：方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等.
结论：
1.函数零点的定义
对于函数y=f(x)，使f(x)=0的_____x叫做函数y=f(x)的零点.
2.函数零点的意义
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与____有交点?函数y=f(x)有_____.
实数
x轴
零点
【对点训练】
1.设函数f(x)=21-x-4，g(x)=1-log2(x+3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之
和为
( )
A.-2
B.2 C.0 D.-3
【解析】选A.令f(x)=21-x-4=0解得x=-1，即f(x)的零点为-1，令g(x)=
1-log2(x+3)=0，解得x=-1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为-2.
2.函数f(x)=ln
x-
的零点的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.画出y=ln
x与y=
的图象，由图知y=ln
x与y=
(x>0，且
x≠1)的图象有两个交点.故函数f(x)=ln
x-
的零点有2个.
主题2
函数零点的判断
1.观察函数f(x)=x2-2x-3的图象.
(1)f(x)在区间(-2，1)上有零点吗？_______；?
f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)f(1)_______0(填“<”或“>”).?
提示：有 5 -4 <
(2)f(x)在区间(2，4)上有零点吗？_______；?
f(2)=_______，f(4)=_______，f(2)f(4)_______0(填“<”或“>”).?
提示：有 -3 5 <
2.观察函数y=f(x)的图象.
(1)在区间(a，b)上_______(填“有”或“无”)零点；f(a)·f(b)_______0(填“<”或“>”).?
(2)在区间(b，c)上_______(填“有”或“无”)零点；f(b)·f(c)_______0(填“<”或“>”).?
(3)在区间(c，d)上_______(填“有”或“无”)零点；f(c)·f(d)_______0(填“<”或“>”).?
提示：(1)有 < (2)有 < (3)有 <
结论：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且
_____________，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有_____，即存在c∈(a，
b)，使得_______，这个c也就是方程f(x)=0的___.
连续不断
f(a)·f(b)<0
零点
f(c)=0
根
【对点训练】
1.函数f(x)=ln
x+
的零点为
( )
A.1
B.
C.e
D.
【解析】选A.依次检验，使f(x)=0的即为零点.
2.函数f(x)=log2x+x-4的零点所在的区间是
( )
A.
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
【解析】选C.因为f(2)=3-4<0，
f(3)=log23-1>0，根据零点的存在性定理知，函数f(x)在(2，3)上至少有一个
零点.
课堂合作探究
类型一
求函数的零点
【典例1】(1)已知函数f(x)=
则函数f(x)的零点为
( )
A.-3，3
B.-3，3，-1，1+
，1-
C.-3，3，-1，1+
D.-3，3，1+
(2)若
是函数f(x)=2x2-ax+3的一个零点，则f(x)的零点为_______.?
【解题指南】根据零点的定义转化为求方程的根.
【解析】(1)选D.当x≤1时，由f(x)=2x-
=0，解得x=-3；
当x>1时，由log2|x2-2x-2|=0，得|x2-2x-2|=1，所以x2-2x-2=1或x2-2x-2=-1，
解得x=3，-1，1±
，又因为x>1，所以x=3，1+
.
所以，函数f(x)的零点为-3，3，1+
.
(2)由
a+3=0得a=5，
则f(x)=2x2-5x+3，令f(x)=0，即2x2-5x+3=0，
解得x1=
，x2=1，所以f(x)的零点是
和1.
答案：
和1
【方法总结】求函数零点的方法
(1)代数法：求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法：转化为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标求函数的零点.
【跟踪训练】
求下列函数的零点.
(1)f(x)=x3+8.
(2)f(x)=ln
x+x-1.
(3)f(x)=
【解析】(1)令x3+8=0，得x=-2，
所以函数f(x)=x3+8的零点为-2.
(2)因为函数f(x)在定义域(0，+∞)内是增函数，且f(1)=0，所以函数f(x)的零点有且仅有一个，即1.
(3)当x≥2或x≤-1时，
令x2-x-2=0，得x=2或-1，
当-1所以x=0，所以函数的零点为2，-1，0.
类型二
函数零点个数的判断
【典例2】(1)二次函数y=ax2+bx+c中，ac<0，则函数的零点个数是
( )
A.1个
B.2个
C.0个
D.无法确定
(2)求函数f(x)=x-3+ln
x的零点个数.
【解题指南】(1)根据判别式判断函数零点的个数.
(2)根据函数图象或函数的单调性进行判断.
【解析】(1)选B.因为ac<0，所以Δ=b2-4ac>0，故二次函数y=ax2+bx+c有两个零点.
(2)方法一：令f(x)=x-3+ln
x=0，
则ln
x=3-x.在同一平面直角坐标系内画出函数y=ln
x与y=-x+3的图象，如图所示.
由图可知函数y=ln
x，y=-x+3的图象只有一个交点，即函数f(x)=x-3+ln
x只
有一个零点.
方法二：因为f(3)=ln
3>0，f(2)=-1+ln
2=ln
<0，
所以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)=x-3+ln
x在区间(2，3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln
x在(0，+∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点.
【方法总结】判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.
(2)图象法：由f(x)=g(x)-h(x)=0，得g(x)=h(x)，在同一坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.
(3)定理法：函数y=f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点.若函数y=f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点.
【跟踪训练】
1.偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程
f(x)=0在区间[-a，a]内根的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选B.由函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间[0，a]内只有
一个零点，设为x0，则f(x0)=0，又因为f(x)为偶函数，所以f(-x0)=f(x0)=0，
即-x0是函数在[-a，0]内唯一的零点，故方程f(x)=0在区间[-a，a]内根的个
数为2.
2.将函数y=ex的图象先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到函数
y=f(x)的图象，则函数y=f(x)的零点为_____.?
【解析】将函数y=ex的图象先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到函
数y=ex-1-3.令y=ex-1-3=0，得到其零点为1+ln
3.
答案：1+ln
3
3.函数f(x)=
的零点个数为_______个.?
【解析】方程x+2=0(x<0)的解为x=-2，方程x2-1=0(x>0)的解为x=1，所以函数
f(x)有两个零点-2与1.
答案：2
类型三
函数零点所在区间的判断
【典例3】(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2+bx+c=0的两根所在区间是
( )
A.(-3，-1)和(2，4)
B.(-3，-1)和(-1，1)
C.(-1，1)和(1，2)
D.(-∞，-3)和(4，+∞)
(2)已知函数f(x)=
-log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，4)
D.(4，+∞)
【解题指南】
(1)根据二次函数图象的对称性和连续性，判断零点所在的区间.
(2)根据函数的单调性判断.
【解析】(1)
选A.易知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象是一条连续不断的曲
线，又f(-3)·f(-1)=6×(-4)=-24<0，所以f(x)在(-3，-1)内有零点，即方
程ax2+bx+c=0在(-3，-1)内有根，同理方程ax2+bx+c=0在(2，4)内有根.
(2)选C.因为f(x)=
-log2x，所以f(x)为(0，+∞)上的减函数，且f(1)=6>0，f(2)=3-log22=2>0，f(4)=
<0，由零点存在性定理，可
知包含f(x)零点的区间是(2，4).
【方法总结】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【跟踪训练】
1.若a( )
A.(a，b)和(b，c)内
B.(-∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，+∞)内
D.(-∞，c)和(c，+∞)内
【解析】选A.因为f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)，所以f(a)=
(a-b)(a-c)，f(b)=(b-c)(b-a)，f(c)=(c-a)(c-b).因为a0，f(b)<0，f(c)>0.所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
2.已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)+3a-1有四个各不相同的
零点x1，x2，x3，x4，且x13(x1+x2)+4x3·x4的值为_______.?
【解析】如图，画出函数f(x)的图象，
因为函数g(x)=f(x)+3a-1有四个各不相同的零点x1，x2，x3，x4，所以1≤
<2，
所以
又因为x1+x2=-2，x3·x4=1，
所以表达式3
+4x3·x4的值为-2.
答案：
拓展类型 一元二次方程根的分布问题
【典例】(1)若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是_______.?
(2)方程x2+(m+1)x+m-7=0有两个负根，则m的取值范围是_______.?
【解题指南】(1)只需考虑区间端点的函数值的正负即可.
(2)利用判别式和根与系数的关系求解.
【解析】(1)设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1，
由题意知
即
解得
答案：
(2)因为方程x2+(m+1)x+m-7=0有两个负根，
所以
所以m>7.
答案：m>7
【方法总结】处理二次函数在区间上的零点的问题思路
一是，开口，讨论二次函数图象的开口方向；
二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
三是，判别式，决定与x轴的交点个数；
四是，计算区间端点的函数值.
【拓展】几种常见二次方程根的分布的等价条件
【跟踪训练】
若关于x的方程3x2-5ax+a=0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数a的取值
范围为_______.?
【解析】令f(x)=3x2-5ax+a，根据条件，结合函数图象得f(1)=3-5a+a<0，
解得a>
.所以实数a的取值范围为
.
答案：
【知识思维导图】