江西省赣县第三中学2020-2021学年高二上学期期中适应性考试数学（理）试卷（Word版含答案）

赣县第三中学2020-2021学年上学期期中适应性考高二数学（理）试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.直线与平行,则（
）
A．
B．2
C．或
2
D．0
或
1
2.某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个县按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知3个县人口数之比为，如果人口最多的一个县抽出60人，那么这个样本的容量等于（
）
A．96
B．120
C．180
D．240
3.已知边长为1的菱形中，，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（
）
A．
B．
C.
D．
4.设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是(
)
A．若
B．若
C．若
D．若
5.在中，内角的对边分别为，若
，则角为（
）
A．
B．
C．
D．
6.某程序框图如图所示，其中.若输出，则判断框内可以填入的条件为（
）
A．
B．
C．
D．
7.平面内与点距离为，且与点距离为的直线的条数为（
）
A．
B．
C．
D．
8．在正方体中，M和N分别为和的中点，那么直线
和所成的角的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
9.右图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，
这个几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
10．九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥和一个鳖臑四个面均为直角三角形的四面体在如图所示的堑堵中，已知，若阳马的外接球的表面积等于，则鳖臑的所有棱中，最长的棱的棱长为（
）
A．5
B．
C．
D．8
11.甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（
）
A．
B．2
C．8
D．
12．已知四边形为矩形，，E为的中点，将沿折起，连接，，得到四棱锥，M为的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（
）
①平面；
②三棱锥的体积最大值为；
③；
④一定存在某个位置，使；
A.①②③
B.①②
C.①③
D.①②③④
二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13．已知为实数，向量，，且，则______．
14．已知实数，满足，则的最小值为______.
15．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰
好为其容积的一半（如图1，底面处于水平
状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于
水平状态），这时水面与各棱交点分别为E，
F、，，则的值是__________.
16．在平面直角坐标系xOy中,A的坐标为(2,0),B是第一象限内的一点,以C为圆心的圆经过O?A?B三点,且圆C在点A,B处的切线相交于P,若P的坐标为(4,2),则直线PB的方程为______________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知等比数列，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）已知是圆（为坐标原点）的内接三角形，其中，角所对的边分别是.
（1）若点的坐标是，求的值；
（2）若点在优弧上运动，求周长的取值范围.
19.（本小题满分12分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）是否存在Q，使PA∥平面DEQ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20.（本小题满分12分）某百货公司1～6月份的销售量与利润的统计数据如下表：
月份
销售量（万件）
利润（万元）
（1）根据2至5月份的数据，画出散点图求出关于的回归直线方程.
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？请说明理由.
.
21．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，，平面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
22．（本小题满分12分）已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上．
（1）求公共弦的长度；
（2）求圆的方程；
（3）过点分别作直线，，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值．
赣县第三中学2020-2021学年上学期高二数学（理）十月考试卷答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1-5
BBCCA
6-10
DBDBC
11-12
DA
二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13．
14．-
15．
16．
x+7y﹣18=0.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17解（1）设的公比为q，因为，且，则，
解得，所以
（2）数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，得到，，
18.
【答案】（1）；（2）
（1）根据题意可得，，
（2）∵，，∴
∴
∴，
，
∴.
19.证明：（Ⅰ）取中点，连接，，．
因为，所以．………………2分
因为菱形中，，所以．
所以．……………………………………3分
因为，且平面，平面，
所以平面．………………………………5分
因为平面
所以．…………………………………………6分
（Ⅱ）连结交于，连结
在菱形中，由∽
有
又平面且平面平面于………………9分
……………………………………11分
………………………………………………………………12分
20．试题解析：(1)计算得，，
，
，
则，
.
故关于的回归直线方程为．
(2)当时，，此时；
当时，，此时．
故所得的回归直线方程是理想的．
21．详解：(1)在中，.
所以，所以为直角三角形，.
又因为平面，所以.
而，所以平面.
(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，
则平面平面.
二面角就是平面与平面所成二面角.
因为，所以是的中位线.
，这样是等边三角形.
取的中点为，连接，因为平面.
所以就是二面角的平面角.
在，所以.
(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.
.
设是平面的法向量，则
令得.
取平面的法向量为.
设平面与平面所成二面角的平面角为，
则，从而.
22.
解：圆，所以圆的圆心坐标，半径，
（1）圆心到直线的距离，
公共弦；
（2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，，即，到的距离，所以的半径，
所以圆的方程：；
（3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，
所以，四边形的面积；
当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，
设直线为：，
则直线为：，
所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，，，
设，
当或1时，正好是轴及垂直轴，
面积，
当时，最大且，或1时，最小，
四边形面积的最大值17，最小值