章末综合提升
[体系构建]
[核心速填]
一、库仑定律 电场强度
1．元电荷：电荷量为1.6×10－19C的电荷．
2．库仑定律：
(1)公式：F＝k，其中k＝9×109N·m2/C2，叫静电力常量．
(2)适用条件：真空中的点电荷．
3．电场强度：
(1)定义式：E＝，场强是矢量，规定电场强度E的方向为正电荷所受电场力的方向．
(2)点电荷的电场强度公式：E＝k．
4．电场线：曲线上各点的切线方向表示该点的场强方向，曲线的疏密表示电场的强弱．
5．匀强电场：场强方向处处相同，大小处处相等的区域称为匀强电场，其电场线是等距的平行线．
二、电势能 电势差 静电平衡
1．电势差：
(1)定义式：UAB＝．
(2)电势差与电势的关系：UAB＝φA－φ
B．沿着电场线方向，电势越来越低．
2．电场力做功：WAB＝qUAB．具体计算时，q、UAB、WAB均有正、负，该公式适用于一切电场．
3．电场力做功和电势能变化的关系：
(1)电场力做正功时，电势能减少；电场力做负功时，电势能增加．
(2)电场力做功的多少等于电势能变化量．
4．等势面：
(1)跟电场线垂直．
(2)在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功．
三、电容 示波管的工作原理
1．电容：
(1)定义式为C＝＝．
(2)单位：1
F＝1
C/V＝106μF＝1012pF.
2．平行板电容器：C＝.
3．示波管的工作原理——带电粒子在电场中的运动：
(1)带电粒子的加速用功能观点分析：qU＝mv2－mv．
(2)带电粒子的偏转：
①运动状态分析：带电粒子以速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场时，受到恒定的与初速度方向垂直的电场力作用，做类平抛运动(轨迹为抛物线).
②偏转运动的分析处理方法：
沿初速度方向为速度为v0的匀速直线运动；沿电场力方向为初速度为零的匀加速直线运动．
③基本规律：设粒子带电量为q，质量为m，两平行金属板间的电压为U，板长为L，板间距为d.
加速度a＝＝＝；运动时间t＝；
离开电场的偏转量y＝＝eq
\f(qUL2,2mdv)；
速度的偏转角tan
θ＝＝eq
\f(qUL,mdv)．
电场中的平衡问题
1．库仑力与重力、弹力一样，它也是一种基本力．带电粒子在电场中的平衡问题，实际上属于力学平衡问题，其中仅多了一个电场力而已．
2．求解这类问题时，在正确的受力分析的基础上，正确应用共点力作用下物体的平衡条件，灵活运用方法(如合成分解法、矢量图示法、相似三角形法、整体法等)去解决．
【例1】 如图所示，绝缘光滑圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态．下列说法正确的是( )
A．a、b、c小球带同种电荷
B．a、b小球带异种电荷，b、c小球带同种电荷
C．a、b小球电量之比为
D．a、b小球电量之比为
D [对c，受到重力、环的支持力以及a与b的库仑力，其中重力与支持力的方向在竖直方向上，水平方向有a对c的库仑力的分力与b对c的库仑力的分力，由共点力平衡的条件可知，a与b对c的作用力都是吸引力，或都是排斥力，则a与b的电性必定是相同的；a与b带同种电荷，它们之间的库仑力是斥力．对a，a受到重力、环的支持力以及b、c对a的库仑力，重力的方向在竖直方向上，水平方向有支持力的向右的分力、b对a的库仑力向左的分力、c对a的库仑力的分力，若a要平衡，则c对a的库仑力沿水平方向的分力必须向右，所以c对a的作用力必须是吸引力，所以c与a的电性一定相反．即：a、b小球带同种电荷，b、c小球带异种电荷．故A、B错误；设环的半径为R，三个小球的带电量分别为q1、q2和q3，由几何关系可得＝R，＝R；a与b对c的作用力都是吸引力，它们对c的作用力在水平方向的分力大小相等，则·cos
30°＝·cos
60°
所以＝，故C错误，D正确．]
1．(多选)如图所示，在一电场强度沿纸面方向的匀强电场中，用一绝缘细线系一带电小球，小球的质量为m，电荷量为q.为了保证当细线与竖直方向的夹角为60°时，小球处于平衡状态，则匀强电场的场强大小可能为( )
A．
B．
C．
D．
ACD [取小球为研究对象，它受到重力mg、细线的拉力F和电场力Eq的作用．因小球处于平衡状态，则它受到的合外力等于零，由平衡条件知，F和Eq的合力与mg是一对平衡力．根据力的平行四边形定则可知，当电场力Eq的方向与细线拉力方向垂直时，电场力最小，如图所示，则Eq＝mg
sin
60°，得最小场强E＝.所以，选项A、C、D正确．]
电势的高低及电势能大小的判断
1.电势高低的判断方法
(1)电场线判断法：沿电场线方向，电势越来越低．
(2)电势能判断法：根据公式φ＝，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高．
(3)场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低．
2．电势能大小的判断方法
(1)场源电荷判断法
①离场源正电荷越近，试探正电荷的电势能越大，试探负电荷的电势能越小．
②离场源负电荷越近，试探正电荷的电势能越小，试探负电荷的电势能越大．
(2)电场线判断法
①正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大．
②负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小．
(3)做功判断法
电场力做正功，电荷(无论是正电荷还是负电荷)从电势能较大的地方移向电势能较小的地方，反之，如果电荷克服电场力做功，那么电荷将从电势能较小的地方移向电势能较大的地方．
【例2】 如图是两个等量异种电荷形成的电场，AB为中垂线上两点，CD为两电荷连线上两点，且A、B、C、D与O点间距离相等，则( )
A．A、B、C、D四点场强相同
B．C点电势比D点电势低
C．正电荷从A运动到B，电场力不做功
D．正电荷从C运动到D，电势能增加
C [两个等量异种点电荷形成的电场，两个电荷的连线上下的电场是对称的，AO＝BO，那么A、B两点的场强就是相等的，小于O处的场强．由于C、D两处电场线比O处密，则C、D两处的场强比O处大，故A错误；电场线从正电荷出发到负电荷终止，而顺着电场线方向电势降低，则知C点电势比D点电势高，故B错误；AB为中垂线，是一条等势线，其上各点的电势都相等，A、B之间的电势差为0，则正电荷从A运动到B，电场力不做功，故C正确；正电荷从C运动到D，电场力从C指向D，电场力做正功，电势能减小，故D错误．]
2．位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如图所示，ab、cd分别是正方形两条边的中垂线，O点为中垂线的交点，P、Q分别为cd、ab上的点，且OPA．P、O两点的电势关系为φP<φO
B．P、Q两点电场强度的大小关系为EQC．若在O点放一正点电荷，则该正点电荷受到的电场力不为零
D．若将某一负电荷由P点沿着图中曲线PQ移到Q点，电场力做负功
B [根据电场叠加，由图象可知ab、cd两中垂线上各点的电势都为零，所以P、O两点的电势相等，故A错误．电场线的疏密表示场强的大小，根据图象知EQ电场中的功能关系
带电的物体在电场中具有一定的电势能，同时还可能具有动能和重力势能等．因此涉及与电场有关的功和能的问题可用以下两种功和能的方法来快速简捷的处理．
1．应用动能定理处理时应注意：
(1)明确研究对象、研究过程．
(2)分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功．
(3)弄清所研究过程的初、末状态．
2．应用能量守恒定律时应注意：
(1)明确研究对象和研究过程及有哪几种形式的能参与了转化．
(2)弄清所研究过程的初、末状态．
(3)应用守恒或转化列式求解．
【例3】 如图所示，两块相同的金属板M和N正对并水平放置，它们的正中央分别有小孔O和O′，两板距离为2L，两板间存在竖直向上的匀强电场；AB是一根长为3L的轻质绝缘竖直细杆，杆上等间距地固定着四个(1、2、3、4)完全相同的带电荷小球，每个小球带电荷量为q、质量为m、相邻小球间的距离为L，第1个小球置于O孔处．将AB杆由静止释放，观察发现，从第2个小球刚进入电场到第3个小球刚要离开电场，AB杆一直做匀速直线运动，整个运动过程中AB杆始终保持竖直，重力加速度为g.求：
(1)两板间的电场强度E；
(2)求AB杆匀速运动的速度；
(3)第4个小球刚离开电场时AB杆的速度．
[解析] (1)两个小球处于电场中时，2qE＝4mg，解得E＝.
(2)设杆匀速运动时速度为v1，对第1个小球刚进入电场到第3个小球刚要进入电场这个过程，应用动能定理得
4mg·2L－qE(L＋2L)＝·4mv
解得v1＝.
(3)设第4个小球刚离开电场时，杆的运动速度为v，对整个杆及整个过程应用动能定理
4mg·5L－4·qE·2L＝×4mv2
解得v＝.
[答案] (1) (2) (3)
(1)电场力做功的特点是只与初末位置有关，与经过的路径无关．
(2)电场力做功和电势能变化的关系：电场力做正功，电势能减小，电场力做负功，电势能增加，且电场力所做的功等于电势能的变化(对比重力做功与重力势能的变化关系).
(3)如果只有电场力做功，则电势能和动能相互转化，且两能量之和保持不变．这一规律虽然没有作为专门的物理定律给出，但完全可以直接用于解答有关问题．
3.如图所示，地面上方存在水平向右的匀强电场，现将一带电小球从距离地面O点高h处的A点以水平速度v0抛出，经过一段时间小球恰好垂直于地面击中地面上的B点，B到O的距离也为h，当地重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．从A到B的过程中小球的动能先减小后增大
B．下落过程中小球机械能一直增加
C．小球的加速度始终保持2g不变
D．从A点到B点小球的电势能减少了mgh
A [据题分析可知，小球受到的电场力水平向左，其合力指向左下方，在运动过程中，合力先与小球速度方向成钝角，后变成锐角，即合力先做负功，后做正功，即动能先减小后增大，故A正确；小球下落过程中，电场力一直做负功，小球机械能一直减小，故B错误；根据运动的合成和分解可知，小球竖直方向上做自由落体运动，则有h＝gt2，水平方向上有0＝v0－t，h＝v0t－·t2，联立解得qE＝mg，小球受到水平向左的电场力和竖直向下的重力，合力大小为F合＝mg，由牛顿第二定律可得小球的加速度a＝＝g，保持不变，故C错误；从A到B点，小球电场力做功为W＝－qEh＝－mgh，所以电势能增加了ΔEp＝mgh，故D错误．]
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-第一节 认识静电
[学习目标] 1.[物理观念]知道物体起电的三种方式．理解其微观解释．(重点) 2.[科学思维]熟记电荷守恒定律． 3.[物理观念]记住元电荷的概念． 4.[科学思维]能用原子结构和电荷守恒定律分析问题．
一、起电方法的实验探究
1．判断物体是否带电的依据：物体具有了吸引轻小物体的性质，我们就说它带了电，或有了电荷．
2．电荷的电性及相互作用：
(1)电性
①用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷；
②用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷．
(2)电荷间的作用：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引．
3．三种起电方法：
(1)如图，两物体带上等量的异(选填“同”或“异”)种电荷．
(2)如图，物体带上与带电体电性相同(选填“相同”或“相反”)的电荷．
(3)如图，一个带电体靠近导体时，导体近端感应出异种电荷，远端感应出同种电荷．
二、电荷守恒定律
1．电荷量
(1)电荷量：物体所带电荷的多少叫做电荷量．
(2)电荷量的单位：库仑，简称库，符号C．
(3)中和：等量的异种电荷完全抵消的现象．
(4)元电荷：任何带电体的电荷量都是e＝1.60×10－19C的整数倍．因此，电荷量e被称为元电荷．
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不能创造，也不能消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一个部分转移到另一部分．在转移的过程中，电荷的代数和不变．
(2)适用范围：电荷守恒定律不仅在一切宏观物理过程中成立，而且也是一切微观物理过程所普遍遵守的规律．
1．正误判断
(1)不论是摩擦起电还是感应起电，都是电荷的转移．
(√)
(2)两个互相摩擦的物体一定是同时带上种类不同的电荷，且电荷量相等．
(√)
(3)带等量异种电荷的两个导体接触后，电荷会消失，这种现象叫电荷的湮灭．
(×)
(4)某一带电体的电荷量可能等于5×10－19
C．
(×)
2．公元1世纪，东汉王充《论衡·乱龙》中记录了“顿牟掇芥”．顿牟即琥珀(也有玳瑁的甲壳之说)，芥指芥菜子，统喻干草、纸等的微小屑末．这个词的意思就是经过摩擦的琥珀能吸引干草、纸等轻小的物体．下列关于这个现象的解释正确的是( )
A．经过摩擦的琥珀有了磁性
B．经过摩擦的琥珀带了电
C．琥珀与干草带异种电荷
D．琥珀与干草带同种电荷
B [摩擦可以使物体带电，经过摩擦的琥珀带了电，能吸引干草、纸等轻小的物体，故B正确，A错误．同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引．带电体都有吸引轻小物体的性质，干草不一定带电．故C、D错误．]
3．(多选)下列关于电荷量和元电荷的说法正确的是( )
A．物体所带的电荷量可以是任意实数
B．物体带正电荷1.6×10－9
C，是因为失去了1.0×1010个电子
C．物体带电量的最小值是1.6×10－19
C
D．以上说法都不正确
BC [元电荷的数值为e＝1.6×10－19
C，任何带电体的电荷量都是e的整数倍，所以物体带的电荷量不能是连续的数值，更不能是任意的，所以B、C正确．]
对三种起电方式的理解
1．三种起电方式的比较
方式内容
摩擦起电
感应起电
接触起电
产生条件
两不同绝缘体摩擦时
导体靠近带电体时
导体与带电体接触时
现象
两物体带上等量异种电荷
导体两端出现等量异种电荷
导体带上与带电体电性相同的电荷
微观解释
不同物质的原子核对核外电子的约束力不同，摩擦时电子从一物体转移到另一物体
导体中的自由电子受到带电体对它的排斥(或者吸引)，而移向导体的远端(或者近端)
电荷间的相互作用，使得自由电子在带电体和导体上转移，且重新分布
实质
均为电荷在物体之间或物体内部的转移
2.三种起电方式各自遵循的规律
(1)摩擦起电时电荷转移的规律．
①摩擦起电时，原子核中的质子不能脱离原子核而移动，即相互摩擦的两个物体中转移的不可能是正电荷，转移的只是负电荷，即电子．
②电中性的两个绝缘体相互摩擦，带正电的物体一定是失去了电子，带负电的物体一定是获得了电子．
(2)感应起电的分布规律．
①近异远同：用带电体靠近不带电的导体时，会在靠近带电体的一端感应出与带电体电性相反的电荷，远离带电体的一端感应出与带电体电性相同的电荷．
②等量异性：用带电体靠近不带电的导体(或两不带电的相互接触的导体)时，会在原不带电的导体两端(或两不带电的相互接触的导体上)感应出等量异性的电荷．
(3)接触起电时电子转移的规律．
①带负电的物体与不带电的中性物体接触，电子由带负电的物体转移到中性物体上．
②带正电的物体与不带电的中性物体接触，电子由中性物体转移到带正电的物体上．
③带正电的物体与带负电的物体接触，电子由带负电的物体转移到带正电的物体上．
【例1】 (多选)如图所示，A、B为相互接触的用绝缘支柱支撑的金属导体，起初它们不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C是带正电的小球，下列说法正确的是( )
A．把C移近导体A时，A、B上的金属箔片都张开
B．把C移近导体A，先把A、B分开，然后移走C，A、B上的金属箔片仍张开
C．把C移近导体A，先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开
D．把C移近导体A，先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合
AB [虽然A、B起初都不带电，但带正电的导体C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，使得A端积累了负电荷，B端带正电荷，其下部贴有的金属箔片分别带上了与A、B同种的电荷，所以金属箔片都张开，A正确．C只要一直在A、B附近，先把A、B分开，A、B上的电荷因受C的作用力不可能中和，因而A、B仍带等量异种的感应电荷，此时即使再移走C，A、B所带电荷量也不变，金属箔片仍张开，B正确．但如果先移走C，A、B上的感应电荷会马上中和，不再带电，所以箔片都不会张开，C错．先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷会完全中和，金属箔片都不会张开，D错．故选A、B.]
感应起电的判断方法
(1)当带电体靠近导体时，导体靠近带电体的一端带异种电荷，远离带电体的一端带同种电荷，如图甲所示．
(2)导体接地时，该导体与地球可视为一个导体，而且该导体可视为近端导体，带异种电荷，地球就成为远端导体，带同种电荷，如图乙、丙所示．
说明：用手摸一下导体，再移开手指，相当于先把导体接地，然后再与大地断开．
训练角度1.起电的实质
1．(多选)关于摩擦起电现象，下列说法正确的是( )
A．摩擦起电现象使本来没有电子和质子的物体中产生电子和质子
B．两种不同材料的绝缘体互相摩擦后，同时带上等量异种电荷
C.摩擦起电，可能是因为摩擦导致质子从一个物体转移到了另一个物体而形成的
D．丝绸摩擦玻璃棒时，电子从玻璃棒上转移到丝绸上，玻璃棒因质子数多于电子数而显正电
BD [摩擦起电实质是由于两个物体的原子核对核外电子的约束能力不相同，因而电子可以在物体间转移．若一个物体失去电子，其质子数就会比电子数多，我们说它带正电．若一个物体得到电子，其质子数就会比电子数少，我们说它带负电．使物体带电并不是创造出电荷．]
训练角度2.感应起电
2．如图所示，把一个不带电的枕形导体靠近带正电的小球，由于静电感应，在a、b两端分别出现负、正电荷，则以下说法正确的是( )
A．闭合开关S1，有电子从枕形导体流向大地
B．闭合开关S2，有电子从枕形导体流向大地
C．闭合开关S1，有电子从大地流向枕形导体
D．闭合开关S2，没有电子通过开关S2
C [在S1、S2都闭合前，对枕形导体，它的电荷是守恒的，a、b出现负、正电荷等量，当闭合开关S1、S2中的任何一个以后，便把大地与导体连通，使大地也参与了电荷转移，因此，导体本身的电荷不再守恒，而是导体与大地构成的系统中电荷守恒，由于静电感应，a端仍为负电荷，大地远处应感应出正电荷，因此无论闭合开关S1还是开关S2，都应有电子从大地流向导体，故C选项正确．]
电荷守恒定律的理解应用
1．“中性”与“中和”的区别
(1)电中性的物体是有电荷存在的，只是正、负电荷的代数和为零，对外不显电性．
(2)电荷的中和是指等量正、负电荷完全抵消的过程，但正、负电荷本身依然存在，并没有消失．
2．物体带电的实质
不论哪一种带电方式都没有创造电荷，也没有消灭电荷．本质都是电子发生了转移．
3．完全相同的金属球接触带电时电荷量的分配情况
(1)用带电荷量是Q的金属球与不带电的金属球接触后，两小球均带的电荷量，电性与原带电金属球电性相同．
(2)若两金属球带同种电荷Q1、Q2，接触后每个金属球所带的电荷量均为总电荷量的一半，即Q1′＝Q2′＝，电性与两金属球原来所带电荷的电性相同．
(3)若两金属球带异种电荷Q1、－Q2，接触后先中和等量的异种电荷，剩余的电荷量平均分配即Q1″＝Q2″＝，电性与接触前带电荷量大的金属球的电性相同．
【例2】 有两个完全相同的带电绝缘金属小球A、B，分别带有电荷量QA＝6.4×10－9C，QB＝－3.2×10－9C，让两绝缘金属小球接触．在接触后，A、B带电荷量各是多少？此过程中电子发生了怎样的转移，转移了多少电荷量？
[解析] 接触后两小球带电量
QA′＝QB′＝
＝C＝1.6×10－9C，在接触过程中，电子由B球转移到A球，不仅将自身净电荷中和，且继续转移，使B球带QB′的正电荷．这样，共转移的电子电荷量为：
ΔQ＝QB－QB′＝(－3.2×10－9－1.6×10－9)C＝－4.8×10－9C
[答案] 均为1.6×10－9C 电子由B球转移到了A球，转移了4.8×10－9
C
[一题多变] 例2中，若小球B也带正电，即QB＝3.2×10－9
C，其他条件不变，则两球接触后，各带多少电荷？此过程中电子发生了怎样的转移？转移了多少电荷量？
[解析] 两球接触后，带电量QA′＝QB′＝＝＝4.8×10－9
C.
在接触过程中，电子由B球转移到A球，转移的电子电荷量为ΔQ＝QB－QB′＝－1.6×10－9C.
[答案] 均为4.8×10－9
C 电子由B球转移到了A球，转移了1.6×10－9
C
电荷量分配原则的两点注意
(1)电荷均分的前提条件是两导体完全相同．
(2)不同的导体接触后再分开，每个导体上所带电荷量不满足平均分配规律．
验电器的两种应用方式及原理
1．带电体接触验电器：当带电的物体与验电器上面的金属球接触时，有一部分电荷转移到验电器上，与金属球相连的两个金属箔片带上同种电荷，因相互排斥而张开，物体所带电荷量越多，电荷转移的越多，斥力越大，张开的角度也越大．
2．带电体靠近验电器：当带电体靠近验电器的金属球时，带电体会使验电器的金属球感应出异种电荷，而金属箔片上会感应出同种电荷(感应起电)，两箔片在斥力作用下张开．
3．如图所示，用起电机使金属球A带负电，靠近验电器B的金属球，则( )
A．验电器的金属箔片不张开，因为球A没有和B接触
B．验电器的金属箔片张开，因为整个验电器都带上了正电
C．验电器的金属箔片张开，因为整个验电器都带上了负电
D．验电器的金属箔片张开，因为验电器下部的两金属箔片都带上了负电
D [带负电的球A靠近验电器B的金属球，根据电荷“同性相斥，异性相吸”的特点知，验电器金属球上的电子会被球A上的负电荷排斥到验电器下端箔片上，则验电器下部的两金属箔片就会因带负电荷而相斥，箔片张开，故选D.]
[物理观念] 摩擦起电 接触起电 感应起电 电荷量及元电荷
[科学探究] 验电器的构造、原理，并借助验电器感受摩擦起电、感应起电的过程．
[科学思维] 1.三种起电方式的实质都是电荷的转移．
2．用电荷守恒定律分析问题．
1．(多选)关于元电荷的理解，下列说法正确的是( )
A．元电荷就是电子
B．元电荷是表示1
C电量
C．元电荷是表示跟电子所带电荷量数值相等的电荷量
D．物体所带的电荷量只能是元电荷的整数倍
CD [元电荷是最小带电量，大小为e＝1.6×10－19C
，跟电子或质子所带电荷量相等，不是电荷种类，任何带电体的电荷量都为元电荷的整数倍，故C、D正确．]
2．毛皮与橡胶棒摩擦后，毛皮带正电，橡胶棒带负电．这是因为( )
A．空气中的正电荷转移到了毛皮上
B．空气中的负电荷转移到了橡胶棒上
C．毛皮上的电子转移到了橡胶棒上
D．橡胶棒上的电子转移到了毛皮上
C [摩擦起电的实质是电子从一个物体转移到另一个物体，电中性的物体若失去了电子就带正电，得到了电子就带负电．由于毛皮的原子核束缚电子的能力比橡胶棒弱，在摩擦的过程中毛皮上的一些电子转移到橡胶棒上，失去了电子的毛皮带正电，所以C正确．]
3．如图所示，小球A带正电，当带负电的小球B靠近A时，A带的( )
A．正电荷增加
B．负电荷增加
C．正、负电荷均增加
D．电荷量不变
D [当带负电的小球B靠近小球A时，两小球之间无接触，由电荷守恒定律可知，A带的电荷量不变，只是电荷重新在小球表面上发生了分布(电荷重新分布是由电荷之间相互作用力产生的).]
4.(多选)如图所示，把置于绝缘支架上的不带电的枕形导体放在带负电的导体C附近，导体的A端感应出正电荷，B端感应出负电荷．关于使导体带电的以下说法中正确的是( )
A．如果用手摸一下导体的B端，B端自由电子将经人体流入大地，手指离开，移去带电体C，导体带正电
B．如果用手摸一下导体的A端，大地的自由电子将经人体流入导体与A端的正电荷中和，手指离开，移去带电体C，导体带负电
C．如果用手摸一下导体的中间，由于中间无电荷，手指离开，移去带电体C，导体不带电
D．无论用手摸一下导体的什么位置，导体上的自由电子都经人体流入大地，手指离开，移去带电体C，导体带正电
AD [无论用手摸一下导体的什么位置，都会使枕形导体通过人体与大地相连，由于静电感应，导体上的自由电子将经人体流入大地，使得导体带正电，手指离开，移去带电体C，导体带正电，故选A、D.]
5．有三个相同的绝缘金属小球A、B、C，其中小球A带有3×10－3
C的正电荷，小球B带有－2×10－3
C的负电荷，小球C不带电．先将小球C与小球A接触后分开，再将小球B与小球C接触后分开，试求这时三个小球的带电荷量分别为多少？
[解析] 小球C与小球A接触后分开带电量为
Q′A＝QC＝＝1.5×10－3
C.
小球B与小球C接触后分开带电量为
Q′B＝Q′C＝＝
C＝－2.5×10－4
C
[答案] 1.5×10－3
C －2.5×10－4
C －2.5×10－4
C
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8
-第二节 探究静电力
[学习目标] 1.[物理观念]了解点电荷，知道实际带电体简化为点电荷的条件．(重点) 2.[科学探究]了解探究电荷间作用力与电荷量及电荷间距离的关系的实验过程． 3.[科学思维]理解库仑定律的内容、公式及适用条件．(重点) 4.[科学思维]会用库仑定律进行有关的计算．(难点) 5.[科学探究]了解库仑扭秤实验．
一、点电荷
1．点电荷：物理上把本身的大小比相互之间的距离小得多的带电体称为点电荷．
2．点电荷是理想化的物理模型，只有电荷量，没有大小、形状，类似于力学中的质点，实际不存在(选填“存在”或“不存在”).
3．理想化模型：当研究对象受多个因素影响时，在一定条件下人们可以抓住主要因素，忽略次要因素，将研究对象抽象为理想模型，从而使问题的处理大为简化．
二、库仑定律
1．基本方法：控制变量法．
(1)探究电荷间的作用力的大小跟距离的关系
电荷量不变时，电荷间的距离增大，作用力减小；距离减小，作用力增大．
(2)探究电荷间作用力的大小跟电荷量间的关系
电荷间距离不变时，电荷量增大，作用力增大；电荷量减小，作用力减小．
2．库仑定律
(1)内容：在真空中两个点电荷之间的作用力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们间的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
(2)公式：F＝k，k叫静电力常量，数值k＝9.0×109N·m2/C2．
(3)适用条件：①真空中；②点电荷．
1．正误判断
(1)体积很小的带电体都能看做点电荷．
(×)
(2)库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的球体．
(×)
(3)相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相等，它们之间的库仑力大小一定相等．
(√)
(4)库仑定律是库仑在前人工作的基础上通过实验总结出来的规律．
(√)
2．关于点电荷，下列说法中正确的是( )
A．点电荷就是体积小的带电体
B．球形带电体一定可以视为点电荷
C．带电少的带电体一定可以视为点电荷
D．大小和形状对作用力的影响可忽略的带电体可以视为点电荷
D [点电荷不能理解为体积很小的带电体，也不能理解为电荷量很少的带电体．同一带电体，如要研究它与离它较近的电荷间的作用力时，就不能看成点电荷，而研究它与离它很远的电荷间的作用力时，就可以看作点电荷．带电体能否看成点电荷，要依具体情况而定，故D正确，A、B、C错误．]
3．(多选)对于库仑定律，下列说法正确的是( )
A．凡计算真空中两个点电荷间的相互作用力，都可以使用公式F＝k
B．两个带电小球即使相距非常近，也能用库仑定律
C．相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等
D．当两个半径为r的带电金属球中心相距为4r时，对于它们之间的静电作用力大小，只取决于它们各自所带的电荷量
AC [库仑定律适用于真空中的两个点电荷，当两个带电小球离得非常远时，可以看成点电荷来处理，而非常近时带电体的电荷分布会发生变化，不再均匀，故不能用库仑定律来解题．两点电荷间的力是作用力和反作用力．所以A、C正确．]
点电荷
1．点电荷是物理模型
只有电荷量，没有大小、形状的理想化的模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在．
2．带电体看成点电荷的条件
如果带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状和大小对相互作用力的影响很小，就可以忽略形状、大小等次要因素，只保留对问题有关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷．
3．元电荷与点电荷
(1)元电荷是一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值，是电荷量的最小单位．
(2)点电荷只是不考虑带电体的大小和形状，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是一个元电荷电荷量的整数倍．
【例1】 关于点电荷，下列说法正确的是( )
A．体积小的带电体在任何情况下都可以看成点电荷
B．所有的带电体在任何情况下都可以看成点电荷
C．带电体的大小和形状对研究它们之间的作用力的影响可以忽略不计时，带电体可以看成点电荷
D．通常把带电小球看成点电荷，带电小球靠得很近时，它们之间的作用力为无限大
C [电荷的形状、体积对分析的问题的影响可以忽略时，就可以看成是点电荷，所以体积很大的带电体也有可能看成是点电荷，体积小的带电体有时不能看作点电荷，所以A错误；电荷的形状、体积对分析问题的影响可以忽略时，就可以看成是点电荷，并不是所有带电体都能看作点电荷，所以B错误；带电体的大小和形状对研究它们之间的作用力的影响可以忽略不计时，带电体可以看成点电荷，所以C正确；通常把带电小球看成点电荷，带电小球靠得很近时，库仑定律不再适用，所以D错误．]
点电荷只具有相对意义
一个带电体能否看作点电荷，是相对于具体问题而言的，不能单凭其大小和形状确定．
1．(多选)关于元电荷和点电荷，下列说法中正确的是( )
A．电子就是元电荷
B．元电荷的电荷量等于电子或质子所带的电荷量
C．电子一定是点电荷
D．带电小球也可能视为点电荷
BD [电子和质子是实实在在的粒子，而元电荷只是一个电量单位，A错误，B正确；带电体能否看成点电荷，不能以体积大小、电荷量多少而论，只要在测量精度要求的范围内，带电体的形状、大小等因素的影响可以忽略，即可视为点电荷，C错误，D正确．]
库仑定律的理解
1．探究影响电荷间相互作用力的因素
实验原理
如图所示F＝mg
tan
θ，θ变大，F变大，θ变小，F变小
实验现象
r变大，θ变小r变小，θ变大
Q变大，θ变大Q变小，θ变小
实验结论
电荷间的相互作用力随电荷间距离的增大而减小，随电荷量的增大而增大
2.库仑定律的适用条件
(1)真空．
(2)点电荷．
这两个条件都是理想化的，在空气中库仑定律也近似成立．
3．静电力的大小计算和方向判断
(1)大小计算
利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可．
(2)方向判断
在两电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸．
【例2】 (多选)两个用相同材料制成的半径相等的带电金属小球(可看成点电荷)，其中一个球的带电量的绝对值是另一个的5倍，当它们静止于空间某两点时，静电力大小为F.现将两球接触后再放回原处，则它们间静电力的大小可能为( )
A．F
B．F
C．F
D．F
思路点拨：(1)两金属小球所带电荷的性质不一定相同．
(2)两金属小球接触后再放回原处时，所带的电量、电性均相同．
BD [设一个球的带电量绝对值为Q，则另一个球的带电量绝对值为5Q，此时F＝k，若两球带同种电荷，接触后再分开，两球电量的绝对值为3Q，则两球的库仑力大小F′＝k＝.若两球带异种电荷，接触后再分开，两球电量的绝对值为2Q，此时两球的库仑力F″＝k＝F.故B、D正确，A、C错误．]
应用库仑定律的三点注意
(1)F＝k，r指两点电荷间的距离．对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球心间距．
(2)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大．
(3)不必将表示电性的正、负号代入公式，库仑力的方向可以根据“同性相斥、异性相吸”的规律判断．
训练角度1.库仑定律的适用条件
2.如图所示，两个半径均为r的金属球放在绝缘支架上，两球面最近距离为r，带等量异种电荷，电荷量为Q，两球之间的静电力为下列选项中的哪一个( )
A．等于k
B．大于k
C．小于k
D．等于k
B [由于两金属球带等量异种电荷，电荷间相互吸引，因此电荷在金属球上的分布向两球靠近的一面集中，电荷间的距离就要比3r小．根据库仑定律，静电力一定大于k，正确选项为B.]
训练角度2.静电力的计算
3．两个完全相同的金属小球A、B(均可视为点电荷)带有相等的电荷量，相隔一定距离，两小球之间相互吸引力的大小是F.现让第三个不带电的相同金属小球先后与A、B两小球接触后移开．这时，A、B两小球之间的相互作用力的大小是( )
A．
B．
C．
D．
A [设A、B两球间的距离为r，因为开始时A、B两球间的作用力是吸引力，所以设A所带电荷量为Q，B所带电荷量为－Q，由库仑定律知，开始时A、B两球之间的作用力F＝k.当第三个不带电的小球与A球接触时，据电荷均分原理可知，两球均带电荷量为Q.
当第三个小球与B球接触时，两球均带电荷量为
×(
Q－Q)＝－Q.
故这时A、B两球间的作用力大小F′＝k＝F，故A正确．]
库仑力的叠加及应用
1．库仑力的特征
(1)真空中两个静止点电荷间相互作用力的大小只跟两个点电荷的电荷量及间距有关，跟它们的周围是否存在其他电荷无关．
(2)两个电荷之间的库仑力同样遵守牛顿第三定律，与两个电荷的性质、带电多少均无关，即互为作用力与反作用力的两个库仑力总是等大反向．
(3)库仑力是电荷之间的一种相互作用力，具有自己的特性，与重力、弹力、摩擦力一样是一种“性质力”．在实际应用时，与其他力一样，受力分析时不能漏掉，对物体的平衡或运动起着独立的作用．
2．库仑力的叠加
(1)对于三个或三个以上的点电荷，其中每一个点电荷所受的库仑力，等于其余所有点电荷单独对它作用产生的库仑力的矢量和．
(2)电荷间的单独作用符合库仑定律，求各库仑力的矢量和时应用平行四边形定则．
3．带电体在库仑力作用下可能处于静止状态，也可能处于加速运动状态，解决这类问题的一般方法是：
(1)受力分析：除分析重力、接触力之外，还要分析库仑力的作用．
(2)状态分析：通过分析确定带电体是处于平衡状态还是处于加速状态．
(3)根据条件和物理规律列方程求解．
【例3】 在真空中有两个相距r的点电荷A和B，带电荷量分别为q1＝－q，q2＝4q.
(1)若A、B固定，在什么位置放入第三个点电荷q3，可使之处于平衡状态？平衡条件中对q3的电荷量及正负有无要求？
(2)若以上三个点电荷皆可自由移动，要使它们都处于平衡状态，对q3的电荷量及电性有何要求？
思路点拨：(1)第(1)问中，看q3是放在A、B的连线还是延长线上，能满足q3平衡的两个力方向相反，然后用库仑定律表示出两个力即可．
(2)第(2)问中，让q3平衡可确定q3的位置，再让q1或q2中的一个平衡，便可建三点电荷二力平衡等式确定q3的电荷量及电性．
[解析] (1)q3受力平衡，必须和q1、q2在同一条直线上，因为q1、q2带异种电荷，所以q3不可能在它们中间．再根据库仑定律，库仑力和距离的平方成反比，可推知q3应该在q1、q2的连线上，且在q1的外侧(离带电荷量少的电荷近一点的地方)，如图所示．设q3离q1的距离是x，根据库仑定律和平衡条件列式：
k－k＝0
将q1、q2的已知量代入得：x＝r，对q3的电性和电荷量均没有要求．
(2)要使三个电荷都处于平衡状态，就对q3的电性和电荷量都有要求，首先q3不能是一个负电荷，若是负电荷，q1、q2都不能平衡，也不能处在它们中间或q2的外侧，设q3离q1的距离是L.根据库仑定律和平衡条件列式如下：
对q3：k－k＝0
对q1：k－k＝0
解上述两方程得：q3＝4q，L＝r.
[答案] (1)在q1的外侧距离为r处，对q3的电性和电荷量均没有要求 (2)电荷量为4q 带正电
三个电荷平衡问题的处理技巧
(1)利用好平衡条件：三个电荷均处于平衡状态，每个电荷所受另外两个电荷对它的静电力等大反向，相互抵消．
(2)利用好口诀：“三点共线，两同夹异，两大夹小，近小远大”．
训练角度1.库仑力的叠加
4．如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知A、B都带正电荷，A所受B、C两个电荷的静电力的合力如图中FA所示，则下列说法正确的是( )
A．C带正电，且QCB．C带正电，且QC>QB
C．C带负电，且QCD．C带负电，且QC>QB
C [因A、B都带正电，所以静电力表现为斥力，即B对A的作用力沿BA的延长线方向，而不论C带正电还是带负电，A和C的作用力方向都必须在AC连线上，由平行四边形定则知，合力必定为两个分力的对角线，所以A和C之间必为引力，且FCA训练角度2.三个电荷的平衡问题
5．两个可自由移动的点电荷分别在A、B两处，如图所示．A处电荷带正电Q1，B处电荷带负电Q2，且Q2＝4Q1，另取一个可以自由移动的点电荷Q3，放在直线AB上，欲使整个系统处于平衡状态，则( )
A．Q3为负电荷，且放于A左方
B．Q3为负电荷，且放于B右方
C．Q3为正电荷，且放于A与B之间
D．Q3为正电荷，且放于B右方
A [根据“两同夹异”和“两大夹小”的原则，Q3应为负电荷，且放于A的左方，故选A.]
[物理观念] 点电荷 库仑力
[科学探究] 1.经历探究实验过程，得出电荷间作用力与电荷量及电荷间距离的定性关系．
2．了解库仑扭秤实验，体会实验的巧妙之处．
[科学思维] 1.通过抽象概括建立点电荷这种理想化模型．
2．控制变量法在实验中的作用．
3．库仑定律的内容、公式及适用条件，会用库仑定律进行有关的计算．
1．对点电荷的理解，下列说法正确的是( )
A．只有带电量为e的电荷才能叫点电荷
B．只有体积很小的电荷才能叫点电荷
C．体积很大的电荷一定不能看作点电荷
D．当两个带电体的大小及形状对它们间的相互作用力的影响可忽略时，带电体可以看成点电荷
D [点电荷是将带电物体简化为一个带电的点，物体能不能简化为点，不是看物体的体积大小和电量大小，而是看物体的形状和大小对于两个物体的间距能不能忽略不计，故A、B、C错误，D正确．]
2．如图所示，两个带电球体，大球的电荷量大于小球的电荷量，可以肯定( )
A．两球都带正电
B．两球都带负电
C．大球受到的静电力大于小球受到的静电力
D．两球受到的静电力大小相等
D [两个带电球之间存在着排斥力，故两球带同号电荷，可能都带正电，也可能都带负电，故A、B项错误；由牛顿第三定律知，两球受到的静电力大小相等，故C项错误，D项正确．]
3．两个点电荷所带电荷量分别为2Q和4Q.在真空中相距为r，它们之间的静电力为F.现把它们的电荷量各减小一半，距离减小为，则它们间的静电力为( )
A．4F
B．2F
C．F
D．F
A [由库仑定律可得原来两点电荷之间的静电力为F＝k＝k，把它们的电荷量各减小一半，距离减小为，变化之后它们之间的静电力为F′＝k＝k＝4F，故A正确，B、C、D错误．]
4．如图所示，分别在A、B两点放置点电荷Q1＝＋2×10－14C和Q2＝－2×10－14C.在AB的垂直平分线上有一点C，且AB＝AC＝BC＝6×10－2m.如果有一高能电子静止放在C点处，则它所受的库仑力的大小和方向如何？
[解析] 电子带负电荷，在C点同时受A、B两点电荷的作用力FA、FB，如图所示．由库仑定律F＝k得
FA＝k
＝9.0×109×N
＝8.0×10－21N，
FB＝k＝8.0×10－21N.
由矢量的平行四边形定则和几何知识得静止放在C点的高能电子受到的库仑力F＝FA＝FB＝8.0×10－21N，方向平行于AB连线由B指向A.
[答案] 8.0×10－21N 方向平行于AB连线由B指向A
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10
-第三节 电场强度
[学习目标] 1.[物理观念]知道电荷间的相互作用是通过电场发生的． 2.[物理观念]理解电场强度、掌握电场强度的矢量性．(重点、难点) 3.[科学思维]掌握电场的叠加原理．(难点) 4.[科学思维]知道常见的几种电场．理解电场线及特点．(重点)
一、电场
1．电场：电荷周围存在电场，电荷之间的相互作用力是通过电场传递的．静止的电荷周围存在的电场，即静电场．
2．基本性质：对放入其中的电荷有作用力．
二、电场的描述
1．试探电荷：电量和线度足够小的电荷，放入电场后不影响原电场的分布．
2．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的点电荷受到的电场力F跟它的电荷量q的比值．简称场强，用字母E表示．
(2)公式：E＝.
(3)单位：牛/库仑，符号：N/C.
(4)方向：跟正电荷在该点所受力的方向相同或跟负电荷在该点所受力的方向相反．
3．匀强电场：电场中各点的电场强度的大小和方向都相同的电场．
4．点电荷的电场
(1)公式：E＝k．
(2)含义：点电荷Q的电场中任意点的电场强度的大小，与点电荷的电荷量成正比，与该点到点电荷距离的平方成反比．
5．电场的叠加原理：若空间同时存在多个点电荷，在空间某点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和．
三、电场线
1．电场线：用来形象直观地描述电场的曲线，曲线上每一点的切线方向都和该处的场强方向一致．
2．特点
(1)电场线是为了形象描述电场而假想的线，实际并不存在．
(2)任意两条电场线不相交．
(3)电场线的疏密反映了电场的强弱．
(4)电场线从正电荷或无穷远出发，延伸到无穷远或到负电荷终止．
(5)匀强电场的电场线是间隔距离相等的平行直线．
1．正误判断
(1)电场是人们为了解释电荷间的作用力，人为创造的，并不是真实存在的．
(×)
(2)根据E＝k，点电荷电场强度与场源电荷Q成正比，与距离r的平方成反比．
(√)
(3)根据点电荷电场线分布，可以确定以点电荷为圆心的圆上各点电场强度相同．
(×)
(4)电场线不是实际存在的线，而是为了形象地描述电场而假想的线．
(√)
2．A为已知电场中的一固定点，在A点放一电荷量为q的试探电荷，所受电场力为F，A点的场强为E，则( )
A．若在A点换上－q，A点场强方向发生变化
B．若在A点换上电荷量为2q的试探电荷，A点的场强将变为2E
C．若在A点移去电荷q，A点的场强变为零
D．A点场强的大小、方向与q的大小、正负、有无均无关
D [电场强度E＝是通过比值定义法得出的，其大小及方向与试探电荷无关；故放入任何电荷时电场强度的方向和大小均不变，故选项A、B、C错误，D正确．]
3．(多选)关于电场线的特征，下列说法中正确的是( )
A．如果某空间中的电场线是曲线，那么在同一条电场线上各处的场强不相同
B．如果某空间中的电场线是直线，那么在同一条电场线上各处的场强相同
C．如果空间中只存在一个孤立的点电荷，那么这个空间中的任意两条电场线不相交；如果空间中存在两个以上的点电荷，那么这个空间中有许多电场线相交
D．电场中任意两条电场线都不相交
AD [如果电场线是曲线，那么这条曲线上各点的切线方向表示在该点的场强方向，故曲线上各点的场强方向不同，A选项正确；在电场中任何一点的场强是唯一确定的，两条电场线如果相交，则交点有两个切线方向，该点场强就不再唯一，故D选项正确．]
电场强度的理解及叠加
1．公式E＝和E＝k的比较
公式
E＝
E＝k
本质区别
定义式
决定式
意义及用途
给出了一种量度电场强弱的方法
指明了点电荷场强大小的决定因素
适用范围
一切电场
真空中点电荷的电场
Q或q意义
q表示引入电场的检验(或试探)电荷的电荷量
Q表示产生电场的点电荷的电荷量
关系理解
E用F与q的比值来表示，但E的大小与F、q大小无关
E不仅用Q、r来表示，且E∝Q，E∝
2.计算电场强度的几种方法
方法
适用情况
用定义式E＝求解
常用于涉及试探电荷或带电体的受力情况
用E＝k求解
仅适用于真空中的点电荷产生的电场
利用叠加原理求解
常用于涉及空间的电场是由多个电荷共同产生的情景
【例1】 如图所示，真空中，带电荷量分别为＋Q和－Q的点电荷A、B相距r，求：
(1)两点电荷连线的中点O的场强？
(2)在两电荷连线的中垂线上，距A、B两点都为r的P点的场强？
[解析] (1)如图所示，A、B两点电荷在O点产生的场强方向相同，由A→B.
A、B两点电荷在O点产生的电场强度：
EA＝EB＝＝.
故O点的合场强为EO＝2EA＝，方向由A→B.
(2)如图所示，E′A＝E′B＝，由矢量图所形成的等边三角形可知，P点的合场强EP＝E′A＝E′B＝，方向与A、B的中垂线垂直，即EP与EO同向．
[答案] (1)，方向由A→B (2)，方向与O点场强方向相同
[一题多变] 例1中，若点电荷B的电荷量为＋Q，其他条件不变，求O点和P点的场强？
[解析] A、B在O点产生的场强等大反向，合场强为零，A、B在P点产生的场强大小均为E′A＝E′B＝，合场强Ep＝E′A
cos
30°＋E′B
cos
30°＝，方向沿OP向上．
[答案] 0 ，方向沿OP向上
(1)场源电荷产生电场，并决定各点场强的大小和方向，与试探电荷无关．
(2)E＝是定义式，适用于一切电场；E＝k只适于真空中点电荷的电场．
(3)电场力与场强E和试探电荷均有关．
电场线的理解和应用
1．对电场线的理解
(1)电场中任何两条电场线都不能相交，电场线也不闭合．
(2)电场线的疏密程度表示电场强度的大小，电场线越密的地方，场强越大；电场线越稀疏的地方，场强越小．
(3)电场线是为描述电场而引入的一种假想曲线，实际上电场中并不存在电场线．
(4)不可能在电场中每个地方都画出电场线，两条电场线间虽是空白，但那些位置仍存在电场．
2．电场线与带电粒子在电场中运动轨迹的比较
电场线
运动轨迹
(1)实际上并不存在，是为研究电场方便而人为引入的(2)曲线上各点的切线方向即为该点的场强方向，同时也是正电荷在该点的受力方向，即正电荷在该点的加速度的方向
(1)粒子在电场中的运动轨迹是客观存在的(2)轨迹上每一点的切线方向即为粒子在该点的速度方向
3.电场线与带电粒子运动轨迹重合的条件
(1)电场线是直线．
(2)带电粒子只受电场力作用，或受其他力，但其他力的方向沿电场线所在直线．
(3)带电粒子初速度为零或初速度的方向与电场线在同一条直线上．
以上三个条件必须同时满足．
【例2】 (多选)某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是( )
A．粒子必定带正电荷
B．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度
C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D．粒子在M点的动能小于它在N点的动能
ACD [根据带电粒子运动轨迹弯曲的情况，可以确定带电粒子受电场力的方向沿电场线方向，故带电粒子带正电，A选项正确．由于电场线越密，场强越大，带电粒子受电场力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度也越大，故带电粒子在N点加速度大，C选项正确．粒子从M点到N点，所受电场力方向与其速度方向夹角小于90°，速度增加，故带电粒子在N点动能大，故D选项正确．]
确定带电粒子在电场中运动轨迹的思路
(1)确定电场方向：根据电场强度的方向或电场线的切线方向来确定．
(2)确定带电粒子受力方向：正电荷所受电场力与电场方向相同，负电荷所受电场力与电场方向相反．
(3)确定带电粒子运动轨迹：带电粒子的运动轨迹向受力方向偏转．
训练角度1.对电场线的理解
1．下列各电场中，A、B两点电场强度相同的是( )
A B
C D
C [A图中，A、B两点场强大小相等，方向不同；B图中，A、B两点场强的方向相同，但大小不等；C图中是匀强电场，则A、B两点场强大小、方向均相同；D图中A、B两点场强大小、方向均不相同．故选项C正确．]
训练角度2.电场线与带电粒子运动轨迹的比较
2.如图所示，MN是电场中的一条电场线，一电子从a点运动到b点速度在不断地增大，则下列结论中正确的是( )
A．该电场是匀强电场
B．电场线的方向由N指向M
C．电子在a处的加速度小于在b处的加速度
D．因为电子从a到b的轨迹跟MN重合，所以电场线就是带电粒子在电场中的运动轨迹
B [仅从一条直的电场线不能判断出该电场是否为匀强电场，因为无法确定电场线的疏密程度，所以该电场可能是匀强电场，可能是正的点电荷形成的电场，也可能是负的点电荷形成的电场，A项错误；电子从a到b做的是加速运动，表明它所受的电场力方向是由M指向N，由于负电荷所受的电场力方向跟场强方向相反，所以电场线的方向由N指向M，B项正确；由于无法判断电场的性质，因此不能比较电子在a、b两处所受电场力的大小，即不能比较加速度的大小，C项错误；电场线不是电荷运动的轨迹，只有在特定的情况下，电场线才可能与电荷的运动轨迹重合，D项错误．]
[物理观念] 电场 电场强度 电场线
[科学思维] 1.比值定义法定义物理量的特点．
2．根据库仑定律和电场强度的定义式推导点电荷场强的计算式，并能进行有关的计算．
3．在进行场强叠加等计算时培养综合分析能力和知识的迁移能力．
1．电场中有一点P，下列说法中正确的有( )
A．若放在P点的试探电荷的电荷量减半，则P点的场强减半
B．若P点没有试探电荷，则P点场强为零
C．P点的场强越大，则同一试探电荷在P点受到的电场力越大
D．P点的场强方向就是放在该点的试探电荷所受电场力的方向
C [场强是表示电场本身性质的物理量，由电场本身决定，与是否有试探电荷以及试探电荷的电荷量均无关，选项A、B错误；由E＝得，F＝qE，q一定时F与E成正比，则知P点的场强越大，同一试探电荷在P点受到的电场力越大，故C正确；P点的场强方向就是放在该点的正试探电荷所受电场力的方向，与放在该点的负试探电荷所受电场力的方向相反，故D错误．]
2．用电场线能直观、方便地比较电场中各点的场强大小与方向．如图是静电除尘集尘板与放电极间的电场线，A、B是电场中的两点，则( )
A．EAB．EAC．EA>EB，方向不同
D．EA>EB，方向相同
C [根据电场线的疏密表示电场强度的大小，知A处电场线比B处密，因此EA>EB.电场强度的方向为电场线上该点的切线方向，可知，A、B两点的场强方向不同，故A、B、D错误，C正确．]
3.如图所示，AB是某点电荷电场中一条电场线，在电场线上P处自由释放一个负试探电荷时，它沿直线向B点处运动，对此现象下列判断正确的是(不计电荷重力)( )
A．电荷向B做匀加速运动
B．电荷向B做加速度越来越小的加速运动
C．电荷向B做加速度越来越大的加速运动
D．电荷向B做加速运动，加速度的变化情况不能确定
D [自由释放的负电荷向B运动，说明它受电场力方向指向B，电荷一定做加速运动．由该题提供的条件不能确定P到B过程中的电场强度变化情况，也就无法了解电场力、加速度的变化情况，D项正确．]
4.如图所示，正电荷Q放在一匀强电场中，在以Q为圆心、半径为r的圆周上有a、b、c三点，将检验电荷q放在a点，它受到的电场力正好为零，则匀强电场的大小和方向如何？b、c两点的场强大小和方向如何？
[解析] 点电荷Q周围空间的电场是由两个电场叠加而成的．根据题意可知，Q在a点的场强和匀强电场的电场强度大小相等，方向相反，所以匀强电场的电场强度大小为E＝，方向向右．在b点，两个电场的电场强度合成可得Eb＝，方向向右．在c点，两个电场的电场强度合成可得Ec＝，方向指向右上方，与ab连线成45°.
[答案] ，方向向右
Eb＝，方向向右
Ec＝，方向指向右上方，与ab连线成45°角
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-第四节 电势和电势差
[学习目标] 1.[科学思维]知道电场力做功的特点及电场力做功与电势能改变的关系．(重点) 2.[物理观念]理解电势差的概念及意义，会用公式UAB＝进行计算．(难点) 3.[物理观念]理解电势的定义及其相对性．(难点) 4.[物理观念]知道等势面的概念，知道在等势面上移动电荷时电场力不做功．
一、电势差
1．电场力做功特点：电场力做功跟电荷移动的路径无关，只与电荷的始末位置有关．
2．电场力做功与电势能的关系
(1)电场力所做的功等于电势能的减少量．
(2)公式：WAB＝EpA－EpB．
3．电势差
(1)定义：电场力做功与所移动电荷的电荷量的比值．
(2)公式：UAB＝．
(3)单位：伏特，简称：伏，符号：V，1伏＝1焦耳/库仑．
二、电势
1．定义：把单位正电荷从电场中的某点A移到参考点P时电场力做的功，就表示A点的电势，符号为φA.
2．公式和单位：电势的定义公式φA＝．单位是伏特，符号是V．
3．电势差与电势：UAB＝φA－φB．
三、等势面
1．定义：电场中电势相等的点构成的曲面．
2．等势面与电场强弱的关系：等势面密的地方电场较强，等势面疏的地方电场较弱．
1．正误判断
(1)沿不同路径将电荷由A移至B，电场力做功不同．
(×)
(2)电场力做正功，电势能增加，电场力做负功，电势能减小．
(×)
(3)电势具有相对性，选不同的零电势参考点，电势的值不同．
(√)
(4)由UAB＝可知，沿等势面移动电荷，电场力不做功．
(√)
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．电荷从电场中的A点运动到了B点，路径不同，电场力做功的大小就可能不同
B．电荷从电场中的某点开始出发，运动一段时间后，又回到了该点，则电场力做功为零
C．正电荷沿着电场线运动，电场力对正电荷做正功，负电荷逆着电场线运动，电场力对负电荷做正功
D．电荷在电场中运动，因为电场力可能对电荷做功，所以能量守恒定律在电场中并不成立
BC [电场力做功和电荷运动路径无关，A错误；电场力做功只和电荷的初、末位置有关，所以电荷从某点开始出发又回到了该点，电场力做功为零，B正确；正电荷沿电场线的方向运动，则正电荷受到的电场力和电荷的位移方向相同，故电场力对正电荷做正功，同理，负电荷逆着电场线的方向运动，电场力对负电荷做正功，C正确；电荷在电场中虽然有电场力做功，但是电荷的电势能和其他形式的能之间的转化满足能量守恒定律，D错误．]
3．(多选)下列关于等势面的说法正确的是( )
A．沿电场线方向，电势降低；电势降低的方向就是电场的方向
B．在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功
C．在电场中将电荷由a点移到b点，电场力做功为零，则该电荷一定是在等势面上运动
D．某等势面上各点的场强方向与该等势面垂直
BD [电场线的方向就是电势降低最快的方向，但电势降低的方向不一定沿电场线，等势面上各点的场强方向与等势面垂直，故A错误，D正确．电场力做功为零，说明始末位置的电势差为零，但物体不一定在等势面上移动，故B正确，C错误．]
电场力做功与电势差
1．电场力做功的特点
电场力对电荷所做的功，与重力做功相似，只与电荷的初末位置有关，与电荷经过的路径无关．
2．电场力做功正负的判定
(1)若电场力是恒力，当电场力方向与电荷位移方向夹角为锐角时，电场力做正功；夹角为钝角时，电场力做负功；夹角为直角时，电场力不做功．
(2)根据电场力与瞬时速度方向的夹角判断．此法常用于判断曲线运动中变化电场力的做功情况．夹角是锐角时，电场力做正功；夹角是钝角时，电场力做负功；电场力和瞬时速度方向垂直时，电场力不做功．
(3)若物体只受电场力作用，可根据动能的变化情况判断．根据动能定理，若物体的动能增加，则电场力做正功，电势能减少；若物体的动能减少，则电场力做负功，电势能增加．
3．对电势差的理解
(1)定义式UAB＝，式中UAB为A、B两点间的电势差，WAB为q从初位置A运动到末位置B时电场力做的功，计算时W与U的角标要对应．
(2)决定因素：由电场本身性质决定，与WAB、q无关．
(3)物理意义：反映电场能的性质．
(4)绝对性：电场中两点间的电势差只与两点位置有关．
(5)标矢性：电势差是标量，但有正负，其正负并不表示方向．
【例1】 如图所示，匀强电场的场强E＝1.2×102N/C，方向水平向右，一点电荷q＝4×10－8C沿半径为R＝20
cm的圆周，从A点移动到B点，已知∠AOB＝90°，求：
(1)这一过程电场力做多少功？是正功还是负功？
(2)A、B两点间的电势差UAB为多大？
思路点拨：(1)从A点移动到B点，根据功的定义式求电场力做的功WAB.
(2)利用公式UAB＝求出电势差．
[解析] (1)从A点移动到B点位移大小l＝R，方向与电场力的夹角θ＝135°.
故从A点移动到B点，电场力做功：
WAB＝qEl
cos
θ＝4×10－8×1.2×102××0.2×cos
135°J＝－9.6×10－7J.
(2)由公式UAB＝得A、B两点间的电势差：
UAB＝V＝－24
V.
[答案] (1)9.6×10－7J 负功 (2)－24
V
公式UAB＝中正负号的含义
(1)WAB的正负由q及UAB的乘积决定．WAB>0，电场力做正功；WAB<0，电场力做负功．
(2)UAB的正负由A、B两点的电势决定．UAB>0，φA>φB；UAB<0，φA<φB.
训练角度1.电场力做功的定性分析
1．(多选)一带电粒子射入一正点电荷的电场中，运动轨迹如图所示，粒子从A运动到B，则( )
A．粒子带负电
B．粒子的动能一直变大
C．粒子的加速度先变小后变大
D．粒子在电场中的电势能先变小后变大
AD [根据运动轨迹可知，粒子带负电，粒子的动能先变大后变小，粒子的加速度先变大后变小，选项A正确，B、C错误；粒子在电场中运动，电场力先做正功后做负功，粒子的电势能先变小后变大，选项D正确．]
训练角度2.电势差的大小计算
2．在电场中把一个电荷量为－6×10－8
C的点电荷从A点移到B点，电场力做功为－3×10－5
J，将此电荷从B点移到C点，电场力做功4.5×10－5
J，求A点与C点间的电势差．
[解析] 求解电势差可有两种方法：一种是电场力所做的功与电荷量的比值，另一种是两点电势的差值．
法一 把电荷从A移到C电场力做功
WAC＝WAB＋WBC
＝(－3×10－5＋4.5×10－5)J
＝1.5×10－5
J.
则A、C间的电势差
UAC＝＝
V＝－250
V.
法二 UAB＝＝
V＝500
V.
UBC＝＝
V＝－750
V.
则UAC＝UAB＋UBC＝(500－750)V＝－250
V.
[答案] －250
V
电势与电势差、电势能的区别
1．电势与电势差对比
电势φ
电势差U
区别
定义
电势能与电荷量的比值φA＝
电场力做功与电荷量比值UAB＝
决定因素
由电场和在电场中的位置决定
由电场和场内两点位置决定
相对性
有，与零电势点的选取有关
无，与零电势点的选取无关
联系
数值关系
UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA
单位
相同，均是伏特(V)，常用的还有kV、mV等
标矢性
都是标量，但均具有正负
物理意义
均是描述电场能的性质的物理量
2.电势与电势能的区别与联系
电势φ
电势能Ep
物理意义
反映电场的能的性质的物理量
反映电荷在电场中某点所具有的能量
相关因素
电场中某一点的电势φ的大小，只跟电场本身有关，跟点电荷q无关
电势能的大小是由点电荷q和该点电势φ共同决定的
大小
电势沿电场线逐渐降低，规定零电势点后，某点的电势高于零，则为正值；某点的电势低于零，则为负值
正点电荷(＋q)：电势能的正负跟电势的正负相同；负点电荷(－q)：电势能的正负跟电势的正负相反
单位
伏特(V)
焦耳(J)
联系
φ＝或Ep＝qφ，二者均是标量
【例2】 如图所示为等量点电荷周围的电场线分布图，A、B、O位于两点电荷连线上，其中O为两点电荷连线的中点，C、D是连线的中垂线上的两点．关于各点的电场性质的描述，下列说法正确的是( )
A．A、B、O三点的电势大小相等
B．O、C、D三点的电场强度相等
C．若将带正电的试探电荷q从C点移到B点，电势能减小
D．若将带负电的试探电荷q从A点移到D点，电场力做负功
C [由图可知，A、B、O三点位于同一条电场线上，由于沿电场线的方向电势降低，可知O点的电势最高，A点的电势最低，故A错误；电场线的疏密表示电场强度的大小关系，由图可知，O、C、D三点O点处的电场线最密，则O点的电场强度最大，故B错误；根据等量异种点电荷的电场线的特点可知，在两个点电荷的连线的垂直平分线上各点的电势是相等的，所以O点与C、D两点的电势是相等的，所以C点的电势高于B点的电势，将带正电的试探电荷q从C点移到B点，电场力做正功，电势能减小，故C正确；结合A与C选项的分析可知，D点的电势高于A点的电势，将带负电的试探电荷q从A点移到D点，电场力做正功，故D错误．]
电场强度大小和电势高低的判断方法
(1)电场线越密——电场强度越大．
(2)沿电场线方向——电势越来越低．
(3)电场强度大的地方——电势不一定高．
训练角度1.场强与电势的大小比较
3.如图所示，P、Q是两个电荷量相等的正点电荷，它们连线的中点是O，A、B是中垂线上的两点，OAA．EA一定大于EB
B．EA一定小于EB
C．φA一定等于φB
D．φA一定大于φB
D [两个等量同种电荷连线中点O的电场强度为零，无穷远处电场强度也为零，故从O点沿着中垂线向上到无穷远处电场强度先增大后减小，场强最大的点可能在A、B连线之间，也可能在B点以上，还可能在A点以下，由于A、B两点的间距也不确定，故EA可能大于EB，也可能小于EB，还可能等于EB，故A、B错误；中点以上的中垂线各点电场强度方向竖直向上，故电势越来越低，φA一定大于φB，故C错误，D正确．]
训练角度2.电势及电势能的大小计算
4．有一个带电荷量q＝－3×10－6
C的点电荷，从某电场中的A点移到B点，电荷克服静电力做6×10－4
J的功，从B点移到C点，静电力对电荷做9×10－4
J的功，问：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)若B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
[解析] (1)解法一：先求电势差的绝对值，再判断正、负．
|UAB|＝＝
V＝200
V
因负电荷从A移到B克服静电力做功，必是从高电势点移到低电势点，即φA＞φB，UAB＝200
V.
|UBC|＝＝
V＝300
V
因负电荷从B移到C静电力做正功，必是从低电势点移到高电势点，即φB＜φC，UBC＝－300
V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300
V－200
V＝100
V.
解法二：直接取代数值求．
电荷由A移到B克服静电力做功即静电力做负功，
WAB＝－6×10－4
J
UAB＝＝
V＝200
V
UBC＝＝
V＝－300
V
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300
V－200
V＝100
V.
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB，得φA＝UAB＝200
V
由UBC＝φB－φC，得φC＝φB－UBC＝0－(－300)V＝300
V.
电荷在A点的电势能
EpA＝qφA＝－3×10－6×200
J＝－6×10－4
J
电荷在C点的电势能
EpC＝qφC＝－3×10－6×300
J＝－9×10－4
J.
[答案] 见解析
等势面的理解
1．等势面的特点
(1)等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直．
(2)在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．
(3)电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面．
(4)任意两个等势面都不会相交．
(5)等势面越密的地方电场强度越大，即等差等势面的分布的疏密可以描述电场强弱．
2．几种常见电场的等势面
(1)点电荷电场的等势面是一系列以点电荷为球心的同心球面：如图中虚线所示．
(2)等量异种电荷的电场的等势面，如图，过两点电荷连线中点的垂直平分面是一个等势面．
(3)等量同种正电荷的电场的等势面，如图．
(4)匀强电场的等势面，是与电场线垂直的，间隔相等且相互平行的一簇平面，如图．
3．电场线与等势面的区别与联系
电场线
等势面
物理意义
形象描述电场强度的强弱和方向
形象描述电场中各点电势的高低
图线特点
带箭头的不闭合的曲线，两电场线不相交
可以闭合，也可以不闭合，不同等势面不相交
描述电场
曲线上某一点的切线方向为场强方向，疏密表示场强大小
等势面的垂线方向为场强方向，等差等势面的疏密表示场强大小
做功情况
电荷沿电场线移动时静电力必做功
电荷沿等势面移动时静电力不做功
联系
(1)沿电场线方向电势降低(2)电场线与等势面垂直
【例3】 (多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2
V．一电子经过a时的动能为10
eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6
eV.下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4
eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
思路点拨：(1)匀强电场中间距相等的等势面间的电势差是相等的．
(2)电子的运动方向与等势面不一定垂直．
(3)电子由a到d的过程中克服电场力做功，说明电子所受电场力水平向左．
AB [匀强电场中等势面间距相等，则相邻等势面之间的电势差相等．一电子从a到d的过程中克服电场力所做的功为6
eV，则Uad＝＝＝6
V，故Ubc＝2
V，即φb－φc＝2
V，而φb＝2
V，解得φc＝0，故选项A正确；由于af之间的电势差Uaf＝8
V，一电子经过a时的动能为10
eV，电子运动的方向不确定，则电子可能经过平面f，也可能到达不了平面f，故选项B正确；因为φc＝0，则电子在平面b的电势能EPb＝－2
eV，而Ubd＝4
V，电子从b到d的过程，电场力做功Wbd＝－eUbd＝－4
eV.电子从b到d的过程，Wbd＝EPb－EPd，解得EPd＝2
eV，故选项C错误；Uab＝2
V、Uad＝6
V，电子从a到b的过程根据动能定理有：－eUab＝mv－mv，电子从a到d的过程，根据动能定理有：－eUad＝mv－mv，解得vb＝
vd，故选项D错误．]
等势面的四种应用
(1)由等势面可以判断电场中各点电势的高低及差值．
(2)由等势面可以判断电荷在电场中移动时电场力做功的情况．
(3)由于等势面和电场线垂直，已知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电场的分布情况．
(4)由等差等势面的疏密，可以定性地确定某点场强的大小．
5．如图所示，某电场的等势面用实线表示，各等势面的电势分别为10
V、6
V和－2
V，则UAB＝________，UBC＝________，UCA＝________．
[解析] 由电势差的基本定义可知：因A、B两点在同一个等势面上，故有φA＝φB＝10
V，φC＝－2
V，所以
UAB＝φA－φB＝(10－10)V＝0
B、C间的电势差为
UBC＝φB－φC＝[10－(－2)]
V＝12
V
C、A间的电势差为
UCA＝φC－φA＝(－2－10)V＝－12
V.
[答案] 0 12
V －12
V
[物理观念] 电势能 电势 电势差
[科学思维] 1.通过类比法分析得出静电力做功与电势能变化的关系．
2．能用比值法定义电势差和电势，能根据电场线判断电势高低．
1．下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度大小和方向也相等的是( )
D [匀强电场的等势面是一系列的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强方向不同；D中，a、b两点的电势相等，场强方向是沿连线的，而且大小相同，故本题选D.]
2．关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
B [等势面的特点：两个电势不同的等势面不可能相交，故A错误；电场线与等势面处处相互垂直，故B正确；等
势面的疏密程度表示电场强度的大小，故C错误；电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，负电荷受力与电场线的方向相反，故负电荷受力由电势低的等势面指向电势高的等势面，那么它从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，D错误．]
3．在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75
V，B、C两点间的电势差UBC＝－200
V，则A、B、C三点的电势高低关系为( )
A．φA>φB>φC
B．φA<φC<φB
C．φC>φA>φB
D．φC>φB>φA
C [由UAB＝φA－φB知UAB＝75
V表示φA比φB高75
V，UBC＝－200
V表示φC比φB高200
V，所以三点电势高低为φC>φA>φB，故选C.]
4．(多选)如图所示，a、b、c为电场中同一条电场线上的三点，其中c为a、b的中点．若一个运动的正电荷只在静电力作用下先后经过a、b两点，a、b两点的电势分别为φa＝－3
V，φb＝7
V，则( )
A．a点的场强一定小于b点的场强
B．a点场强有可能等于b点场强
C．正电荷在a点的动能小于在b点的动能
D．正电荷在a点的电势能小于在b点的电势能
BD [沿电场线方向电势降低，由题意知电场线的方向向左，只有一条电场线，无法判断电场线的疏密，就无法判断两点场强的大小，故A错误，B正确；根据正电荷在电势高处电势能大，可知，正电荷从a点运动到b点的过程中克服电场力做功，电势能一定增大，而由能量守恒定律知，其动能一定减小，故C错误，D正确．]
5.如图所示，三条曲线表示三条等势线，其电势φC＝0，φA＝φB＝10
V，φD＝－30
V，将电量q＝1.2×10－6
C的电荷在电场中移动．
(1)把这个电荷从C移到D，电场力做功多少？
(2)把这个电荷从D移到B再移到A，电势能变化多少？
[解析] (1)由于UCD＝0－(－30)V＝30
V，
故WCD＝qUCD＝1.2×10－6×30
J＝3.6×10－5
J.
(2)UDA＝－30
V－10
V＝－40
V
故WDA＝qUDA＝1.2×10－6×(－40)J
＝－4.8×10－5
J
ΔEp＝－WDA＝4.8×10－5
J，电荷的电势能增加．
[答案] (1)3.6×10－5
J (2)增加4.8×10－5
J
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12
-第五节 电场强度与电势差的关系
[学习目标] 1.[物理观念]理解在匀强电场中电势差与电场强度的关系：UAB＝EdAB，并了解其适用条件．(重点) 2.[科学思维]会用U＝Ed或E＝解决有关问题．(重点、难点) 3.[物理观念]知道电场强度另一单位“伏特每米”的物理意义． 4.[科学思维]知道电场线与等势面的关系．(重点)
一、探究场强与电势差的关系
在匀强电场中：
1．电场力做功W与电势差U的关系为W＝qU．
2．电场力做功W与电场力qE的关系为W＝qEd．
3．电场强度与电势差的关系E＝．
二、电场线与等势面的关系
1．由WAB＝qUAB可知，在同一等势面上移动电荷时因UAB＝0，所以电场力不做功，电场力的方向与电荷移动的方向垂直．
2．电场线与等势面的关系
(1)电场线与等势面垂直．
(2)沿电场线方向各等势面上的电势减小，逆着电场线方向各等势面上的电势增大．
(3)电场线密的区域等势面密，电场线疏的区域等势面疏．
1．正误判断
(1)在公式E＝中d是沿电场线方向的距离．
(√)
(2)W＝qU仅用于匀强电场．
(×)
(3)等势面上各点的电场强度也是相同的．
(×)
(4)点电荷电场中的等势面，是以点电荷为球心的半径不同的同心球面．
(√)
(5)等量异种电荷连线的中垂线一定是等势线．
(√)
2．对公式E＝的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差
B．a点和b点距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中d是指a点和b点之间的距离
D．公式中的d是匀强电场中a、b两个等势面间的垂直距离
D [公式E＝只适用于匀强电场，故A错；E不变时，沿电场线方向的距离d越大，Uab越大，B错误；d为沿电场线方向上两点的距离，C错误，D正确．]
3．(多选)场强为E＝1.0×102
V/m的匀强电场中，有相距2.0×10－2
m的a、b两点，则a、b两点间的电势差可能为( )
A．1.0
V
B．2.0
V
C．3.0
V
D．4.0
V
AB [由U＝Ed可知a、b两点在一条电场线上时，d最大，U最大，代入数值可知U最大值为2.0
V，A、B可能，C、D不可能．]
对公式U＝Ed或E＝U/d的理解和应用
1．电场强度与电势差的关系
(1)大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢，反映了电场强度的大小．
(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．
2．U＝Ed的两个推论
(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势下降都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等．如果把某两点间的距离分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的.
(2)在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点的电势差相等．
3．非匀强电场中场强的分析
(1)在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由E＝可以得出结论：在等差等势面中，等势面越密的地方场强就越大，如图甲所示．
(2)如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于不知电场的性质，所以电势差Uab与Ubc的大小不能确定．
甲 乙
【例1】 如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0
V，点A处的电势为6
V，点B处的电势为3
V，则电场强度的大小为( )
A．200
V/m
B．200
V/m
C．100
V/m
D．100
V/m
思路点拨：
→→→
A [x轴上OA的中点C的电势为3
V，则BC的连线为等势线，如图所示．电场的方向与等势线垂直，且由电势高处指向电势低处，设∠OCB＝θ，则tan
θ＝，所以θ＝30°，O点到BC的距离为d＝sin
θ＝1.5
cm，所以E＝＝V/m＝200
V/m，故选项A正确．]
等分法分析匀强电场电场强度的步骤
(1)确定所给点中电势最高和最低点，用直线将两点连接；
(2)根据第三点的电势值，将(1)中的直线平分为等距离的n段；
(3)找到直线上与第三点电势相同的第四点，连接第三、第四点所得直线为等势线；
(4)作出垂直于等势线的直线，并根据电势的降低方向在新作直线上加上箭头就作出电场线；也可根据E＝求解电场强度大小．
训练角度1.U＝Ed用于非匀强电场
1．如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50
V，φc＝20
V，则a、c连线中点b的电势φb( )
A．等于35
V
B．大于35
V
C．小于35
V
D．等于15
V
C [从电场线疏密可以看出ab段场强大于bc段场强，由U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb＜＝35
V，故C正确．]
训练角度2.E＝用于匀强电场
2.(多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10
cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1
V、2
V、3
V，正六边形所在平面与电场线平行．下列说法正确的是( )
A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的场强大小为10
V/m
C．匀强电场的场强方向为由C指向A
D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19
J
ACD [AC的中点电势为2
V，所以BE为等势线，CD、AF同为等势线，故A正确；CA为电场线方向，场强大小E＝＝
V/m＝
V/m，故B错误，C正确；UED＝UBC＝－1
V，WED＝－eUED＝1.6×10－19
J，故D正确．]
电场强度的三个表达式的比较
区别公式
物理含义
引入过程
适用范围
说明
E＝
电场强度大小的定义式
E与F、q无关，是反映某点电场的性质
一切电场
q为试探电荷的电荷量
E＝k
真空中点电荷场强的决定式
由E＝和库仑定律导出
在真空中，场源电荷Q是点电荷
Q为场源电荷的电荷量
E＝
匀强电场中电场强度与电势差的关系
由F＝qE和W＝qU导出
匀强电场
d为沿电场方向的距离
【例2】 如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5
cm，电势差为25
V，在电场中P点固定放置电量为5×10－9C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的( )
A．上方30
cm
B．下方30
cm
C．上方25
cm
D．下方25
cm
思路点拨：(1)根据条件，匀强电场的场强用E＝求，点电荷的电场强度用E＝k求．
(2)某点的场强为零，即合场强为零．
B [匀强电场的场强E＝＝
V/m＝500
V/m，设距P点L处的合场强为零，则k＝9×109×V/m＝500
V/m，故L＝0.3
m，负点电荷在距P点L处的电场竖直向上，该点在电场中P点的下方，B正确．]
3．如图所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上做一个半径为10
cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1
350
V，静电力常量k＝9×109
N·m2/C2.
(1)求匀强电场的场强大小；
(2)若在圆心O处放置电荷量为10－8
C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向．(结果保留三位有效数字)
[解析] (1)由题图知A、B两点在匀强电场方向上的距离d＝r＋＝0.15
m，则
匀强电场场强E＝＝9
000
V/m.
(2)设正点电荷在C处产生的电场强度为E1，则
E1＝＝9×103
N/C，方向由O指向C.
C处另有匀强电场，场强E＝9×103
N/C，方向水平向右，与E1垂直，根据平行四边形定则，C处合电场的场强为E′＝eq
\r(E＋E2)≈1.27×104
N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上．
[答案] (1)9
000
V/m (2)1.27×104
N/C，方向与水平方向成45°角斜向右上
[物理观念] 电势差与电场强度的关系
[科学思维] 1.会推导关系式U＝Ed，能利用关系式U＝Ed分析非匀强电场相关问题．
2．对比有关电场强度的三个表达式及适用条件，并在具体问题中准确选用公式解决有关问题．
3．知道电场线和等势面都是对电场的形象描述，会根据电场线和等势面的规律分析带电粒子或带电体的运动．
1．下列说法正确的是( )
A．根据E＝，可知电场中某点的场强与电场力成正比
B．根据E＝，可知点电荷在电场中某点产生的场强与该点电荷的电量Q成正比
C．根据场强叠加原理，可知合电场的场强一定大于分电场的场强
D．根据U＝Ed，可知同一匀强电场中两个点的距离越远，它们之间的电势差越大
B [电场中某点的场强由电场自身决定，与F或q无关，A错；点电荷在某点产生的场强大小与场源电荷量成正比，与该点到场源电荷的距离的二次方成反比，B对；合电场的场强可能比分电场的场强大，也可能小于分电场的场强，或与分电场的场强大小相等，C错；在匀强电场中，若沿电场线方向上两点间的距离越远，则它们间的电势差就一定越大，在不同方向上该关系不成立，D错．]
2．如图所示，沿x轴正向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正向(E方向)成θ角(θ<)，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为( )
A．U＝Er
B．U＝Er(sin
θ＋1)
C．U＝Er(cos
θ＋1)
D．U＝2Er
C [由U＝Ed知，与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋r
cos
θ，所以Umax＝Er(cos
θ＋1)，C项正确．]
3．如图所示是某电场中的三条电场线，C点是A、B连线的中点．已知A点的电势是φA＝30
V，B点的电势φB＝－20
V，则下列说法正确的是( )
A．C点的电势φC＝5
V
B．C点的电势φC＞5
V
C．C点的电势φC＜5
V
D．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
C [由题图看出，AC段电场线比CB段电场线密，则AC段场强较大，根据公式U＝Ed可知，AC间电势差UAC大于CB间电势差UCB，所以
φC＜＝5
V，故C正确，A、B错误；而负电荷在电势低处电势能较大，故D错误．]
4.电子的电荷量为e，质量为m，以速度v0沿电场线方向射入到场强为E的匀强电场中，如图所示，电子从A点射入，到B点速度变为零．
(1)A、B两点间的电势差是多大？
(2)A、B两点间的距离是多少？
[解析] (1)由已知得全过程只有电场力做功，由动能定理得eUAB＝0－mv，UAB＝－eq
\f(mv,2e).
(2)由U＝Ed，得d＝＝－eq
\f(mv,2eE).
[答案] (1)－eq
\f(mv,2e) (2)－eq
\f(mv,2eE)
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7
-第六节 示波器的奥秘
[学习目标] 1.[科学思维]掌握带电粒子在电场中的加速、偏转规律并分析其加速度、速度和位移等物理量的变化．(重点) 2.[科学思维]掌握带电粒子在电场中加速、偏转时的能量转化．(重点、难点) 3.[科学态度与责任]了解示波器的工作原理，体会静电场知识对科学技术的影响．
一、带电粒子的加速
1．基本粒子的受力特点：对于质量很小的基本粒子，如电子、质子等，虽然它们也会受到万有引力(重力)的作用，但万有引力(重力)一般远小于静电力，可以忽略．
2．带电粒子加速问题的处理方法：利用动能定理分析．
初速度为零的带电粒子，经过电势差为U的电场加速后，qU＝mv2，则v＝．
二、带电粒子的偏转(垂直进入匀强电场)
1．运动特点
(1)垂直电场方向：不受力，做匀速直线运动．
(2)沿着电场方向：受恒定的电场力，做初速度为零的匀加速直线运动．
2．运动规律
三、示波器探秘
1．构造
示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由一对X偏转电极板和一对Y偏转电极板组成)和荧光屏组成，如图所示．
2．原理
(1)扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压．
(2)灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如在Y偏转板上加一个信号电压，在X偏转板上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按Y偏转电压规律变化的可视图象．
1．正误判断
(1)带电粒子在电场中加速时，不满足能量守恒．
(×)
(2)带电粒子在匀强电场中一定做类平抛运动．
(×)
(3)带电粒子在匀强电场中偏转时，粒子做匀变速曲线运动．
(√)
(4)示波器是带电粒子加速和偏转的综合应用．
(√)
(5)电视机光屏越大，则偏转电压对应也较大．
(√)
2．下列粒子从初速度为零的状态经过电压为U的电场加速后，粒子速度最大的是( )
A．质子
B．氘核
C．氦核
D．钠离子
A [由动能定理得qU＝mv2，v＝
，所以比荷大的速度大，A正确．]
3．(多选)示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示．如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的( )
A．极板X应带正电
B．极板X′应带正电
C．极板Y应带正电
D．极板Y′应带正电
AC [由题意电子偏到XOY的区域，则在偏转电极YY′上应向右上运动，故Y板带正电，C正确，D错误；在偏转电极XX′上应向右运动，故X板带正电，A正确，B错误．]
带电粒子在电场中的加速运动
1．关于带电粒子在电场中的重力
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或有明确的暗示以外，此类粒子一般不考虑重力(但并不忽略质量).
(2)带电微粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力．
2．问题处理的方法和思路
(1)分析方法和力学的分析方法基本相同：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速、减速；直线还是曲线)，然后选用恰当的规律解题．
(2)解决这类问题的基本思路是：
①用运动和力的观点：牛顿定律和运动学知识求解；
②用能量转化的观点：动能定理和功能关系求解．
3．应用动能定理处理这类问题的思路(粒子只受电场力)
(1)若带电粒子的初速度为零，则它的末动能mv2＝qU，末速度v＝.
(2)若粒子的初速度为v0，则mv2－mv＝qU，末速度v＝eq
\r(v＋\f(2qU,m)).
【例1】 (多选)如图所示为示波管中电子枪的原理示意图，示波管内被抽成真空．A为发射电子的阴极，K为接在高电势点的加速阳极，A、K间电压为U，电子离开阴极时的速度可以忽略，电子经加速后从K的小孔中射出时的速度大小为v.下面的说法中正确的是( )
A.
如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度仍为v
B．如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度变为v/2
C．如果A、K间距离不变而电压减半，则电子离开K时的速度变为v
D．如果A、K间距离不变而电压减半，则电子离开K时的速度变为v/2
AC [根据动能定理得eU＝mv2，得v＝可知，v与A、K间距离无关，则若A、K间距离减半而电压仍为U不变，则电子离开K时的速度仍为v，故A正确，B错误；根据v＝可知电压减半时，则电子离开K时的速度变为v，故C正确，D错误．]
处理加速问题的分析方法
(1)若粒子在匀强电场中加速，根据带电粒子所受的力，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等．
(2)若粒子在非匀强电场中加速，一般应用动能定理来处理问题，若带电粒子只受电场力作用：
①若带电粒子的初速度为零，则它的末动能mv2＝qU，末速度v＝
.
②若粒子的初速度为v0，则qU＝mv2－mv，末速度v＝
eq
\r(v＋\f(2qU,m)).
1.如图所示，M和N是匀强电场中的两个等势面，相距为d，电势差为U，一质量为m(不计重力)、电荷量为－q的粒子，以速度v0通过等势面M射入两等势面之间，则该粒子穿过等势面N的速度应是( )
A．
B．v0＋
C．eq
\r(v＋\f(2qU,m))
D．eq
\r(v－\f(2qU,m))
C [由动能定理得qU＝mv2－mv，解得v＝eq
\r(v＋\f(2qU,m))，选项C正确．]
带电粒子在匀强电场中的偏转问题
1．基本规律
(1)初速度方向
(2)电场线方向eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(速度：vy＝at＝\f(qU,md)·\f(l,v0),位移：y＝\f(1,2)at2＝\f(1,2)·\f(qU,md)·\f(l2,v)))
(3)离开电场时的偏转角：tan
α＝＝eq
\f(qUl,mdv)
(4)离开电场时位移与初速度方向的夹角：tan
β＝＝eq
\f(qUl,2mvd).
2．几个常用推论
(1)tan
α＝2tan
β.
(2)粒子从偏转电场中射出时，其速度反向延长线与初速度方向延长线交于沿初速度方向分位移的中点．
(3)以相同的初速度进入同一个偏转电场的带电粒子，不论m、q是否相同，只要相同，即荷质比相同，则偏转距离y和偏转角α相同．
(4)若以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场，只要q相同，不论m是否相同，则偏转距离y和偏转角α相同．
(5)不同的带电粒子经同一加速电场加速后(即加速电压相同)，进入同一偏转电场，则偏转距离y和偏转角α相同.
【例2】 一束电子流经U1＝5
000
V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示，两极板间电压U2＝400
V，两极板间距d＝2.0
cm，板长L1＝5.0
cm.
(1)求电子在两极板间穿过时的偏移量y；
(2)若平行板的右边缘与屏的距离L2＝5
cm，求电子打在屏上的位置与中心O的距离Y(O点位于平行板水平中线的延长线上)；
(3)若另一个质量为m(不计重力)的二价负离子经同一电压U1加速，再经同一偏转电场，射出偏转电场的偏移量y′和打在屏上的偏移量Y′各是多大？
思路点拨：(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动．
(2)带电粒子在右侧虚线的右侧做匀速直线运动．
(3)粒子在水平方向的速度始终为v0.
[解析] (1)加速过程，由动能定理得eU1＝mv
①
进入偏转电场，电子在平行于极板的方向上做匀速运动，
L1＝v0t
②
在垂直于极板的方向上做匀加速直线运动，加速度为
a＝＝
③
偏移距离y＝at2
④
由①②③④得y＝eq
\f(U2L,4dU1)
代入数据得y＝0.25
cm.
(2)如图，由几何关系知，
＝得Y＝()y
代入数据得Y＝0.75
cm.
(3)因y＝eq
\f(U2L,4dU1)，Y＝()y，与粒子的质量m和电荷量q无关，故二价负离子经同样装置后，y′＝y＝0.25
cm，Y′＝Y＝0.75
cm.
[答案] (1)0.25
cm (2)0.75
cm (3)0.25
cm 0.75
cm
计算粒子打到屏上的位置离屏中心的距离Y的四种方法
(1)Y＝y＋d
tan
θ(d为屏到偏转电场的水平距离).
(2)Y＝tan
θ(L为电场宽度).
(3)Y＝y＋vy·.
(4)根据三角形相似：＝.
训练角度1.不同粒子的偏转比较
2．如图所示，带电荷量之比为qA∶qB＝1∶3的带电粒子A、B，先后以相同的速度从同一点水平射入平行板电容器中，不计重力，带电粒子偏转后打在同一极板上，水平飞行距离之比为xA∶xB＝2∶1，则带电粒子的质量之比mA∶mB以及在电场中飞行的时间之比tA∶tB分别为( )
A．1∶1，2∶3
B．2∶1，3∶2
C．1∶1，3∶4
D．4∶3，2∶1
D [粒子在水平方向上做匀速直线运动x＝v0t，由于初速度相同，xA∶xB＝2∶1，所以tA∶tB＝2∶1，竖直方向上粒子做匀加速直线运动y＝at2，且yA＝yB，故aA∶aB＝t∶t＝1∶4.而ma＝qE，m＝，＝·＝×＝.综上所述，D项正确．]
训练角度2.偏转角的计算
3．先后让一束电子和一束氢核通过同一对平行板形成的偏转电场，进入时速度方向与板面平行，在下列两种情况下，分别求出离开时电子偏角的正切与氢核偏角的正切之比．
(1)电子与氢核的初速度相同；
(2)电子与氢核的初动能相同．
[解析] 偏转电压为U，带电粒子的电荷量为q，质量为m，垂直进入偏转电场的速度为v0，偏转电场两极间距离为d，极板长为l，则粒子在偏转电场中的加速度a＝，在偏转电场中运动的时间为t＝，粒子离开偏转电场时沿静电力方向的速度vy＝at＝，粒子离开偏转电场时速度方向的偏转角的正切值tan
θ＝＝eq
\f(qUl,dmv).
(1)若电子与氢核的初速度相同，则＝.
(2)若电子与氢核的初动能相同，则＝1.
[答案] 见解析
训练角度3.带电粒子先加速再偏转
4．如果质子经一加速电压加速(U＝5
000
V)，如图所示，从中间位置垂直进入一匀强电场(d＝1.0
cm，l＝5.0
cm)，偏转电压U′＝400
V．质子能飞出电场吗？如果能，偏移量是多大？
[解析] 在加速电场：qU＝mv
①
在偏转电场：l＝v0t
②
a＝＝
③
偏移量y＝at2
④
由①②③④得：y＝
上式说明y与q、m无关，
解得y＝0.5
cm＝
即质子恰好从板的右边缘飞出．
[答案] 能 0.5
cm
带电粒子在交变电场中的运动
【例3】 如图所示，在金属板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压U0，其周期是T.现有电子以平行于金属板的速度v0从两板中央射入．已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，求：
甲 乙
(1)若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于金属板飞出，则金属板至少多长？
(2)若电子从t＝0时刻射入，在t＝T时刻恰好能从A板的边缘飞出，则两极板间距多远？
[解析] (1)电子在水平方向上做匀速直线运动，恰能平行的飞出电场，说明电子在竖直方向上的速度恰好为零，故所用时间应为t＝nT.
当n＝1时，金属板长度最小，为Lmin＝v0T.
(2)电子恰能从A板的边缘飞出，则y＝
在竖直方向上，电子经历的过程为初速度为零的匀加速直线运动，然后减速到零，最后再经历初速度为零的匀加速直线运动，三个阶段的时间都为，
所以由＝3××，解得d＝＝.
[答案] (1)Lmin＝v0T (2)d＝＝
(1)当空间存在交变电场时，粒子所受电场力方向将随着电场方向的改变而改变，粒子的运动性质也具有周期性．
(2)研究带电粒子在交变电场中的运动需要分段研究，并辅以v?t图象．特别注意带电粒子进入交变电场时的时刻及交变电场的周期．
训练角度1.带电粒子在交变电场中的直线运动
5．(多选)如图所示为匀强电场的电场强度E随时间t变化的图象．当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是( )
A．带电粒子将始终向同一个方向运动
B．2
s末带电粒子回到原出发点
C．3
s末带电粒子的速度为零
D．0～3
s内，电场力做的总功为零
CD [设第1
s内粒子的加速度为a1，第2
s内的加速度为a2，由a＝可知，a2＝2a1，可见，粒子第1
s内向负方向运动，1.5
s末粒子的速度为零，然后向正方向运动，至3
s末回到原出发点，粒子的速度为0，v?t图象如图所示，由动能定理可知，此过程中电场力做的总功为零，综上所述，可知C、D正确．]
训练角度2.带电粒子在交变电场中的偏转
6．如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距离均为L＝10
cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10
cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图象如图乙所示．(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的)求：
甲 乙
(1)在t＝0.06
s时刻，电子打在荧光屏上的何处．
(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长？
[解析] (1)电子经电场加速满足qU0＝mv2
经电场偏转后侧移量
y＝at2＝·
所以y＝，由图知t＝0.06
s时刻U偏＝1.8U0，
所以y＝4.5
cm
设打在屏上的点距O点的距离为Y，满足＝
所以Y＝13.5
cm.
(2)由题知电子侧移量y的最大值为，所以当偏转电压超过2U0，电子就打不到荧光屏上了，所以荧光屏上电子能打到的区间长为3L＝30
cm.
[答案] (1)打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5
cm
(2)30
cm
[物理观念] 带电粒子在电场中只受电场力作用时的运动情况 示波管的主要构造和工作原理
[科学思维] 能综合运用力学和电学的知识分析、解决带电粒子在电场中的两种典型运动模型．
1.(多选)一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左．不计空气阻力，则小球( )
A．做直线运动
B．做曲线运动
C．速率先减小后增大
D．速率先增大后减小
BC [由题意知，小球受重力、电场力作用，合外力的方向与初速度的方向夹角为钝角，故小球做曲线运动，所以A项错误，B项正确；在运动的过程中合外力先做负功后做正功，所以C项正确，D项错误．]
2．(多选)如图所示，电子由静止开始从A板向B板运动，当到达B极板时速度为v，保持两板间电压不变，则( )
A．当增大两板间距离时，v增大
B．当减小两板间距离时，v增大
C．当改变两板间距离时，v不变
D．当增大两板间距离时，电子在两板间运动的时间也增大
CD [根据动能定理研究电子由静止开始从A板向B板运动列出等式eU＝mv2，得v＝
所以当改变两板间距离时，v不变，故A、B错误，C正确；由于两极板之间的电压不变，所以极板之间的场强为
E＝，电子的加速度为a＝＝，
电子在电场中一直做匀加速直线运动，
由d＝at2＝
t2，得电子加速的时间为t＝d
由此可见，当增大两板间距离时，电子在两板间的运动时间增大，故D正确．]
3．示波管可以用来观察电信号随时间的情况，其内部结构如图所示，如果在电极YY′之间加上如图(a)所示的电压，在XX′之间加上如图(b)所示电压，荧光屏上会出现的波形是( )
C [电极YY′之间加上图(a)所示的电压，则粒子的偏转位移在上下进行变化，而在XX′之间加上图(b)所示电压时，粒子将分别打在左右各一个固定的位置，因此只能打出图C所示的图象，故C正确，A、B、D错误．]
4．如图所示，两个板长均为L的平板电极，平行正对放置，两极板相距为d，极板之间的电势差为U，板间电场可以认为是匀强电场．一个带电粒子(质量为m，电荷量为＋q)从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两极板之间，到达负极板时恰好落在极板边缘．忽略重力和空气阻力的影响．求：
(1)极板间的电场强度E的大小．
(2)该粒子的初速度v0的大小．
(3)该粒子落到下极板时的末动能Ek的大小．
[解析] (1)两极板间的电压为U，两极板的距离为d，所以电场强度大小为E＝.
(2)带电粒子在极板间做类平抛运动，在水平方向上有L＝v0t
在竖直方向上有d＝at2
根据牛顿第二定律可得：a＝，而F＝Eq
所以a＝
解得：v0＝.
(3)根据动能定理可得Uq＝Ek－mv
解得Ek＝Uq.
[答案] (1) (2) (3)Uq
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13
-第七节
了解电容器
第八节
静电与新技术
[学习目标] 1.[物理观念]知道电容器的概念，认识常见的电容器，了解电容器的充、放电现象．(重点) 2.[科学思维]理解电容的定义式并能进行有关计算．(重点) 3.[科学思维]知道平行板电容器的决定因素，并会分析、解决平行板电容器的两类问题．(重点、难点) 4.[科学态度与责任]了解静电现象，关注生活、生产中的静电现象，知道静电在技术上的应用及防止静电危害的方法．
一、电容器和电容
1．电容器：由两个相互靠近，彼此绝缘的导体组成，其间可以填充绝缘物质．
2．电容器的充、放电
过程
充电过程
放电过程
过程示意
电荷运动
正电荷向A板移动，负电荷向B板移动
正电荷由A板移向B板(或负电荷由B板移向A板)
电流方向
顺时针
逆时针
定义及能量的转化
是使两个极板带上等量异种电荷的过程；从电源获得能量
储存在电场中
是使两个极板上电荷中和的过程；电场能转化为其他形式的能
联系
两个过程互逆，电容器的电量、能量变化趋势相反
3.电容器的电容
(1)定义：Q与U的比值，公式为C＝．
(2)物理意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量．
(3)单位：1
F＝106μ
F＝1012pF.
二、决定电容的因素
1．实验探究
由于平行板电容器的电容与多种因素有关，故可以采取控制变量法探究．
2．平行板电容器的电容
(1)平行板电容器的电容与两极板的正对面积成正比，与两极板间的距离成反比，并跟板间插入的电介质有关．
(2)公式：C＝．
3．电容器的两个性能指标
(1)一个是它的电容量．
(2)另一个是它的耐压能力，耐压值表示电容器正常使用时两个电极间所能承受的最大电压．
三、静电与新技术
1．静电在技术上的应用
(1)静电在技术上有许多应用，比如激光打印、喷墨打印、静电除尘、静电喷涂、静电植绒、静电复印等．
(2)静电除尘
结构：将高压电源的正极接在金属圆筒上，负极接到悬挂在管心的金属线上．
原理：正、负极间有很强的电场，使气体分子电离为电子和正离子．电子附着在空气中的尘埃上向着圆筒运动而积累到金属圆筒上，尘埃积累到一定程度而落入下面的漏斗中．
2．静电的防护：有些工厂的车间里空气保持适当的湿度，油罐车车尾装有一条拖在地上的铁链等．
1．正误判断
(1)电容器是储存电荷和电场能的元件．
(√)
(2)电容器的电容与电量成正比，与电压成反比．
(×)
(3)研究电容器电容的实验，采用的是控制变量法．
(√)
(4)家用电器接地线是防静电．
(×)
(5)静电除尘的原理是让灰尘带上电荷，然后在电场力的作用下奔向并吸附到异性电极上．
(√)
2．下列属于静电应用的是( )
A．油罐车后面装一条拖地的铁链
B．汽修作业中的静电喷漆
C．飞机轮上装搭地线
D．印刷车间中保持适当的湿度
B [油罐车在运输过程中，不断的相互摩擦，从而产生大量的静电，通过后面装一条拖地的铁链，及时导走，这是防止静电危害，故A错误；汽修作业中的静电喷漆是利用静电，故B正确；飞机在飞行时，与空气摩擦产生大量的静电，所以着落时通过飞机轮上装搭地线，将静电导走，这是防止静电，故C错误；印刷车间中，纸张间摩擦产生大量静电，由于有一定的湿度，能及时导走静电，也是防止静电，故D错误；故选B.]
3．(多选)对于给定的电容器，描述其电容C、电荷量Q、电压U之间的相应关系的图象正确的是( )
BC [对于一个给定的电容器，电容是确定的，不会随电荷量、电压的改变而改变；由电容的定义式可以知道，电荷量跟电容器两端的电压成正比，因而是过坐标原点的一条直线．]
对电容器、电容的理解
1．电容器是一个仪器，而电容是一个物理量，电容表征了电容器容纳电荷的本领，其数值等于使两极板间的电势差为1
V时电容器需要带的电荷量．
2．电容由电容器本身的构造决定，与Q、U无关．由公式C＝知，影响电容器电容大小的因素是电介质的相对介电常数εr、电容器两极板的正对面积S和两极板间的距离d.
3．C＝与C＝的比较
C＝是电容的定义式，对某一电容器来说，Q∝U但C＝不变，反映电容器容纳电荷本领的大小；
C＝是电容器电容的决定式，C∝εr，C∝S，C∝，反映了影响电容大小的因素．
【例1】 有一充电的电容器，两板间的电压为3
V，所带电荷量为4.5×10－4
C，此电容器的电容是多少？将电容器的电压降为2
V，电容器的电容是多少？所带电荷量变化多少？
[解析] 由C＝得C＝
F＝1.5×10－4
F
电容器电压降为2
V，电容不变，仍为1.5×10－4
F
此时带电荷量为
Q′＝CU′＝1.5×10－4×2
C＝3×10－4
C
带电荷量减小
ΔQ＝Q－Q′＝1.5×10－4
C.
[答案] 1.5×10－4
F 1.5×10－4
F 减小1.5×10－4
C
求解电容器的电容的两点注意
(1)电容器的电容可以根据C＝或C＝求出，但电容器的电容是电容器的属性，与电容器所带电荷量Q以及两极板间的电压U均无关．
(2)定义式的推广式C＝，在电压U变化问题中求电容更快捷．
训练角度1.对电容定义式的理解
1．关于电容器的电容，下列说法正确的是( )
A．电容器不带电时，其电容为零
B．电容器带电荷量越多，其电容越大
C．电容器两极板间电压越低，其电容越小
D．电容器的电容只由它本身的性质决定
D [公式C＝是电容器电容的定义式，电容器的电容与U和Q均无关，只由它本身的性质决定，选项D正确．]
训练角度2.C＝和C＝的比较
2．板间距为d的平行板电容器所带电荷量为Q时，两极板间电势差为U1，板间场强为E1，现将电容器所带电荷量变为2Q，板间距变为d，其他条件不变，这时两极板间电势差为U2，板间场强为E2，下列说法正确的是( )
A．U2＝U1，E2＝E1
B．U2＝2U1，E2＝4E1
C．U2＝U1，E2＝2E1
D．U2＝2U1，E2＝2E1
C [当平行板电容器的其他条件不变，板间距离变为d时，电容器的电容为C′＝＝2C，又知电容器的带电量变为2Q，则得知U2＝，即U2＝U1.根据匀强电场中电势差与场强之间的关系式E＝得E2＝＝2E1，因此选项C正确，其他选项都错误．]
关于平行板电容器的动态分析
1．平行板电容器动态问题的分析方法
抓住不变量，分析变化量，紧抓三个公式：
C＝、E＝和C＝
2．平行板电容器的两类典型问题
(1)平行板电容器始终连接在电源两端：电势差U不变．
由C＝∝可知C随d、S、εr的变化而变化．
由Q＝UC＝U·，可知，当U不变时，Q也随d、S、εr的变化而变化．
由E＝∝可知，当U不变时，E随d的变化而变化．
(2)平行板电容器充电后，切断与电源的连接：电荷量Q保持不变．由C＝∝可知C随d、S、εr的变化而变化．
由U＝＝∝可知，当Q不变时，U也随d、S、εr的变化而变化．
由E＝＝＝∝可知，E随S、εr的变化而变化，而与d无关．
【例2】 如图所示，A、B为两块竖直放置的平行金属板，G是静电计，开关S闭合后，静电计指针张开一定角度．下述做法可使静电计指针张角增大的是( )
A．使A板向左平移以增大板间距离
B．在A、B两板之间插入一块陶瓷板
C．断开S后，使B板向左平移以减小板间距离
D．断开S后，使B板向上平移以减小极板正对面积
D [开关S闭合，电容器两端的电势差不变，则指针的张角不变，故A、B错误．断开S，电容器所带的电量不变，当B板向左平移减小板间距，根据平行板电容器的表达式可知电容增大，根据U＝知，电势差减小，则指针张角减小，故C错误．断开S，电容器所带的电量不变，使B板向上平移减小正对面积，电容减小，根据U＝知，电势差增大，则指针张角增大，故D正确．]
分析电容器动态变化问题的三个步骤
(1)明确电容器与电源的连接情况，从而确定是电压不变还是电荷量不变．
(2)由C＝，根据εr、S、d的变化确定C的变化．
(3)由C＝确定Q或U的变化，根据E＝＝判断E的变化．
3．(多选)如图所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，电容器已带电，则下列判断正确的是( )
A．增大两极板间的距离，静电计指针张角变大
B．将A板稍微上移，静电计指针张角变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若减小两板间的距离，则静电计指针张角变小
ABD [电势差U变大(小)，指针张角变大(小).电容器所带电荷量一定，由公式C＝知，当d变大时，C变小，再由C＝得U变大；当A板上移时，正对面积S变小，C也变小，U变大；当插入玻璃板时，C变大，U变小；当两板间的距离减小时，C变大，U变小，所以选项A、B、D正确．]
静电现象的应用
1．应用静电现象的基本原理一般是让带电的物质微粒在电场力作用下奔向并吸附到异性电极或带电体上，理解这一原理是解决这类问题的关键．
2．强电场电离空气后，电子在电场力作用下向高电势运动，从而使微粒吸附电子而带负电．
4.(多选)如图为静电除尘器除尘机原理的示意图．尘埃在电场中通过某种机制带电，在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘的目的．下列表述正确的是( )
A．到达集尘极的尘埃带正电荷
B．电场方向由集尘极指向放电极
C．带电尘埃所受电场力的方向与电场方向相同
D．同一位置带电荷量越多的尘埃所受电场力越大
BD [集尘极与电源的正极相连带正电，放电极带负电，尘埃在电场力作用下向集尘极迁移，说明尘埃带负电荷，A项错误；电场方向由集尘极指向放电极，B项正确；带电尘埃带负电，因此所受电场力方向与电场方向相反，C项错误；同一位置电场强度一定，由F＝qE可知，尘埃电荷量越多，所受电场力越大，D项正确．]
[物理观念] 电容器 平行板电容器 静电的危害及防止
[科学探究] 1.会正确连接电路，认真观察电容器的充放电过程．
2．通过探究得出平行板电容器电容的影响因素．
[科学思维] 1.通过类比建立电容的概念；通过电容的定义进一步体会比值定义法．
2．结合具体问题构建电容器动态分析模型．
1．(多选)下列关于电容器和电容的说法中，正确的是( )
A．根据C＝可知，电容器的电容与其所带电荷量成正比，跟两板间的电压成反比
B．对于确定的电容器，其所带电荷量与两板间的电压成正比
C．无论电容器的电压如何变化(小于击穿电压且不为零)，它所带的电荷量与电压的比值都恒定不变
D．电容器的电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，其大小与加在两板间的电压无关
BCD [电容器的电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，是电容器的一种特性．一个电容器对应唯一的电容值，不能说电容器的电容与其所带电荷量成正比，与两极板间的电压成反比，因此A错误，C、D正确；由于电容是定值，由Q＝CU知，其所带电荷量与两板间的电压成正比，故B正确．]
2．一个已充电的电容器，若使它的电荷量减少3×10－4
C，则其电压减小为原来的，则( )
A．电容器原来的带电荷量为9×10－4
C
B．电容器原来的带电荷量为4.5×10－4
C
C．电容器原来的电压为1
V
D．电容器的电容变为原来的
B [由题意知C＝＝，解得Q＝4.5×10－4
C，故B正确，A错误；因电容器的电容未知，所以无法求出电容器原来的电压，C错误；电容是由电容器本身决定，跟电压和电荷量的变化无关，所以电容器的电容不变，D错误．]
3.由于人们行走时鞋子和地板摩擦产生静电，带电的离子会在地板表面对空气中的灰尘产生吸引，对于电脑机房、电子厂等单位会造成一定的影响，防静电地板又叫做耗散静电地板(如图所示)，当它接地或连接到任何较低电势点时，使电荷能够耗散，地板在施工中，地板下面要铺设铝箔，铝箔要连接到地下预埋导体，下列关于防静电地板的说法正确的是( )
A．地板下面要铺设铝箔的作用是防潮
B．地板必须是绝缘体材料
C．地板必须是导电的，如地板中含有导电纤维
D．只要地板下面铺设铝箔，地板材料无所谓绝缘体或导体
C [在该情景中，地板在施工中，地板下面要铺设铝箔，铝箔要连接到地下预埋导体就是要将地板上的静电导走，所以防静电地板必须是导电的，如地板中含有导电纤维，这样才能将静电通过地板下面铺设的铝箔导走，故选项C正确，A、B、D错误．]
4．如图所示，一带电油滴悬浮在平行板电容器两极板A、B之间的P点，处于静止状态．现将极板A向下平移一小段距离，但仍在P点上方，其他条件不变．下列说法中正确的是( )
A．液滴将向下运动
B．液滴将向上运动
C．电容器电容减小
D．极板带电荷量将减小
B [将极板A向下平移一小段距离，电容器与电源相连，极板间的电压保持不变，根据E＝分析得知，板间场强增大，油滴所受电场力增大，油滴将向上运动，故A错误，B正确；将极板A向下平移一小段距离时，根据C＝得知电容C增大，而电容器的电压U不变，由Q＝CU知，极板带电荷量将增大，故C、D错误．]
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-习题课1 电场力的性质
[学习目标] 1.会分析两等量同种电荷和两等量异种电荷的电场分布． 2.会由粒子的运动轨迹分析带电粒子的受力方向和所在处的电场方向． 3.会解答库仑力作用下带电体的平衡问题和加速问题．
等量点电荷电场的电场线比较
等量异种点电荷
等量同种(正)点电荷
电场线图样
连线上中点O处的电场强度
最小，指向负电荷一方
为零
连线上的电场强度大小
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外电场强度大小
O点最大，向外逐渐减小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′、B与B′的电场强度特点
等大同向
等大反向
【例1】 如图所示，a、b两点处分别固定有等量异种点电荷＋Q和－Q，c是线段ab的中心，d是ac的中点，e是ab的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在d、c、e点，它所受的电场力分别为Fd、Fc、Fe，则下列说法中正确的是( )
A．Fd、Fc、Fe的方向都是水平向右
B．Fd、Fc的方向水平向右，Fe的方向竖直向上
C．Fd、Fe的方向水平向右，Fc＝0
D．Fd、Fc、Fe的大小都相等
思路点拨：(1)等量异种电荷在两电荷连线上的电场方向沿连线且由正电荷指向负电荷．
(2)等量异种电荷在两电荷连线的中垂线上各处电场方向均与中垂线垂直，方向指向负电荷一侧．
(3)正电荷在电场中所受的电场力与该处电场方向相同．
A [根据场强叠加原理，等量异种点电荷连线及中垂线上的电场线分布如图所示，d、c、e三点场强方向都是水平向右，正点电荷在各点所受电场力方向与场强方向相同，可得到A正确，B、C错误；连线上场强由a到b先减小后增大，中垂线上由O到无穷远处逐渐减小，因此O点场强是连线上最小的(但不为0)，是中垂线上最大的，故Fd>Fc>Fe，故D错误．]
1.(多选)如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B(可视为点电荷)，被固定在光滑的绝缘水平面上，P、N是小球A、B连线的中垂线上的两点，且PO＝ON.现将一个电荷量很小的带正电的小球C(可视为质点)由P点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是( )
A．速度先增大，再减小
B．速度一直增大
C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大
D．加速度先减小，再增大
AD [在AB的中垂线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为零，故正电荷受电场力沿连线的中垂线运动时，电荷的加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点加速度变为零，速度达到最大；由O点到无穷远处时，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性．如果P、N相距很近，加速度则先减小，再增大．]
电场线与带电粒子运动轨迹的综合分析
带电粒子只在静电力作用下做曲线运动时，若已知粒子的运动轨迹，可先根据曲线运动轨迹形状与合力方向的关系，确定静电力的方向，然后可进一步：
(1)判断电场方向或粒子带电性质：若粒子带正电，粒子所受静电力方向与电场方向相同；若粒子带负电，粒子所受静电力方向与电场方向相反．
(2)判断静电力做功情况：静电力方向与运动方向成锐角时，静电力做正功；静电力方向与运动方向成钝角时，静电力做负功．
(3)判断粒子动能变化情况：若静电力做正功，则粒子动能增加；若静电力做负功，则粒子动能减小．
【例2】 如图所示，实线为电场线(方向未画出)，虚线是一带电的粒子只在电场力的作用下，由a到b的运动轨迹，轨迹为一条抛物线．下列判断正确的是( )
A．电场线MN的方向一定是由N指向M
B．带电粒子由a运动到b的过程中速度一定逐渐减小
C．带电粒子在a点的速度一定小于在b点的速度
D．带电粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度
C [由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，物体所受外力指向轨迹内侧，所以粒子所受电场力一定是由M指向N，但是由于粒子的电荷性质不清楚，所以电场线的方向无法确定，故A错误；粒子从a运动到b的过程中，电场力与速度成锐角，粒子做加速运动，速度增大，故B错误，C正确；b点的电场线比a点的密，所以带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故D错误，故选C.]
(1)合力方向与速度方向：合力指向轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向．
(2)分析方法：由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向；由电场力和电场线的方向可判断电荷的正负；由电场线的疏密程度可确定电场力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断电荷加速度的大小．
2.如图所示，平行的实线表示电场线，虚线表示一个离子穿越电场的运动轨迹，下列判断正确的是( )
A．场强方向一定是向右
B．该离子一定是负离子
C．该离子一定是由a向b运动
D．场强方向、离子的运动方向以及是正离子还是负离子都不能确定，但是离子在a点的动能一定小于在b点的动能
D [因为不知离子是向哪个方向运动的，可以假设其由b向a运动，由离子的运动轨迹可以判定出，离子只能受到向左的电场力，所以由b向a一定是减速运动的(同理，也可假设离子由a向b运动，此时根据轨迹可判定出电场力同样向左，离子加速运动)，所以该离子在a点的动能一定小于在b点的动能；由于电场线方向、离子的电性都是未知的，所以A、B、C均不正确．]
电场力与牛顿第二定律的综合
【例3】 如图所示，光滑斜面倾角为37°，一带正电的小物块质量为m，电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变为原来的，(sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g＝10
m/s2)求：
(1)原来的电场强度；
(2)小物块运动的加速度；
(3)小物块2
s末的速度和2
s内的位移．
[解析] (1)对小物块受力分析如图所示，小物块静止于斜面上，则mg
sin
37°＝qE
cos
37°，E＝＝.
(2)当场强变为原来的时，小物块受到的合外力F合＝mg
sin
37°－qE
cos
37°＝0.3
mg，又F合＝ma，所以a＝3
m/s2，方向沿斜面向下．
(3)由运动学公式v＝at＝3×2
m/s＝6
m/s，
x＝at2＝×3×22m＝6
m.
[答案] (1) (2)3
m/s2，方向沿斜面向下
(3)6
m/s 6
m
解决电场强度与力学知识的综合问题的一般思路
(1)明确研究对象．(多为一个带电体，也可取几个带电体组成的系统)
(2)分析研究对象所受的全部外力，包括电场力．
(3)由平衡条件或牛顿第二定律列方程求解即可，对于涉及能量的问题，一般用动能定理或能量守恒定律列方程求解．
3．如图所示，光滑绝缘的水平面上固定着A、B、C三个带电小球，它们的质量都为m，彼此间距离均为r，A、B带正电，电荷量均为q.现对C施加一个水平力F的同时放开三个小球．三个小球在运动过程中保持间距r不变(三个小球均可视为点电荷)，求：
(1)C球的电性和电荷量大小．
(2)水平力F的大小．
[解析] (1)A球受到B球沿BA方向的库仑斥力和C球的库仑力作用后，产生水平向右的加速度，所以C球对A球的库仑力为引力，C球带负电，设为Q.对A球，它在AB方向上合力为零，即：
k＝k·sin
30°，所以Q＝2q.
(2)对A球，根据牛顿第二定律，k·cos
30°＝ma，F＝3ma，故F＝.
[答案] (1)负电 2q (2)
1.(多选)一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图中虚线所示．不计粒子所受重力，则( )
A．粒子带正电荷
B．粒子加速度逐渐减小
C．A点的速度大于B点的速度
D．粒子的初速度不为零
BCD [由带电粒子所受合外力(即电场力)指向轨迹内侧，知电场力方向向左，粒子带负电荷，故A项错误．根据EA>EB，知B项正确．粒子从A到B受到的电场力为阻力，C项正确．由图可知，粒子从A点运动到B点，速度逐渐减小，故粒子在A点速度不为零，D正确．]
2．(多选)在如图所示的四种电场中，分别标记有a、b两点，其中a、b两点电场强度大小相等的是( )
甲 乙
丙 丁
A．甲图中与点电荷等距的a、b两点
B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
D．丁图中非匀强电场中的a、b两点
ABC [甲图中与点电荷等距的a、b两点，电场强度大小相等，选项A正确；对乙图，根据电场线的疏密及对称性可判断，a、b两点的电场强度大小相等，选项B正确；丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点，电场强度大小相等，选项C正确；对丁图，根据电场线的疏密可判断，b点的电场强度大于a点的电场强度，选项D错误．]
3．如图所示，一带电荷量为q＝－5×10－3
C，质量为m＝0.1
kg的小物块处于一倾角为θ＝37°的光滑绝缘斜面上，当整个装置处于一水平向左的匀强电场中时，小物块恰好处于静止状态．(g取10
m/s2)求：
(1)电场强度多大？
(2)若从某时刻开始，电场强度减小为原来的，物块下滑距离L＝1.5
m时的速度大小为多少？
[解析] (1)小物块受力如图，由受力平衡得：
qE－FNsin
θ＝0
①
mg－FNcos
θ＝0
②
由①②得E＝，代入数据得E＝150
N/C.
(2)由牛顿第二定律得：
mg
sin
θ－cos
θ＝ma
③
v2＝2aL
④
由③④得v＝
代入数据得速度大小为v＝3
m/s.
[答案] (1)150
N/C (2)3
m/s
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-习题课2 电场能的性质(教师用书独具)
[学习目标] 1.理解电势能、电势差、电势、等势面的概念． 2.能求解电场力做的功和电场中的电势． 3.掌握匀强电场中电势差与电场强度的关系． 4.会分析E?x、φ?x等图象问题．
电场线、等势面和运动轨迹的综合
1．速度方向沿运动轨迹的切线方向，所受电场力的方向沿电场线的切线方向或反方向，所受合外力的方向指向曲线凹侧．
2．电势能增减的判断方法：
(1)做功判断法：无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大．
(2)电场线判断法：正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小．
(3)电势判断法：由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小．
【例1】 (多选)如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知( )
A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小
B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大
D．带电粒子在R点时的加速度大小大于在Q点时的加速度大小
思路点拨：(1)电场线疏密?分析场强大小?分析电场力大小?分析合力大小?分析加速度的大小
(2)仅有电场力做功时，动能和电势能的和保持不变．
AD [根据牛顿第二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为aR>aQ，故D项正确；由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C项错误；根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右．假设粒子从Q向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大，假设粒子从P向Q运动，则电场力做负功，所以电势能增大，动能减小，速度减小，所以A项正确，B项错误．]
1.如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出．仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则( )
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a加速度减小，b加速度增大
C．M、N电势差|UMN|等于N、Q两点电势差|UNQ|
D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小
B [本题考查电场线、等势线、电场力的功．由带电粒子的运动轨迹，结合曲线运动的特点可知带电粒子所受的电场力方向，但因为电场线的方向不确定，故不能判断带电粒子带电的性质，A错；由电场线的疏密可知，a加速度将减小，b加速度将增大，B对；因为是非匀强电场，故M、N电势差并不等于N、Q两点电势差，C错；但因为等势线1与2之间的电场强度比2与3之间的电场强度要大，故1、2之间的电势差要大于2、3之间的电势差，但两粒子的带电荷量大小不确定，故无法比较动能变化量的大小，D错．]
电场力做功与电势差、电势能的综合
【例2】 如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m电荷量为－q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求：
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点作为参知识点(零电势点)，试确定A点的电势．
[解析] (1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零．
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·＝eq
\f(mv,2)－eq
\f(mv,2)
解得vC＝.
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝eq
\f(mv,2)，又根据电场力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC).
又因为φC＝0，
可得φA＝－.
[答案] (1) (2)－
计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：
(1)利用电场力做功与电势能的关系求解：WAB＝EpA－EpB.
(2)利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场．
(3)利用公式WAB＝qUAB求解．
(4)利用动能定理求解．
2.(多选)如图所示，光滑绝缘细管与水平面成30°角，在管的上方P点固定一个点电荷＋Q，P点与细管在同一竖直平面内，管的顶端A与P点连线水平．电荷量为－q的小球(小球直径略小于细管内径)从管中A处由静止开始沿管向下运动，在A处时小球的加速度为a，图中PB⊥AC，B是AC的中点，不考虑小球电荷量对电场的影响．则在＋Q形成的电场中( )
A．A点的电势高于B点的电势
B．B点的电场强度大小是A点的4倍
C．小球从A到C的过程电势能先减小后增大
D．小球运动到C处的加速度为g－a
BCD [在正点电荷形成的电场中，离电荷越近的地方电势越高，故A错误；由E＝k和rPA＝2rPB，可得EB＝4EA，故B正确；小球从A到C的过程中，电场力先做正功后做负功，故电势能先减小后增大，C正确；小球在A、C两点所受电场力的大小相等，设为F，在A点有：mg
sin
30°＋F
cos
30°＝ma；在C点有：mg
sin
30°－F
cos
30°＝ma′，两式相加整理即得a′＝g－a，故D正确．]
等分法确定等势点
1．在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等，如图甲AB＝BC，则UAB＝UBC.
2．在匀强电场中，相互平行且相等的线段两点间的电势差相等．如图乙AB綊CD，则UAB＝UCD.
3．确定电场方向的方法：先由等分法确定电势相等的点，画出等势面(线)，然后根据电场线与等势面(线)垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线).
【例3】 (多选)如下列选项所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5
V，φB＝2
V，φC＝3
V，H、F三等分AB，G为AC的中点，则能正确表示该电场强度方向的是( )
思路点拨：(1)“匀强电场”、“H、F三等分AB”说明AB间电压三等分；(2)“电场强度的方向”垂直等势面指向电势降低的方向．
BC [匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分．把AB等分为三段，AB间电压为3
V，则每等分电压为1
V，H点电势为4
V，F点电势为3
V，将F、C相连，则FC为等势线，电场线垂直于FC，从高电势指向低电势，C正确；把A、C相连，分为两份，AC间电压为2
V，则G点电势为4
V，GH为等势线，电场线垂直于GH，从高电势指向低电势，B正确.]
用“等分法”求电势
1．在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差相等．如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势问题的方法叫等分法．
2．若已知电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”在电场中找与待求点的电势相同的等势点．等分法也常用在画电场线的问题中．
3．在匀强电场中，相互平行的相等线段的两端点电势差相等，可用来求解电势．
3．如图所示，a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个梯形的四个顶点．电场线与梯形所在的平面平行．ab平行于cd，且ab边长为cd边长的一半．已知a点的电势是3
V，b点的电势是5
V，c点的电势是7
V．由此可知，d点的电势为( )
A.1
V
B．2
V
C．3
V
D．4
V
C [ab边与cd边相互平行，相等长度的两点电势差大小相等，a、b两点的电势差为2
V，dc距离为ab的2倍，则d、c两点电势差也是a、b两点间电势差的2倍即4
V，d点的电势为3
V，C正确．故正确答案为C.]
E?x、φ?x图象的分析
【例4】 (多选)在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示．下列说法正确的有( )
A．q1和q2带有异种电荷
B．x1处的电场强度为零
C．负电荷从x1移到x2，电势能减小
D．负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
AC [A对：两个点电荷在x轴上，且x1处的电势为零，x＞x1处的电势大于零，x＜x1处的电势小于零．如果q1、q2为同种电荷，x轴上各点的电势不会有正、负之分，故q1、q2必为异种电荷．
B错：φ?x图象中曲线的斜率表示电场强度大小，x1处的电场强度不为零．
C对：x2处的电势最高，负电荷从x1移动到x2，即从低电势处移动到高电势处，电场力做正功，电势能减小．
D错：由φ?x图象知，从x1到x2，电场强度逐渐减小，负电荷从x1移动到x2，所受电场力减小．]
1．φ?x图象反映电势φ随x的变化规律，其斜率大小表示场强大小，场强方向由电势变化情况确定：沿电场方向电势降低．
2．E?x图象反映场强E随x的变化规律，其正负表示场强的方向．
4.(多选)静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
A．x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动至x4的过程中电场力先减小后增大
BC [由题图可知，x1到x4场强先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，C正确，D错误．由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，知A错误，B正确．]
1.一个电子只在电场力作用下从a点运动到b点的轨迹如图中虚线所示，图中一组平行实线可能是电场线也可能是等势面，下列说法中正确的是( )
A．如果实线是电场线，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大
B．如果实线是等势面，则a点的电势比b点的电势低
C．如果实线是电场线，则a点的电势比b点的电势高
D．如果实线是等势面，则电子在a点的电势能比在b点的电势能大
A [若题图中实线是电场线，电子所受的电场力水平向右，电场线方向水平向左，则a点的电势比b点低，C错误；由于从a点运动到b点电场力做正功，所以电子的电势能减小，所以电子在a点的电势能比在b点的电势能大，所以A正确；若实线是等势面，由于电场线与等势面垂直，电子所受电场力方向向下，则电场线方向向上，则a点的电势比b点高，从a到b电场力对电子做负功，所以电势能增加，则电子在a点的电势能比在b点的电势能小，故B、D错误．]
2.半径为R的均匀带电球体，在通过球心O的直线上，各点的电场分布如图所示．当x≥R时，电场分布与电荷量全部集中在球心时相同．已知静电力常量为k，则( )
A．球面是个等势面，球体是个等势体
B．在x轴上x＝R处电势最高
C．xP＝R
D．球心O与球面间电势差的大小为E0R
C [从题图上看，球内部电场强度都不等于零，因此球体不是等势体，A错误；在x轴上x＝R处场强最大，而不是电势最高，B错误；R处场强E0＝，在xP处场强为，则＝keq
\f(Q,x)，解得xP＝R，C正确；假设球心O与球面间的电场为匀强电场，且大小为E0，则电势差的大小U＝E0R，但是O与球面间的电场并不是匀强电场，因此D错误．]
3.如图所示，等边三角形ABC处在匀强电场中，电场方向与三角形所在平面平行，其中φA＝φB＝0，φC＝φ>0，保持该电场的电场强度大小和方向不变，让等边三角形绕A点在三角形所在平面内顺时针转过30°，则此时B点的电势为( )
A．φ
B．
C．－φ
D．－
C [因φA＝φB＝0，所以AB是一等势线，电场方向垂直AB向左，设等边三角形边长为L，因φC＝φ，所以电场强度为E＝，当等边三角形绕A点在三角形所在平面内顺时针转过30°时，B点到原来AB的距离d＝L
sin
30°，B点电势为φB＝－Ed＝－φtan
30°＝－φ，C正确．]
4.如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速度大小为g，求：
(1)此电荷在B点处的加速度；
(2)A、B两点间的电势差(用Q和h表示).
[解析] (1)由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得，在A点时：mg－k＝m·g.在B点时：k－mg＝m·aB，解得aB＝3g，方向竖直向上．
(2)从A到B的过程，由动能定理得mg(h－0.25h)＋qUAB＝0，解得UAB＝－.
[答案] (1)3g，方向竖直向上 (2)－
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