高一物理人教版必修1学案 4.7　用牛顿运动定律解决问题（二） Word版含解析

7　用牛顿运动定律解决问题(二)
姚明某次跳起过程可分为下蹲、蹬地、离地上升、下落四个过程，如图所示．下列关于蹬地和离地上升两过程的说法中正确的是(设蹬地的力为恒力)(　D　)
A．两过程中姚明都处于超重状态
B．两过程中姚明都处于失重状态
C．前过程为超重，后过程不超重也不失重
D．前过程为超重，后过程为完全失重
【例1】　沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点(如图所示)，足球的质量为m，网兜的质量不计，足球与墙壁的接触点为B，悬绳与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力．
取足球作为研究对象，它共受到三个力的作用：重力G＝mg，方向竖直向下；墙壁的支持力FN，方向水平向右；悬绳的拉力FT，方向沿绳的方向．这三个力一定是共点力，重力的作用点在球心O点，支持力FN沿球的半径方向．G和FN的作用线必交于球心O点，则FT的作用线必过O点．既然是三力平衡，可以根据任意两力的合力与第三力等大、反向求解，可以根据力的三角形求解，也可用正交分解法求解．
【解析】　解法1(用合成法)：
取足球作为研究对象，如图所示，它受重力G＝mg、墙壁的支持力FN和悬绳的拉力FT三个共点力作用而平衡，由共点力平衡的条件可知，FN和FT的合力F与G大小相等、方向相反，即F＝G，从图中力的平行四边形可求得
FN＝Ftanα＝mgtanα　FT＝＝
解法2(用分解法)：
取足球为研究对象，所受重力G、墙壁支持力FN、悬绳的拉力FT，如图所示，将重力G分解为F1′和F2′，由共点力平衡条件可知，FN与F1′的合力必为零，FT与F2′的合力也必为零，所以
FN＝F1′＝mgtanα
FT＝F2′＝
解法3(用相似三角形求解)：
取足球作为研究对象，其受重力G、墙壁的支持力FN、悬绳的拉力FT，如图所示，设球心为O，由共点力的平衡条件可知，FN和G的合力F与FT大小相等、方向相反，由图可知，三角形OFG与三角形AOB相似，所以
＝＝，
则FT＝F＝＝
＝＝tanα，则FN＝Gtanα＝mgtanα.
【答案】　　mgtanα
总结提能 应用共点力的平衡条件解题的一般步骤：
(1)确定研究对象：即在弄清题意的基础上，明确以哪一个物体(或结点)作为解题的研究对象；
(2)分析研究对象的受力情况：全面分析研究对象的受力情况，找出作用在研究对象上的所有外力，并作出受力分析图，如果物体与别的接触物体间有相对运动(或相对运动趋势)时，在图上标出相对运动的方向，以判断摩擦力的方向；
(3)判断研究对象是否处于平衡状态；
(4)应用共点力的平衡条件，选择适当的方法，列平衡方程；
(5)求解方程，并根据情况，对结果加以说明或进行必要的讨论．
如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线夹角为α＝60°.两个球的质量比等于(　A　)
A.　 B.
C. D.
解析：对m1、m2分别进行受力分析，如图所示，则T＝m2g.由平衡条件可知，FN、T的合力与m1g大小相等，方向相反，因为α＝60°，且OA＝OB，故平行四边形ABOD为菱形，FN＝T，所以2Tsinα＝m1g，解得＝.
考点二　　共点力平衡的临界和极值问题
1．临界状态处理
某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态，平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要破坏、而尚未破坏的状态．解答平衡物体的临界问题时可用假设法．运用假设法解题的基本步骤是：①明确研究对象；②画受力图；③假设可发生的临界现象；④列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解．
2．平衡问题中的极值问题
在研究平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值的现象称为极值问题．求解极值问题有两种方法：
(1)解析法．根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值．通常用到的数学知识有二次函数极值、三角函数极值以及几何法求极值等．
(2)图解法．根据物体的受力平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值．
【例2】　倾角为θ的斜面在水平面上保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ本题可按以下思路进行分析：
??
【解析】　物体静止在斜面上的条件是合外力为零．由于静摩擦力的大小可在0～fmax间变化，且方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，所以所求的推力应是一个范围．因为μ以A为研究对象，设推力的最小值为Fmin，此时最大静摩擦力fmax沿斜面向上，受力分析如图甲所示．将各力正交分解，则沿斜面方向，有Fmincosθ＋fmax－Gsinθ＝0
垂直于斜面方向，有N－Gcosθ－Fminsinθ＝0又fmax＝μN
解得Fmin＝G
设推力的最大值为Fmax，此时最大静摩擦力f ′max沿斜面向下，受力分析如图乙所示．沿斜面方向，有
Fmaxcosθ－Gsinθ－f ′max＝0
垂直于斜面方向，有N′－Gcosθ－Fmaxsinθ＝0
又f ′max＝μN′　解得Fmax＝G
所以物体能在斜面上静止的条件为
G≤F≤G.
【答案】　G≤F≤G
总结提能 平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要发生变化的状态，涉及临界状态的问题叫做临界问题．求解临界问题时一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件．解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解．
平衡物体的极值，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．研究平衡物体的极值问题有两种常用方法．(1)解析法：即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物体的临界条件求极值．(2)图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值．
如图所示，用细绳拴着小球静止在光滑的倾角为α＝37°的斜劈上，求下列两种情况下斜劈的加速度大小和方向．
(1)小球恰好不压斜劈；
(2)细绳的拉力恰好为零．
解析：(1)小球恰好不压斜劈时，小球受力如图甲所示，分析可知加速度方向水平向右．由牛顿第二定律得：
F合1＝＝ma1，a1＝＝g.
(2)细绳的拉力恰好为零时，小球受力如图乙所示，分析可知加速度方向水平向左．由牛顿第二定律得：
F合2＝mgtan37°＝ma2，a2＝gtan37°＝g.
答案：(1)g　水平向右　(2)g　水平向左
考点三　　对超重、失重的理解
当物体挂在弹簧测力计下或放在水平台秤上时，弹簧测力计或台秤的示数称为“视重”，其大小等于弹簧测力计所受的拉力或台秤所受的压力．视重和物体的重力之间的大小关系，与物体的加速度有关，见下表：
加速度 情况 现象 视重(F) 视重(F)与重
力(mg)比较
a＝0 静止或匀速
直线运动 F＝mg F＝mg
a竖直向下 失重 F＝m(g－a) Fa竖直向上 超重 F＝m(g＋a) F>mg
a＝g 竖直向下 完全失重 F＝0 F对超重和失重的理解应注意以下几点：
(1)重力是由于地球对物体的吸引而产生的，大小为G＝mg.只要物体所在的位置的重力加速度一定，物体所受的重力就一定．因此超重和失重仅仅是物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力发生变化．其实物体的重力依然存在，且并不发生变化．
(2)“超重”和“失重”由加速度的方向决定，与物体的速度方向无关．用牛顿运动定律分析实验现象时，我们并没有重点考虑物体的速度方向，而是着重把握物体加速度方向．当物体有竖直向上的加速度时超重，有竖直向下的加速度时失重，超重、失重与物体的运动方向无必然的关系．
(3)在完全失重状态下(a＝g)平时一切由重力产生或与重力有关的物理现象均消失．如物体在液体中不受浮力，天平无法测量物体的质量等．
【例3】　(多选)“蹦极”是一项非常刺激的体育运动，某人身系弹性绳自高空中P点由静止开始下落，如图所示，a点是弹性绳的原长位置，c点是人所能到达的最低位置，b点是人静止悬挂时的平衡位置，则在人从P点下落到c点的过程中(　　)
A．在Pa段，人做自由落体运动，处于完全失重状态
B．在ab段，绳的拉力小于人的重力，人处于失重状态
C．在bc段，绳的拉力小于人的重力，人处于失重状态
D．在c点，人的速度为零，加速度也为零
解答本题时可按以下思路进行分析：
【解析】　人从P点下落到c点的过程中，在Pa段做自由落体运动，加速度为g，方向竖直向下；在ab段做加速度逐渐减小的加速运动，加速度方向向下；在bc段做加速度逐渐增大的减速运动，加速度方向向上．根据超重和失重的条件可知，选项A、B正确．
【答案】　AB
总结提能 区别“失重现象”和“超重现象”的关键是看物体在竖直方向的加速度：有竖直向上的加速度，是“超重现象”；有竖直向下的加速度，是“失重现象”．当物体具有a＝g且竖直向下的加速度时，物体处于“完全失重”状态，此时物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)为0.
(多选)某人在地面上用弹簧测力计称得其体重为490 N．他将弹簧测力计移至电梯内称其体重，t0至t3时间段内，弹簧测力计的示数如图(1)所示，电梯运行的v－t图象可能是图(2)中的(取电梯向上运动的方向为正)(　AD　)
解析：从图可以看出，t0～t1时间内，该人的视重小于其重力，t1～t2时间内，视重正好等于其重力，而在t2～t3时间内，视重大于其重力．根据题中所设的正方向可知，t0～t1时间内，该人具有向下的加速度，t1～t2时间内，该人处于平衡状态，而在t2～t3时间内，该人则具有向上的加速度，所以可能的图象为A、D.
1．(多选)如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P连接，P的斜面与固定挡板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻所受的外力个数有可能为(　AC　)
A．2个　　 B．3个
C．4个 D．5个
解析：若斜面体P受到的弹簧弹力F等于其重力mg，则MN对P没有力的作用，如图甲所示，P受到2个力，A对；若弹簧弹力大于P的重力，则MN对P有压力FN，只有压力FN则P不能平衡，一定存在向右的力，只能是MN对P的摩擦力Ff，因此P此时受到4个力，如图乙所示，C对．
2．(多选)某科技兴趣小组用实验装置来模拟火箭发射卫星．火箭点燃后从地面竖直升空，t1时刻第一级火箭燃料燃尽后脱落，t2时刻第二级火箭燃料燃尽后脱落，此后不再有燃料燃烧．实验中测得火箭竖直方向的速度—时间图象如图所示，设运动过程中不计空气阻力，燃料燃烧时产生的推力大小恒定．下列判断正确的是(　CD　)
A．t2时刻火箭到达最高点，t3时刻火箭落回地面
B．火箭在0～t1时间内的加速度大于t1～t2时间内的加速度
C．t1～t2时间内火箭处于超重状态，t2～t3时间内火箭处于失重状态
D．火箭在t2～t3时间内的加速度大小等于重力加速度
解析：从图象可知，火箭一直向上运动，在t2时刻火箭速度达到最大，t3时刻火箭到达最高点，选项A错误；0～t1时间内的加速度小于t1～t2时间内的加速度，选项B错误；t1～t2时间内火箭向上加速，处于超重状态，t2～t3时间内火箭向上减速，处于失重状态，选项C正确；在t2～t3时间内火箭只受到重力的作用，向上减速，加速度的大小等于重力加速度，选项D正确．
3．(多选)电梯的顶部挂一个弹簧测力计，测力计下端挂了一个质量为1 kg的重物，电梯做匀速直线运动时，弹簧测力计的示数为10 N，在某时刻电梯中的人观察到弹簧测力计的示数变为12 N．关于电梯的运动(如图所示)，以下说法正确的是(g取10 m/s2)(　AD　)
A．电梯可能向上加速运动，加速度大小为2 m/s2
B．电梯可能向下加速运动，加速度大小为4 m/s2
C．电梯可能向上减速运动，加速度大小为4 m/s2
D．电梯可能向下减速运动，加速度大小为2 m/s2
解析：由题意知，重物受的合力方向向上，加速度向上，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，解得a＝2 m/s2，电梯可能向上加速，也可能向下减速，选项AD正确、BC错误．
4．土耳其卡帕多奇亚旅游之巅——乘坐热气球观看卡帕多奇亚神奇的地貌是到土耳其旅游的一项重要活动．某游客乘坐热气球时，气球、吊篮和游客的总质量为M＝800 kg，在空中停留一段时间后下降，某时刻由于发生故障，热气球受到的空气浮力减小，热气球竖直下降，当发生故障后热气球下降了h1＝16 m时，驾驶员立即抛掉一些压舱物，使热气球匀速下降，已知热气球发生故障后竖直下降的v－t图象如图所示．不考虑热气球由于运动而受到的空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)抛掉的压舱物的质量m是多大？
(2)抛掉一些压舱物后，热气球内工作人员经过Δt＝6 s时间修复热气球并立刻恢复原有的空气浮力，则再经多长时间热气球减速到零？
解析：(1)由题图可看出0～4 s内热气球匀加速下降，设下降的加速度为a，此过程热气球受到的空气浮力为F
根据运动学公式有h1＝v0t＋at2
由牛顿第二定律得Mg－F＝Ma
抛掉质量为m的压舱物后，热气球向下做匀速运动，根据平衡条件有(M－m)g＝F　联立解得m＝80 kg
(2)设抛掉压舱物时热气球的速度为v1，经过Δt＝6 s恢复原有的浮力F0，再经t1时间减速到零，减速的加速度大小为a1，
根据运动学公式可得v1＝v0＋aΔt
发生故障前根据平衡条件有Mg＝F0
修复后由牛顿第二定律得F0－(M－m)g＝(M－m)a1
v1＝a1t1　解得t1＝5.4 s
答案：(1)80 kg　(2)5.4 s