高一物理人教版必修1学案 2.5　自由落体运动 Word版含解析

5　自由落体运动
一位观察者测出，从悬崖进行跳水比赛的参赛者碰到水面前在空中下落了3.0 s，如果不考虑空气阻力，悬崖有多高？实际上是有空气阻力的，因此实际高度比计算值大些还是小些？为什么？(g取10 m/s2)
提示：由h＝gt2，得悬崖高h＝×10×32 m＝45 m．如果不考虑空气阻力，可算出悬崖高45 m，实际上由于存在空气阻力，加速度比重力加速度小，所以实际高度比计算值小．

【例1】　(多选)关于自由落体运动，下列说法中正确的是(　　)
A．初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动
B．只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动
C．自由落体运动在任意相等的时间内速度的变化量相等
D．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动
本题考查自由落体运动的特点，可直接根据自由落体运动的相关知识进行分析．
【解析】　自由落体运动是初速度为零，且只在重力作用下的运动，所以选项A、B错误；在运动性质上，自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，加速度为g，所以在任意相等的时间内速度的变化量Δv＝gΔt相等，故选项C、D正确．
【答案】　CD
总结提能 自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为g，g的大小与重力大小无关．所有的匀变速直线运动的规律都适用于自由落体运动．但要注意，当问题指明(或有暗示)空气阻力不能忽略时，物体从静止开始下落的运动就不再是自由落体运动．
(多选)关于重力加速度的下列说法中，正确的是(　BCD　)
A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地球上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同
D．在地球上的同一地方，离地面高度越大，重力加速度g越小
解析：解题的关键是知道自由落体加速度的大小和方向均与物体所处的地球表面的位置有关．重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同．在地球表面，不同的地方，g的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，所以A不正确，B正确．在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小，所以C、D正确．
考点二　自由落体运动的规律
(1)速度公式：v＝gt.
该公式反映了自由落体运动的瞬时速度随时间变化的规律，公式中的v是从开始下落经过时间t后的瞬时速度．
(2)位移公式：x＝gt2.
位移公式反映了自由落体运动的位移随时间变化的规律，式中x是从开始下落经过时间t的位移，位移的起点是自由落体运动的起始位置．
(3)速度位移关系式：v2＝2gx.
(4)自由落体运动的推论
①连续相等的时间T内的位移之差：Δx＝gT2.
②平均速度：＝.
③若从开始运动时刻计时，划分为相等的时间间隔T，则有如下比例关系．
a．T末、2T末、3T末……瞬时速度之比
v1?v2?v3……＝1?2?3?……
b．T内、2T内、3T内……位移之比
x1?x2?x3?……＝1?4?9?……
c．第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比
xⅠ?xⅡ?xⅢ?……＝1?3?5?……
④若从运动起点(初位置)划分为连续相等的位移x，则有如下比例关系．
a．连续相等的位移末的瞬时速度
v1?v2?v3?……＝1???……
推证：由v2－v＝2ax可直接得到．
b．通过连续相等的位移所用时间之比
t1?t2?t3?……＝1?(－1)?(－)?……
【例2】　屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，如图所示，问：(g取10 m/s2)
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？
由题图，如果将这5滴水的运动等效为一滴水的自由落体运动，并且将这一滴水运动的全过程分成时间相等的4段，设时间间隔为T，则这一滴水在0时刻，T末、2T末、3T末、4T末所处的位置，分别对应图示第5滴水、第4滴水、第3滴水、第2滴水、第1滴水所处的位置，据此可作出解答．
【解析】　方法1：利用基本规律求解．
设屋檐离地面高为x，滴水间隔为T.由x＝gt2得第2滴水的位移x2＝g(3T)2，第3滴水的位移x3＝g(2T)2，又x2－x3＝1 m，联立以上三式，解得T＝0.2 s.
屋檐高x＝g(4T)2＝×10×(4×0.2)2 m＝3.2 m.
方法2：用比例法求解．
(1)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移比为1?3?5?7?…?(2n－1)，令相邻两水滴之间的间距从上到下依次是x0、3x0、5x0、7x0.
显然，窗高为5x0，即5x0＝1 m，得x0＝0.2 m.
屋檐总高x＝x0＋3x0＋5x0＋7x0＝16x0＝3.2 m.
(2)由x＝gt2知，滴水时间间隔为：
T＝＝ s＝0.2 s.
方法3：用平均速度求解．
设滴水间隔为T，则雨滴经过窗子过程中的平均速度为＝＝.由vt＝gt知，雨滴下落2.5T时的速度为vt＝2.5gT.由于＝vt，故有＝2.5gT，解得T＝0.2 s.
屋檐高x＝g(4T)2＝3.2 m.
【答案】　(1)3.2 m　(2)0.2 s
总结提能 对于从同一位置开始间隔相等时间，依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形，等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于做匀变速直线运动连续相等时间，由此可用Δx＝aT2，初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法求解．
如图所示，离地面足够高处有一竖直空管，管长为l＝0.2 m，M，N为空管的上、下两端，以恒定的速度向下做匀速直线运动，同时在空管N端下方距离d＝0.25 m有一小球开始做自由落体运动，取g＝10 m/s2，求：
(1)若经过t1＝0.2 s，小球与N端等高，求空管的速度大小v0；
(2)若经过t2＝0.5 s，小球在空管内部，求空管的速度大小v0应满足什么条件；
(3)为了使小球在空管内部运动的时间最长，求v0的大小，并求出这个最长时间．
解析：(1)当球与N端等高时，v0t1－gt＝d，
得v0＝2.25 m/s.
(2)若v0最小时，球恰好运动到与N端等高，则：v0t2－gt＝d，得v0＝3 m/s；若v0最大时，球恰好运动到与M端等高，则：v0t2－gt＝d＋l，得v0＝3.4 m/s，故3 m/s≤v0≤3.4 m/s.
(3)当时间最长时，球运动到M处恰好与管共速，则：v0＝gt3，v0t3－gt＝d＋l，解得v0＝3 m/s，小球与N端等高时，则：v0t4－gt＝d，解得t4＝0.1 s，或t4＝0.5 s．则tm＝Δt＝0.5 s－0.1 s＝0.4 s.
答案：(1)2.25 m/s　(2)3 m/s≤v0≤3.4 m/s
(3)3 m/s　0.4 s
考点三　　测定重力加速度的方法
1．利用打点计时器
(1)实验装置如图所示．让重物自由下落打出点迹清晰的纸带．
(2)对纸带上计数点间的距离进行测量，利用g＝，求出重力加速度．
(3)用打点计时器测出的重力加速度可能比实际值偏小，因为重物带动纸带通过计时器下落时要受阻力作用．
(4)实验时注意以下几点：
①为尽量减小空气阻力的影响，重物应选密度大的，如铁锤等．
②打点计时器应竖直固定好．
③重物应靠近打点计时器释放，且要先开打点计时器电源再放手让重物运动．
④改变重物的重量，重复打出几条纸带．
⑤选点迹清晰，且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带分析探究．
(5)数据处理(逐差法)
①依据相邻两点速度计算加速度再求平均值的方法．
因为a1＝，a2＝，a3＝…an＝，然后取平均值，即＝＝，从结果看，真正参与运算的只有v1和vn＋1，中间各点的瞬时速度在运算中都未起作用，可见此方法不好．
②利用“逐差法”求加速度，若为偶数段，设为6段，则a1＝，a2＝，a3＝，然后取平均值，即＝；或由a＝直接求得；若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第3段；则a1＝，a2＝，然后取平均值，即＝；或由a＝直接求得；这样所给的数据利用率高，提高了准确程度．
2．频闪照相法
频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，根据Δx是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动．根据匀变速直线运动的推论Δx＝gT2可求出重力加速度g＝.
也可以根据v＝＝求出物体在某两个时刻的速度，由g＝也可求出重力加速度g.
3．滴水法
(1)如图，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能依次持续下去；
(2)用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h；
(3)测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水到盘上依次数1、2、3…，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水滴下落的时间为T＝；
(4)由h＝gT2，得g＝＝.
注意：(1)利用打点计时器测重力加速度的误差主要来自阻力的影响和测量误差．
(2)频闪照相法和滴水法的误差主要是测量误差．
【例3】　用滴水法可以测定重力加速度，方法是：在自来水龙头下面固定一块挡板A，使水一滴一滴连续地滴到挡板上，如图所示，仔细调节水龙头，使得耳朵刚好听到前一个水滴滴在挡板上的声音的同时，下一个水滴刚好开始下落．首先量出水龙头口离挡板的高度h，再用秒表计时，计时方法是：当听到某一水滴滴在挡板上的声音的同时，开启秒表开始计时，并数“1”，以后每听到一声水滴声，依次数“2,3，…”一直数到“n”时，按下秒表按钮停止时，读出秒表的示数为t.
(1)写出用上述测量方法计算重力加速度g的表达式：g＝________.
(2)为了减小误差，改变h的数值，测出多组数据，记录在表格中(表中t′是水滴从水龙头口到A板所用的时间，即水滴在空中运动的时间)，请在图中所示的坐标纸上作出适当的图象，并利用图象求出重力加速度g的值：g＝________(要求保留三位有效数字)．
次数 高度h/cm 空中运动时间t′/s
1 20.10 0.20
2 25.20 0.23
3 32.43 0.26
4 38.45 0.28
5 44.00 0.30
6 50.12 0.32
(1)根据题意每滴水下落的时间为，由自由落体可得g的表达式．(2)由自由落体h＝gt2，h－t2图象为过原点的直线，其斜率为k＝g，则g＝2k.
【解析】　解题关键是求出每滴水从水龙头到盘子的时间．
(1)滴水周期是水滴自由下落的时间，故T＝，
由h＝gT2得g＝.
(2)各次实验的t′2见下表：
1 2 3 4 5 6
0.040 0.053 0.068 0.078 0.090 0.102
描点作出图象如图所示，由图象知k＝≈4.84 m/s2，故g＝2k＝9.68 m/s2.
【答案】　(1)　(2)图象见解析　9.68 m/s2
总结提能 测定重力加速度的方法
(1)利用相邻的、相等的时间间隔的位移差相等，且为一定值，即Δx＝gT2，则g＝.
(2)可由位移公式x＝gt2求得．利用刻度尺量出从初始位置到某点的位移，若已知发生这段位移的时间，则g＝.可以找多个点，多次求g值，再求平均值．
(3)可利用速度公式v＝gt求得．利用平均速度求某一点的瞬时速度，并已知自由下落的物体经过这一点的时间，则由g＝解得，当然亦可多找点，多次求瞬时速度，多次求g值，再求平均值．
(4)利用多次求得的瞬时速度，画出v－t图象，根据图象的斜率求得g.
(5)用滴水法可以测定重力加速度的值．方法是：在自来水龙头下面固定一块挡板A，使水一滴一滴连续地滴落到挡板上，如图所示，仔细调节水龙头，使得耳朵刚好听到前一个水滴滴在挡板上的声音的同时，下一个水滴刚好开始下落．首先量出水龙头口离挡板的高度h，再用停表计时．计时方法是：当听到某一水滴滴在挡板上的声音的同时，开启停表开始计时，并数“1”，以后每听到一声水滴声，依次数“2,3，…”，一直数到“n”，按下停表按钮停止时，读出停表的示数为t.根据以上数据可求g.由上可知，相邻两滴水声的间隔就是水滴自由下落的时间，故T＝，由x＝gT2得g＝.
图中甲、乙两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50 Hz.
(1)甲、乙两图相比较，哪个图所示的装置更合理？
答案：甲图
(2)丙图是采用较合理的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中打出的第一个点标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5……经测量，第15至第17点间的距离为11.70 cm，第1至第16点间距离为43.88 cm，则打下第16个点时，重物下落的速度大小为2.93 m/s，测出的重力加速度值为g＝9.78(±0.02均可) m/s2(要求保留三位有效数字)．
解析：(1)甲图释放时更稳定，既能更有效地减小摩擦力，又能保证释放时初速度的大小为零，所以甲图更合理．
(2)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以v16＝≈2.93 m/s，又根据2gH＝v2，g＝＝ m/s2≈9.78 m/s2.
1．(多选)小刚观察苹果树，从同一高度一个苹果和一片树叶同时从静止直接落到地上，苹果先着地，下列说法中正确的是(　CD　)
A．苹果和树叶做的都是自由落体运动
B．苹果和树叶的运动都不能看做自由落体运动
C．苹果的运动可以看成自由落体运动，树叶的运动不能看成自由落体运动
D．假如地球上没有空气，则苹果和树叶会同时落地
解析：由于苹果受到空气阻力比苹果自身所受重力小得多，可以忽略不计，因此苹果的运动可视为自由落体运动；在没有空气阻力的情况下，苹果、树叶只受重力作用，因此都是自由落体运动．
2．做自由落体运动的物体运动的时间取决于(　B　)
A．物体的重力　　　　　　 B．物体下落的高度
C．物体的速度 D．物体的加速度
解析：由位移时间关系式h＝gt2，得t＝，所以做自由落体运动的物体运动的时间由下落的高度决定．
3．(多选)如图所示，甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的自由落体运动的图象，下列说法正确的是(　BCD　)
A．甲是a－t图象 B．乙是v－t图象
C．丙是h－t图象 D．丁是a－t图象
解析：自由落体运动的加速度等于重力加速度，为一恒量，故甲不是a－t图象、丁为a－t图象，选项A错误，D正确；由公式v＝gt知做自由落体运动的物体的速度与时间成正比，选项B正确；由h＝gt2知自由落体的h－t图线为抛物线，选项C正确．
4．为了测量重力加速度，某学校研究性学习小组的一位同学，利用做自由落体运动的重物，牵引纸带通过打点计时器打出若干条纸带，从中选出一条清晰的，由纸带上打出的某一点开始，每5个点剪下一段纸带，按图所示，使每一条纸带下端与x轴重合，左边与y轴平行，将纸带按段粘贴在直角坐标系中，已知交流电源的频率为50 Hz，则重力加速度是9.7 m/s2(保留两位有效数字)．除了上述利用自由落体测量重力加速度的方法外，你还有没有更简便的方法？请简述测量原理及方法并写出所用器材．
答案：见解析
解析：连接纸带上端的中点成一条直线，求出直线的斜率k即为重力加速度g.由题意可得，每段纸带的长度就是相邻相等时间间隔内小车的位移，由图示数据可得Δs＝9.7×10－2 m，时间间隔为T＝0.02×5 s＝0.1 s，根据Δs＝aT2，可得重力加速度为9.7 m/s2.有更简便的方法．测量原理及方法：根据G＝mg用弹簧测力计测量标准质量砝码的重力，然后求g，需要的器材有弹簧测力计、标准质量砝码．
5．从离地面500 m处自由落下一个小球，g取10 m/s2，求：
(1)落到地面经过多长时间？
(2)开始下落后第1 s内的位移和最后1 s内的位移．
(3)下落时间为总时间一半时的位移．
解析：解题关键是理解自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动．
(1)小球做自由落体运动，根据
x＝gt2，t＝＝ s＝10 s.
(2)第1 s内的位移x1＝gt＝×10×12 m＝5 m.
小球共下落10 s，求最后1 s内的位移，可用总位移减去前9 s内的位移．x9＝gt＝405 m，最后1 s内的位移Δx＝x－x9＝95 m.
(3)下落一半时间t′＝t＝5 s，位移x′＝gt′2＝×10×52 m＝125 m.
答案：(1)10 s　(2)5 m　95 m　(3)125 m